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Stochastik als Mathematik der Glücksspiele : ein Projekt zu Grunderfahrungen, Begriffen und Zusammenhängen
(2005)
- Im Rahmen dieser Arbeit möchte ich nun aufzeigen, dass ein Projekt zu Glücksspielen eine „reichhaltige Lernsituation“ darstellen kann, in der die Schüler Raum, Gelegenheit und Anlass haben, Grunderfahrungen mit zufälligen Vorgängen zu machen, darauf aufbauend wichtige Begriffe zu bilden und schließlich wesentliche stochastische Zusammenhänge zu erkennen. Der Projektmethode entsprechend lag ein Großteil meiner Tätigkeiten im Vorfeld in vorbereitenden und planenden Tätigkeiten. Während der Projektdurchführung trat ich als beratender „Hintergrundlehrer“ auf. Die Schüler arbeiteten weitgehend selbstständig. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher auf meinen didaktischen und methodischen Überlegungen zur Vorbereitung des Projekts.
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Zufällige Felder und Perkolationen auf Bäumen
(1999)
- Wir werden uns in dieser Arbeit vorwiegend mit einem Modell befassen, das Y. Peres, C. Kenyon, W. Evans und L.J. Schulman 1998 in ihrem Artikel \Broadcasting on trees and the Ising-Modell" eingeführt haben. In diesem Modell wird ein Signal, das die Werte +1 oder -1 annehmen kann, von der Wurzel eines Baumes aus entlang der Äste eines unendlichgro� en Baumes übertragen. Die Kanten des Baumes agieren dabei als Übertragungskanäle zwischen den Knoten. Jede Kante kann das Signal korrekt übertragen oder es flippen, das heiß� t, das Vorzeichen des Signals umkehren. Das Übertragungsverhalten der Kanten ist zufällig. Mit einer festen Wahrscheinlichkeit� , mit 0 < � � 1/2 , verfälscht eine Kante das Signal. Dies geschieht an allen Kanten unabhängig mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Es stellt sich nun die Frage, wie gro� diese Fehlerwahrscheinlichkeit höchstens sein darf, damit das, was in der Krone des Baumes ankommt, noch etwas zu tun hat mit dem, was in der Wurzel eingespeist wird. Mit anderen Worte: Sind die Signale auf Knoten, die einen Abstand � n von der Wurzel haben, für n ! 1 asymptotisch unabhängig vom Signal in der Wurzel? Eine Möglichkeit, den Grad der Abhängigkeit zu messen, ist die sogenannte Information, der Kullback-Leibler-Abstand von gemeinsamer Verteilung zur Produkt-Verteilung, die in De� nition 16 eingeführt wird. Wir werden sehen, da� es eine kritische Schwelle � c;I für Informationsübertragung gibt. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit größ� er als � c;I , so ist die Informa-tion, die zwischen Wurzel und Krone übertragen wird, 0. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als � c;I , so wird Information übertragen. Dieser kritische Wert � c;I hängt nur von der Branching-Number, einer Art mittleren Verzweigungszahl, des Baumes (vgl. De� nition 1) ab. Wir werden sehen, da� das Broadcasting-Modell eine elegante Formulierung eines wohlbekannten Modells, des Ising-Modells, mit freien Randbedingungen, ist. Im Ising-Modell hat jeder Knoten des Baumes einen \magnetischen" Spin, der entweder +1 oder -1 sein kann. Spins direkt benachbarter Knoten beeinflussen sich, in dem sie versuchen, den gleichen Wert anzunehmen. Diesem Eff� ekt wirkt ein thermischer Einfluß� entgegen, der mittels eines als Temperatur bezeichneten Parameters modelliert wird. Die klassische Frage im Ising-Modell ist, ob Phasenübergang stattfi� ndet. Wir wollen Phasenübergang als das Phänomen verstehen, da� die Wurzel des Baumes die Vorgabe von Randbedingungen auf der Krone des Baumes spürt. Ist dies der Fall, so sagen wir, da� Phasenübergang statt� ndet. Auch dies ist eine Form der gegenseitigen Beeinflussung zwischen Wurzel und Krone des Baumes. Russel Lyons hat 1989 in seinem Artikel \The Ising-Model on trees and treelike Graphs" das Ising-Modell auf Bäumen untersucht und gezeigt, da� es eine kritische Temperatur tc für Phasenübergang gibt. Ist die Temperatur höher als tc, so spürt die Wurzel nichts von den Randbedingungen der Krone; ist die Temperatur geringer als tc, so haben die Randbedingungen Einfluß� auf die Wurzel. Auch hier hängt die kritische Temperatur nur von der Branching-Number des Baumes ab. In der Broadcasting-Formulierung des Modells ist der Flu� von Information ein naheliegendes Werkzeug, um die Beeinflussung von Wurzel und Krone zu messen, in der Ising-Formulierung ist die Existenz von Phasenübergang ein ebenso naheliegendes Werkzeug, ebendiesen Einfluß� zu messen. Wir werden die beiden Arten der Beeinflussung miteinander vergleichen und können zeigen, da� für die Übertragung von Information stets eine stärkere Interaktion zwischen den Knoten notwendig ist, als für den Einfluß� der Randbedingungen aus der Krone. Als letztes Phänomen werden wir untersuchen, ob es einen Pfad im Baum gibt, der in der Wurzel startend nur Knoten gleichen Spins besucht und die unendlich weit entfernte Krone erreicht. Wir bezeichnen dieses Phänomen als Spinperkolation. Wir werden die Berechnung der kritischen Interaktion für Spinperkolation in einem Bernoulli-Feld auf den Kanten rekapitulieren und dann zeigen, da� die Existenz eines Perkolationspfades nur von der Interaktionsstärke des Modells und nicht von etwaigen Randbedingungen abhängt. Dabei kombinieren wir Ergebnisse aus zwei Arbeiten von Lyons und die Erkenntnis, da� Broadcasting- Modell und freies Ising-Modell identisch sind. Wir erhalten so einen neuen, einfachen Beweis über die kritische Interaktion für Spinperkolation in der Plus-Phase des Ising-Modells, die Lyons bereits in [7] berechnet hat.
