Open Access

Ralf Lehnert

• Die zentralen Objekte der Dissertation sind Translationsflächen. Dabei handelt es sich um Riemann’sche Flächen, die aus in die euklidische Ebene eingebetteten Polygonen durch Verkleben von parallelen gleichlangen Seiten entstehen. Zwei Translationsflächen sind gleich, wenn es möglich ist, die Polygone durch ”Zerschneiden und mittels Translationen neu Zusammenkleben“ ineinander zu überführen. Die Gruppe GL_2(R) operiert auf der Menge der Translationsflächen via der linearen Abbildungen auf den Polygonen. Der Stabilisator einer Translationsfläche X unter dieser Operation wird die Veech-Gruppe von X genannt und mit SL(X) bezeichnet. Die Veech-Gruppe ist eine diskrete Untergruppe von SL_2(R) und damit eine Fuchs’sche Gruppe. Fuchs’sche Gruppen werden je nach ihrer Limesmenge in elementare und nicht-elementare Gruppen eingeteilt. Letztere wiederum unterteilt man in Gruppen erster oder zweiter Art. Fuchs’sche Gruppen mit endlichem co-Volumen heißen Gitter und sind genau die endlich erzeugten Gruppen erster Art. Translationsflächen, deren Veech-Gruppe ein Gitter ist, heißen Veech-Flächen und sind von besonderem Interesse, da für sie die Veech Alternative gilt. Ein feineres Maß für die Größe einer Fuchs’schen Gruppe ist der kritische Exponent. Er ist definiert als das Infimum aller reellen Zahlen, für die die Poincaré Reihe konvergiert und liegt für alle unendlichen Fuchs’schen Gruppen zwischen 0 und 1. Hauptziel der Dissertation ist der Beweis von Theorem 1. Es gibt Translationsflächen, für die der kritische Exponent ihrer Veech-Gruppe echt zwischen 1/2 und 1 liegt. Der kritische Exponent von elementaren Gruppen ist höchstens 1/2, Translationsflächen mit elementaren Veech-Gruppen sind also als Kandidaten für das Theorem ausgeschlossen. Der kritische Exponent von Gittern ist 1. Also scheiden auch Veech-Flächen für das Theorem aus. Bis zum Jahr 2003 waren Gitter die einzigen bekannten nicht-elementaren Veech-Gruppen. McMullen klassifizierte die Veech-Flächen vom Geschlecht 2 und zeigte, dass jede solche Fläche, die nur eine Singularität besitzt, in der GL_2(R)-Bahn der Fläche L_D liegt, die aus einem L-förmigen Polygon mit geeigneten von D abhängigen Seitenlängen entsteht. Während auch heute noch keine Translationsfläche mit Veech-Gruppe zweiter Art bekannt ist, fanden McMullen und unabhängig davon Hubert und Schmidt Konstruktionen unendlich erzeugter Veech-Gruppen erster Art. Eine Abschätzung des kritischen Exponenten dieser Gruppen war 10 Jahre lang eine wichtige offene Frage, die nun durch Theorem 1 beantwortet wird. Zentral in der Konstruktion von Hubert und Schmidt sind spezielle Punkte, nämlich Verbindungspunkte. Hubert und Schmidt konstruieren Translationsflächen, deren Veech-Gruppen kommensurabel zum Stabilisator SL(X;P) von P sind und damit den gleichen kritischen Exponenten haben. Für Verbindungspunkte mit unendlicher SL(X)- Bahn (diese Punkte heißen nicht-periodisch) ist SL(X;P) unendlich erzeugt und von erster Art. Wir zeigen Theorem 1, indem wir zeigen, dass für jedes D kongruent 0 mod 4, (kein Quadrat), und jeden nicht-periodischen Verbindungspunkt P in L_D der kritische Exponent der Gruppe SL(L_D;P) echt zwischen 1/2 und 1 liegt. Eine natürliche Frage in diesem Zusammenhang ist die Abhängigkeit von P: Punkte Q in der SL(L_D)-Bahn von P sind auch er nicht-periodische Verbindungspunkte und die zugehö̈rigen Gruppen SL(L_D;P) und SL(L_D;Q) sind konjugiert zueinander. Daher widmen wir uns in Kapitel 4 der Bestimmung der Bahnen nicht-periodischer Verbindungspunkte. Die Verbindungspunkte haben die Form P=(x_r+x_iw;y_r+y_iw) mit x_r,x_i,y_r,y_i aus Q. Wir zeigen, dass der Hauptnenner N(P) dieser (gekürzten) Brüche eine Invariante der Bahn ist. Daraus folgt: Theorem 2. Es gibt unendlich viele verschiedene Bahnen von Verbindungspunkten von L_D. Wir kennen die Operation der horizontalen und der vertikalen Scherungen A und B aus SL(L_D). Im Spezialfall D=8 erzeugen diese beiden Elemente die ganze Gruppe und wir geben je ein Verfahren an, um eine untere und eine obere Schranke an die Anzahl der Bahnen von nicht-periodischen Verbindungspunkten P mit fixiertem Hauptnenner N(P) zu finden. Damit zeigen wir: Theorem 3. Die Menge der Verbindungspunkte P mit festem Wert N(P) zerfällt in eine endliche Anzahl von SL(L_8)-Bahnen. Im Beweis von Theorem 1 ist es nötig, die Nicht-Mittelbarkeit eines Graphen zu zeigen. Da wir nur sehr wenige Informationen über dessen Struktur in unserer konkreten Situation haben, entwickeln wir in Kapitel 1 die folgende Methode: Theorem 4. Sei G ein Graph, den man durch Weglassen von Kanten in einen Wald G′ ohne Blätter überführen kann, bei dem das Supremum der Längen von zusammenhängenden Valenz-2-Teilgraphen von G′ beschränkt ist. Dann ist G nicht mittelbar. Um diese Methode anzuwenden, ordnen wir jeder Ecke P von G ein Komplexitätsmaß s(P) zu und weisen nach, dass dieser Wert für die Operation von Worten in A- und B-Potenzen mit wachsender Wortlänge ”tendenziell wächst“.