Open Access

Mirko Schäfer

• The main topic of this thesis is the investigation of dynamical properties of coupled Tchebycheff map networks. At every node of the network the dynamics is given by the iteration of a Tchebycheff map, which shows strongest possible chaotic behaviour. By applying a coupling between the various individual dynamics along the links of the network, a rich structure of complex dynamical patterns emerges. Accordingly, coupled chaotic map networks provide prototypical models for studying the interplay between local dynamics, network structure, and the emergent global dynamics. An exciting application of coupled Tchebycheff map lattices in quantum field theory has been proposed Beck in Spatio-temporal chaos and vacuum fluctuations of quantized fields' (2002). In this so-called chaotic string model, the coupled map lattice dynamics generates the noise needed for the Parisi-Wu approach of stochastic quantization. The remarkable obversation is that the respective dynamics seems to reproduce distinguished numerical values of coupling constants that coincide with those observed in the standard model of particle physic. The results of this thesis give insights into the chaotic string model and its network generalization from a dynamical point of view. This leads to a deeper understanding of the dynamics, which is essential for a critical discussion of possible physical embeddings. Apart from this specific application to particle physics, the investigated concepts like synchronization or a most random behaviour of the dynamics are of general interest for dynamical system theory and the science of complex networks. As a first approach, discrete symmetry transformations of the model are studied. These transformations are formulated in a general way in order to be also applicable to similar dynamics on bipartite network structures. An observable of main interest in the chaotic string model is the interaction energy. In Spatio-temporal chaos and vacuum fluctuations of quantized fields' (2002) it has been observed that certain chaotic string couplings, corresponding to a vanishing interaction energy, coincide with coupling constants of the standard model of elementary particle physics. Since the interaction energy is basically a spatial correlation measure, an interpretation of the respective dynamical states in terms of a most random behaviour is tempting. In order to distinguish certain states as most random', or evoke another dynamical principle, a deeper understanding of the dynamics essential. In the present thesis the dynamics is studied numerically via Lyapunov measures, spatial correlations, and ergodic properties. It is shown that the zeros of the interaction energy are distinguished only with respect to this specific observable, but not by a more general dynamical principle. The original chaotic string model is defined on a one-dimensional lattice (ring-network) as the underlying network topology. This thesis studies a modification of the model based on the introduction of tunable disorder. The effects of inhomogeneous coupling weights as well as small-world perturbations of the ring-network structure on the interaction energy are discussed. Synchronization properties of the chaotic string model and its network generalization are studied in later chapters of this thesis. The analysis is based on the master stability formalism, which relates the stability of the synchronized state to the spectral properties of the network. Apart from complete synchronization, where the dynamics at all nodes of the network coincide, also two-cluster synchronization on bipartite networks is studied. For both types of synchronization it is shown that depending on the type of coupling the synchronized dynamics can display chaotic as well as periodic or quasi-periodic behaviour. The semi-analytical calculations reveal that the respective synchronized states are often stable for a wide range of coupling values even for the ring-network, although the respective basins of attraction may inhabit only a small fraction of the phase space. To provide analytical results in closed form, for complete synchronization the stability of all fixed points and period-2 orbits of all chaotic string networks are determined analytically. The master stability formalism allows to treat the ring-network of the chaotic string model as a special case, but the results are valid for coupled Tchebycheff maps on arbitrary networks. For two-cluster synchronization on bipartite networks, selected fixed points and period-2 orbits are analyzed.
