Asymptotische Hyperfunktionen, temperierte Hyperfunktionen und asymptotische Entwicklungen

Wir führen eine neue Unterklasse der Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen ein mit dem Ziel, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen studieren zu wollen, wie sie für gewisse Distributionen
Wir führen eine neue Unterklasse der Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen ein mit dem Ziel, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen studieren zu wollen, wie sie für gewisse Distributionenklassen bekannt sind. Wir entwickeln zuerst die Theorie analytischer Funktionale auf Räumen integrabler Funktionen bezüglich Maßen mit Wachstum O(|Re z|^gamma), wobei gamma in R ist, im Unendlichen. Ein an das berühmte Phragmén-Lindelöf-Prinzip erinnerndes, einfaches analytisches Resultat bildet die Basis der Dualitätstheorie dieser Räume zu Funktionen mit festgelegtem Wachstumstyp. Wir studieren diese Dualität analytischer Funktionale mit Wachstumsbedingungen und unbeschränkten Trägern gründlich in einer Dimension unter Verwendung des von den Fourier Hyperfunktionen her bekannten exponentiell abfallenden Cauchy-Hilbert-Kerns. Daraus ergeben sich Analoga zu den Theoremen von Runge und Mittag-Leffler, die die Grundlage für die Garbentheorie der Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen sind, die wir sodann entwickeln. Die für uns wichtigsten neuen Klassen von Fourier Hyperfunktionen sind die von unendlichem Typ, das heißt solche, die wie eine beliebige Potenz wachsen beziehungsweise schneller als jede Potenz abfallen. In n Dimensionen benutzen wir die Fouriertransformation und Dualität um das Verhältnis dieser temperierten beziehungsweise asymptotischen Hyperfunktionen zu bekannten Distributionenräumen zu studieren. Wir leiten Theoreme vom Paley-Wiener-Typ her, die es uns erlauben, unsere Hyperfunktionen in ein Schema zu ordnen, das Wachstumsordnung und Singularität gegenüberstellt. Wir zeigen, daß dieses Schema eine sinvolle Erweiterung des von Gelfand und Shilow zur Charakterisierung von Testfunktionenräumen eingeführten Schemas der Räume S(alpha,beta) um verallgemeinerte Funktionen ist. Schließlich zeigen wir die Nuklearität der temperierten und asymptotischen Hyperfunktionen. Wir zeigen, daß die asymptotischen Hyperfunktionen genau die Klasse bilden, die Moment-asymptotische Entwicklungen erlauben, wie sie von Estrada et al. für Distributionen betrachtet wurden. Estradas Theorie ist damit ein Spezialfall der unsrigen. Für Hyperfunktionen lassen sich aber dank des Konzeptes der standard definierenden Funktionen die Moment-asymptotischen Entwicklungen als klassische asymptotische Entwicklungen von analytischen Funktionen verstehen. Wir zeigen die einfache Beziehung zwischen der Moment-asymptotischen Entwicklung und der Taylorentwicklung der Fouriertransformierten und benutzen dann ein Resultat von Estrada, um die Vollständigkeit unseres Moment-asymptotischen Schemas abzuleiten. Wir geben genaue Bedingungen für die Moment-Folgen von Hyperfunktionen mit kompaktem Träger an, die kürzlich von Kim et al. gefunden wurden. Die asymptotischen Entwicklungen übertragen wir auf den höherdimensionalen Fall, indem wir die von Kaneko und Takiguchi eingeführte Radontransformation für Hyperfunktionen verwenden. Die wohlbekannte Beziehung zwischen Radon- und Fouriertransformation zeigt wiederum das enge Verhältnis von asymptotischer Entwicklung zur Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Wir benutzen Kims Resultate, um die Moment-Folgen von Hyperfunktionen zu charakterisieren, die von Kugeln mit endlichem Radius getragen werden. Schließlich verwenden wir das Träger-Theorem der Radontransformation, um ein Resultat über das Singularitätenspektrum aus Bedingungen an die Radontransformierte abzuleiten.
