Mathematik
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Diese Diplomarbeit behandelt eine Fragestellung aus dem Gebiet der Fuchsschen Gruppen. Das Problem, das hier geklärt werden soll, entspringt einer im Jahre 2005 erschienenen Arbeit über Konjugatoren Fuchsscher Gruppen und quasiplatonische Riemannsche Flächen von Jürgen Wolfart und Ernesto Girondo [GW05]. Es ist dort ein alternativer geometrischer Weg gewählt worden, um es zu umgehen, und es soll nun hier mit den bereits 1970 bereitgestellten Methoden zur Fragestellung der Existenz von Untergruppen Fuchsscher Gruppen von David Singerman [SIN70] gelöst werden. Betrachtet man eine Dreiecksgruppe $Delta_{1}$ als Untergruppe einer Dreiecksgruppe $Delta_{2}$, so kann es vorkommen, dass diese Inklusion eine Verfeinerung durch eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta$ gestattet. In den Fällen, in denen zu einer gegebenen Dreiecksgruppe $Delta_{2}$ voneinander verschiedene Untergruppen gleicher Signatur $Delta_{1},Delta_{1}Apostroph,...$ existieren, ist es nicht a priori klar, dass es eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gleicher Signatur zu jeder dieser verschiedenen Untergruppen gibt. Das Ziel dieser Arbeit ist es nun, dies zu klären, d.h. zu zeigen, dass es für jedes Paar Dreiecksgruppen $Delta_{1}subseteqDelta_{2},Delta_{1}ApostrophsubseteqDelta_{2},...$ eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gibt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine grobe Einleitung in die Theorie der Diskontinuierlichen Gruppen gegeben, die sehr stark auf Fuchssche Gruppen abzielt und mit deren Verbindung zu Riemannschen Flächen abschließt. Sie orientiert sich sehr stark an einem Standardwerk über Diskontinuierliche Gruppen von Joseph Lehner [LEH64]. Im zweiten Teil dieser Arbeit widmen wir uns ganz den Untergruppen Fuchsscher Gruppen und dem von David Singerman [SIN70] bereitgestellten Apparat, der eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür aufzeigt. Wie David Singerman auch zeigt, lassen sich diese Methoden für Normalteiler und Dreiecksgruppen spezialisieren. Wir werden uns dem auch annehmen. Abschließend erarbeiten wir dann eine ausführliche Methode und somit auch einen Beweis zur Erlangung der kompletten Liste von Inklusionen Fuchsscher Dreiecksgruppen, wie sie sich in einer weiteren Arbeit David Singermans befindet [SIN72]. Dies geschieht mit Hilfe zweier Maple-Programme deren Quellcode und Ausgabe sich im Anhang bzw. vierten Teil dieser Arbeit zur Einsicht bendet. Im dritten Teil dieser Arbeit wird schließlich die oben erläuterte Fragestellung geklärt werden. Sie wird zunächst anhand vieler Beispiele und Erläuterungen verdeutlicht, und im Anschluss dessen eine mögliche Verallgemeinerung auf Fuchssche Gruppen diskutiert.
Informationsverarbeitung im Gehirn basiert auf dem koordinierten Zusammenwirken von Milliarden von Nervenzellen. Um diese Codes zu entschlüsseln, sind komplexe Verfahren experimenteller Datenerhebung und theoretischer Datenanalyse notwendig. Denn auch wenn alle Zellen im selben Rhythmus agieren, kann sich jede auf ihre Art am Konzert beteiligen. Die verschiedenen Stimmen äußern sich in zeitlichen Mustern, die sich experimentell kaum vom Rauschen unterscheiden lassen. Erst mithilfe statistischer Verfahren konnten winzige zeitliche Verzögerungen als nicht zufällig identifiziert werden.
Ein universeller zentraler Grenzwertsatz für den Abstand zweier Kugeln in zufälligen Splitbäumen
(2008)
In der vorliegenden Arbeit wird ein Modell des zufälligen Splitbaumes untersucht. Dies ist ein verallgemeinertes Modell, das bei passender Wahl der zugehörigenParameter viele konkrete Suchbäume umfasst. Das Modell ist in der Arbeit von L. Devroye beschrieben: Nach einem zufallsbasierten Algorithmus werden den Knoten des Baumes Daten in Form von Kugeln hinzugefügt. Tiefe und Höhe sind dabei grundlegende Größen, die die Komplexität von Suchoperationen beschreiben, wenn das Suchbaummodell als Datenstruktur verwendet wird. Das Augenmerk der Arbeit richtet sich auf eine weitere entscheidende Größe: Den Abstand zweier rein zufällig gewählter Kugeln im Baum. Aufbauend auf Devroyes Erkenntnissen zum asymptotischen Verhalten der Tiefe der zuletzt eingefügten Kugel im Splitbaum, wird ein neues Resultat erzielt: Ein universeller Zentraler Grenzwertsatz für den Abstand der Kugeln. Als Anwendungsbeispiel werden zwei vom allgemeinen Modell abgedeckte Suchbäume betrachtet und der jeweilige Grenzwertsatz für die Abstände aus dem universellen Satz abgeleitet.
Rezension zu: George G. Szpiro : Mathematik für Sonntagmorgen : 50 Geschichten aus Mathematik und Wissenschaft, NZZ Verlag, Zürich 2006, ISBN 978-3-03823-353-4 ; 240 Seiten, 26 Euro/38 CHF George G. Szpiro : Mathematik für Sonntagnachmittag : Weitere 50 Geschichten aus Mathematik und Wissenschaft, NZZ Verlag, Zürich 2006, ISBN 978-3-03823-225-4 ; 236 Seiten, 26 Euro/38 CHF
Computer haben im Mathematik-Unterricht bisher vor allem die Funktion, Abstraktes bildlich zu veranschaulichen. Neu sind interaktive Programme, mit denen Schüler experimentieren und spielerisch ein Gefühl für Zusammenhänge entwickeln können. Erste Versuche zeigen, dass dieses Angebot, »Mathematik erfahrbar zu machen«, die Schüler stark motiviert. Computer sind wichtige Mittler zwischen der realen Welt und den Abstraktionen ihrer mathematischen Beschreibung. Denn: Mathematik wohnt den Dingen nicht inne, man sieht sie mit dem »mathematischen Blick« in die Dinge hinein. Erst dadurch gliedert sich der Raum um uns in Punkte, Strecken, Ebenen und all die anderen geometrischen Objekte. Diese Objekte selbst sind nicht real, und materielle Modelle, die wir zu ihrer Veranschaulichung heranziehen, unterliegen Einschränkungen, von denen man abstrahieren muss. Wir zeigen anhand zweier aktueller Entwicklungs- und Forschungsprojekte, wie Computer helfen können, diese Kluft zu überbrücken. ...