• In der vorliegenden Dissertation werden dynamische Eigenschaften von gekoppelten chaotischen Abbildungen auf Netzwerken untersucht. Eine besondere Beachtung findet dabei die Untersuchung in Hinblick auf die Anwendung dieser dynamischen Systeme als Modelle für Vakuumfluktuationen in stochastisch quantisierten Feldtheorien. Gekoppelte chaotische Abbildungen als Modelle für raum-zeitliches Chaos, Strukturbildung und andere emergente Phänomene stellen bereits unabhängig von möglichen konkreten Anwendungen ein intensiv studiertes Forschungsgebiet dar. Ist die Topologie der Kopplungsstruktur durch ein komplexes Netzwerk gegeben, so lässt sich anhand dieser Systeme exemplarisch die Verbindung zwischen Netzwerkstruktur und globaler Dynamik studieren. In einer von Beck in Spatio-temporal chaos and vacuum fluctuations of quantized fields' (2002) vorgeschlagenen Anwendung gekoppelter chaotischer Tchebycheff-Abbildungen auf Ring-Netzwerken dient die raum-zeitlich chaotische Dynamik als stochastisches Feld für die stochastische Quantisierung von Feldtheorien. Bemerkenswerterweise zeichnen sich in diesem als Chaotic-Strings' bezeichneten Modell bestimmte numerische Werte der Kopplungsstärke der Dynamik aus, die mit Kopplungskonstanten des Standardmodells der Elementarteilchenphysik assoziiert werden können. In der vorliegenden Arbeit werden die im genannten Modell betrachteten Dynamiken unter unterschiedlichen Gesichtspunkten untersucht, einschließlich der Berücksichtigung der Bedeutung dieser Ergebnisse für eine mögliche physikalische Interpretation. Zuerst erfolgt eine ausführliche Untersuchung diskreter Symmetrien in Systemen gekoppelter chaotischer Abbildungen auf bipartiten Netzwerken. Mit Hilfe der erhaltenen Ergebnisse wird die Äquivalenz scheinbar unterschiedlicher Dynamiken aufgezeigt. Eine der grundlegenden Observablen des Chaotic-String-Modells ist die Wechselwirkungsenergie. Von besonderem Interesse sind bestimmte zu einer verschwindenen Wechselwirkungsenergie führende Kopplungswerte der chaotischen Dynamik, da für diese eine numerische Übereinstimmung mit Kopplungskonstanten des Standardmodells beobachtet wird. Da die Wechselwirkungsenergie im Wesentlichen ein räumliches Korrelationsmaß für die Dynamik auf den Knoten des Rings darstellt, wurde im Modell bisher eine Interpretation der entsprechenden dynamischen Zustände als maximal chaotisch' oder maximal stochastisch' nahegelegt. In der vorliegenden Arbeit wird die Hypothese eines solchen maximal stochastischen Verhaltens der Dynamiken numerisch anhand von Lyapunovmaßen, räumlichen Korrelationen sowie Ergodizitätseigenschaften untersucht. Es wird gezeigt, dass die mit Kopplungskonstanten des Standardmodells assoziierten Nullstellen der Wechselwirkungsenergie nur durch diese Observable, jedoch nicht durch ein allgemeineres dynamisches Prinzip ausgezeichnet sind. Es wird weiterhin die Auswirkung unterschiedlicher Formen von Unordnung auf die Dynamik betrachtet. Zum einen wird diese Unordnung mittels des Übergangs von einer regulären Ringstruktur zu allgemeinen Netzwerkstrukturen wie z.B. Small-World' Netzwerken eingeführt. Zum anderen wird anstatt einer homogenen eine heterogene, d.h. ungeordnete Verteilung von Kopplungswerten zugrunde gelegt. Auch hier erfolgt die Anwendung auf die im Chaotic-String-Modell betrachteten dynamischen Systeme. Während die Untersuchung von Korrelationen sowie die Auswirkung von Unordnung auf die Dynamiken fast ausschließlich numerisch möglich ist, kann die Betrachtung von Synchronisationeigenschaften gekoppelter chaotischer Abbildungen auch analytisch erfolgen. Die entsprechenden in der Arbeit vorgestellten Rechnungen basieren auf dem sogenannten Master-Stability-Formalismus', mit dessen Hilfe die Stabilität des synchronisierten Zustands zu den spektralen Eigenschaften des Netzwerks in Beziehung gesetzt werden kann. Die vorliegende Arbeit behandelt zuerst vollständige Synchronisation, das heißt, alle Knoten des Netzwerks zeigen exakt identisches Verhalten. Zwei-Gruppen-Synchronisation auf bipartiten Netzwerken wird daran anschließend untersucht. Es wird beobachtet, dass für gekoppelte Tchebycheff-Abbildungen die synchronisierte Dynamik für vollständige wie auch für Zwei-Gruppen-Synchronisation sowohl chaotisches, wie auch periodisches Verhalten oder sogar einen stabilen Fixpunkt aufweisen kann. Semi-analytische Berechnungen zeigen, dass für einen großen Bereich der Kopplungswerte die Synchronisation einen stabilen Zustand darstellt. Neben diesen semi-analytischen Berechnungen werden auch analytische Resultate für vollständig sowie zwei-Gruppen-synchronisierte Fixpunkte und Periode-2-Orbits hergeleitet. Aufgrund der Verwendung des Master-Stability-Formalismus können die Ergebnisse auf die im Rahmen des Chaotic-String-Modells betrachteten Ring-Netzwerke angewendet werden, sind aber allgemein für beliebige (für Zwei-Gruppen-Synchronisation bipartite) Netzwerkstrukturen gültig.