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We introduce new subclasses of Fourier hyperfunctions satisfying polynomial growth conditions at infinity with the intention to study asymptotic expansions in hyperfunction theory, which are known to hold in certain spac
We introduce new subclasses of Fourier hyperfunctions satisfying polynomial growth conditions at infinity with the intention to study asymptotic expansions in hyperfunction theory, which are known to hold in certain spaces of distributions. We begin by developing the theory of analytic functionals on spaces of integrable functions with respect to measures of growth O(|Re z|^gamma), where gamma is in R, at infinity. A simple analytic result for these Hardy type spaces, reminiscent of the famous Phragmén-Lindelöf principle, prepares the ground for the duality of these functions to spaces of functions of fixed polynomial growth at real infinity. We study this duality theory for analytic funcionals with growth conditions and unbounded carriers in full detail in one dimension, utilizing the exponentially decreasing Cauchy-Hilbert kernel known from the theory of Fourier hyperfunctions. We derive theorems of Runge and Mittag-Leffler type and thereby lay the grounds for a theory of hyperfunctions of the namely growth types as a flabby sheaf theory on the compactified space D, which is then exhibited. The most important new types of Fourier hyperfunctions are such with growth type ±infinity, that is, growing with arbitrary polynomial type or decaying faster than any polynomial, respectively. In higher dimensions we use Fourier transformation and duality to examine relations of these tempered and asymptotic hyperfunctions to known classes of test functions, distributions and hyperfunctions. We identify the Fourier transforms of tempered and asymptotic hyperfunctions by theorems of Paley--Wiener type which allow us to order these spaces into a scheme relating growth type to singularity. This scheme is shown to be a sensible extension to generalized functions of the scheme of spaces S(alpha,beta) which was introduced by Gelfand and Shilov to classify the spaces of test functions for distributions. Finally, we show the nuclearity of the spaces of tempered and asymptotic hyperfunctions. Further, it is shown in one dimension that the asymptotic hyperfunctions which decay faster than any negative power are precisely the class that allow moment asymptotic expansions at infinity, as were studied by Estrada et al. for distributions. We show that Estradas theory of asymptotic expansions is contained in ours. But for hyperfunctions, these asymptotic expansions can be related to the classical asymptotic expansions of analytic functions by the concept of standard defining functions. We show the simple relation of the moment asymptotic expansion of asymptotic hyperfunctions to the Taylor expansion of their Fourier transform, by which we can use a result of Estrada to show the completeness of the asymptotic scheme in our case. We cite the necessary and sufficient conditions for the moment sequences of hyperfunctions with compact support, which were recently found by Kim et al. These asymptotic expansions are carried over to the higher-dimensional case by apploying the Radon transformation for hyperfunctions, as introduced by Kaneko and Takiguchi. The well-known relation between Radon and Fourier transformation shows again the relation between the moment asymptotic expansion of hyperfunctions and the Taylor expansion of their Fourier transforms. We use Kim's result to characterize the moment sequences of hyperfunctions carried by balls with finite radius. Finally, we use the support theorem for the Radon transformation to derive a condition on the singularity spectrum of a hyperfunction by conditions on its Radon transform.
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Metadaten
Author:Andreas U. Schmidt
URN:urn:nbn:de:hebis:30-11251
Referee:Florin Constantinescu
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Date of Publication (online):2005/06/20
Year of first Publication:2003
Publishing Institution:Univ.-Bibliothek Frankfurt am Main
Granting Institution:Johann Wolfgang Goethe-Univ.
Date of final exam:1999/02/17
Release Date:2005/06/20
SWD-Keyword:Hyperfunktion ; Asymptotische Entwicklung
Source:Korrigierte Version 15. Mai 2003, http://www.math.uni-frankfurt.de/~aschmidt/#eprints, Urspr. Logos-Verlag, Berlin, 1998, ISBN 3-89722-127-6
HeBIS PPN:129774960
Institutes:Mathematik
Dewey Decimal Classification:510 Mathematik
Sammlungen:Universitätspublikationen
Licence (German):License Logo Veröffentlichungsvertrag für Publikationen

$Rev: 11761 $