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Cristina Sarti

• Dessins d'enfants (children's drawings) may be defined as hypermaps, i.e. as bipartite graphs embedded in compact Riemann surfaces. They are very important objects in order to describe the surface of the embedding as an algebraic curve. Knowing the combinatorial properties of the dessin may, in fact, help us determining defining equations or the field of definition of the surface. This task is easier if the automorphism group of the dessin is "large". In this thesis we consider a special type of dessins, so-called Wada dessins, for which the underlying graph illustrates the incidence structure of points and of hyperplanes of projective spaces. We determine under which conditions they have a large orientation-preserving automorphism group. We show that applying algebraic operations called "mock" Wilson operations to the underlying graph we may obtain new dessins. We study the automorphism group of the new dessins and we show that the dessins we started with are coverings of the new ones.
• Dessins d'enfants (Kinderzeichnungen) wurden zuerst von Grothendieck (1984) als Objekte eingeführt, die sehr einfach, aber sehr wichtig sind, um kompakte Riemannsche Flächen als glatte algebraische Kurven über einem Zahlenkörper zu beschreiben. Dessins d'enfants können durch ihre Walsh-Darstellung definiert werden und entsprechen bipartiten Graphen, die in Riemannschen Flächen eingebettet sind. Ein grundlegendes Problem ist es, wie man aus den kombinatorischen Eigenschaften des Dessins auf die algebraischen Eigenschaften der Fläche, wie z.B. auf definierende Gleichungen und auf den Definitionskörper, schließen kann. Die Aufgabe ist normalerweise sehr schwierig, aber sie ist einfacher, wenn die Automorphismengruppe des Dessins besonders "groß" ist. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit einem speziellen Typ von Dessins, mit sogenannten Wada-Dessins. Der zugrundeliegende Graph stellt die Inzidenzstruktur von Punkten und von Hyperebenen projektiver Räume dar. Wir bestimmen, unter welchen Bedingungen die orientierungserhaltende Automorphismengruppe "groß" ist. Wir zeigen, daß sich neue Dessins aus den ursprünglichen konstruieren lassen, wenn wir auf dem zugrundeliegenden Graphen sogenannte "mock" Wilson-Operationen anwenden. Wir analysieren die Automorphismengruppe der neuen Dessins und zeigen, daß die ursprünglichen Dessins Überlagerungen der neuen Dessins sind.