Approximating Perpetuities
- A perpetuity is a real valued random variable which is characterised by a distributional fixed-point equation of the form X=AX+b, where (A,b) is a vector of random variables independent of X, whereas dependencies between A and b are allowed. Conditions for existence and uniqueness of solutions of such fixed-point equations are known, as is the tail behaviour for most cases. In this work, we look at the central area and develop an algorithm to approximate the distribution function and possibly density of a large class of such perpetuities. For one specific example from the probabilistic analysis of algorithms, the algorithm is implemented and explicit error bounds for this approximation are given. At last, we look at some examples, where the densities or at least some properties are known to compare the theoretical error bounds to the actual error of the approximation. The algorithm used here is based on a method which was developed for another class of fixed-point equations. While adapting to this case, a considerable improvement was found, which can be translated to the original method.
- Als Perpetuity wird vor allem in der Versicherungs- und Finanzmathematik eine reellwertige Zufallsvariable X bezeichnet, deren Verteilung implizit durch eine stochastische Fixpunktgleichung der Form X=AX+b charakterisiert ist. Dabei ist (A,b) ein Vektor von Zufallsvariablen, der unabhängig von X ist, Abhängigkeiten zwischen A und b sind jedoch erlaubt. Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen solcher Fixpunktgleichungen sind bereits seit längerem bekannt. Für eine große Klasse solcher Perpetuities existieren Tail-Abschätzungen. Ziel dieser Arbeit ist es, den zentralen Bereich solcher Verteilungen zu untersuchen. Dazu wird ein Algorithmus für die Approximation der Verteilungsfunktionen und gegebenenfalls der Dichten von einer möglichst großen Klasse solcher Perpetuities entwickelt. Um für diese Approximationen explizite Fehlerschranken anzugeben, muss der Stetigkeitsmodul der approximierten Funktion abgeschätzt werden. Für eine spezielle Klasse von Fixpunktgleichungen werden universelle Abschätzungen angegeben, im Allgemeinen muss eine solche Abschätzung jedoch für den Einzelfall hergeleitet werden. Dies wird exemplarisch an einem Beispiel aus der probabilistischen Analyse von Algorithmen durchgeführt, für das auch der Algorithmus implementiert und eine Tafel der Verteilungsfunktion generiert wird. Um die Qualität der erhaltenen Fehlerschranken und die praktische Verwendbarkeit des Algorithmus zu beurteilen, werden abschließend einige Beispiele untersucht, in denen die Dichten oder zumindest gewisse Eigenschaften bereits bekannt sind. Hierbei zeigt sich, dass die theoretischen Fehlerschranken stets deutlich unterschritten werden und die Approximation in praktikabler Laufzeit bereits sehr gute Ergebnisse liefert. Der verwendete Algorithmus beruht auf einem bekannten Verfahren, das jedoch für eine andere Klasse von Fixpunktgleichungen entwickelt wurde. Bei der Anpassung an den hier betrachteten Fall konnte eine wesentliche Verbesserung erreicht werden, die sich auch auf den ursprünglichen Algorithmus übertragen lässt.
