Open Access

Andrea Mechtilde Lisbeth Kuntschik

• For the class of balanced, irreducible Pólya urn schemes with two colours, say black and white, limit theorems for the number of black balls after n steps are known. Depending on the ratio of the eigenvalues of the replacement matrix, two regimes of limit laws occur: almost sure convergence to a non-degenerate random variable whose distribution depends on the initial composition of the urn and that is known to be not normally distributed and weak convergence to the normal distribution. In this thesis, upper bounds on the rates of convergence in both the non-normal limit case and the normal limit case are given.
• Urnenmodelle im Allgemeinen und Pólya-Urnen-Modelle im Speziellen bilden ein wichtiges Mittel in der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie zur Veranschaulichung und Modellierung diskreter Verteilungen. Darüber hinausgehend dienen Urnenmodelle auch zur Modellierung von sich mit dem Verlauf der Zeit entwickelnden Prozessen. Pólya-Urnenmodelle erfreuen sich besonderer Beliebtheit und finden Anwendung u.a. in der Biologie, z.B. Populationsgenetik und Epidemiologie, Sozialwissenschaften und Informatik, etwa im Bereich der Datenstrukturen. Aufgrund ihrer Bedeutung ist die Untersuchung des Langzeitverhaltens bestimmter Kenngrößen von Pólya-Urnen von großem Interesse und somit ein zentrales Thema in der Stochastik. Wann immer ein Konvergenzverhalten zu beobachten ist, drängt sich die Frage nach Konvergenzraten auf, welche beschreiben, auf welche Art sich der Abstand zwischen Kenngröße und Grenzwert in Abhängigkeit von der Zeit verringert. In der vorliegenden Doktorarbeit werden im Rahmen von bereits bekannten Grenzwertsätzen obere Schranken der zugehörigen Konvergenzraten hergeleitet. Im Folgenden werden zunächst die untersuchte Klasse von Pólya-Urnen sowie bekannte Eigenschaften dazu vorgestellt und dann die Resultate formuliert. Im Anschluss daran wird ein rekursiver Zugang zur Entwicklung des Urnenprozesses erläutert, welcher für die Ermittlung von Konvergenzraten mittels der Kontraktionsmethode unerlässlich ist. Darauffolgend wird die Beweisführung skizziert. Die Zusammenfassung wird durch einige Anmerkungen zu den Beweisen und Resultaten abgeschlossen.