Mathematik
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Staatsexamensarbeit 2002. In der nachfolgenden Arbeit werde ich im zweiten Kapitel theoretisch fraktionale Ableitungen vorstellen, um dann im dritten Kapitel praktisch mit MAPLE fraktionale Ableitungen zu veranschaulichen. Genauso werde ich auch das Gebiet der fraktionalen Differentialgleichungen einführen, d.h. zuerst wird ein theoretischer Teil über Lösungsmethoden behandelt und darauf folgend ein praktischer Teil, in dem mittels MAPLE diverse Gleichungen gelöst werden. Das zweite Dokument enthält MAPLE Programme aus der Arbeit (ZIP-Format, 145154 Bytes).
We reconsider estimates for the heat kernel on weighted graphs recently found by Metzger and Stollmann. In the case that the weights satisfy a positive lower bound as well as a finite upper bound, we obtain a specialized lower estimate and a proper generalization of a previous upper estimate. Reviews: Math. Rev. 1979406, Zbl. Math. 0934.46042
The dynamical quantum Zeno effect is studied in the context of von Neumann algebras. It is shown that the Zeno dynamics coincides with the modular dynamics of a localized subalgebra. This relates the modular operator of that subalgebra to the modular operator of the original algebra by a variant of the Kato-Lie-Trotter product formula.
This extended write-up of a talk gives an introductory survey of mathematical problems of the quantization of gauge systems. Using the Schwinger model as an exactly tractable but nontrivial example which exhibits general features of gauge quantum field theory, I cover the following subjects: The axiomatics of quantum field theory, formulation of quantum field theory in terms of Wightman functions, reconstruction of the state space, the local formulation of gauge theories, indefiniteness of the Wightman functions in general and in the special case of the Schwinger model, the state space of the Schwinger model, special features of the model. New results are contained in the Mathematical Appendix, where I consider in an abstract setting the Pontrjagin space structure of a special class of indefinite inner product spaces - the so called quasi-positive ones. This is motivated by the indefinite inner product space structure appearing in the above context and generalizes results of Morchio and Strocchi [J. Math. Phys. 31 (1990) 1467], and Dubin and Tarski [J. Math. Phys. 7 (1966) 574]. See the corresponding paper: Schmidt, Andreas U.: "Infinite Infrared Regularization and a State Space for the Heisenberg Algebra" and the presentation "Infinite Infrared Regularization in Krein Spaces".
Okamoto (Crypto 1992) hat die RSA-Repräsentation als Basis eines gegen aktive Angreifer sicheren Identifikationsschemas eingeführt. Eine RSA- Repräsentation von X E Z * N ist ein Paar (x; r) E Z e x Z * N mit X = g x r e (mod N) für vorgegebenes g E ZN , RSA-Modul N und primen RSA- Exponenten e. Das zugehörige Repräsentationsproblem, also das Auffinden eines Wertes X samt zweier verschiedener Darstellungen, ist äquivalent zum RSA-Problem, der Berechnung einer e-ten Wurzel von g modulo N . Von Brassard, Chaum und Crépeau (Journal Computing System Science, 1988) sowie Damgard (Journal of Cryptology, 1995) stammt eine analoge Konstruktion der Form X = g x r 2 t (mod N) mit x E Z 2 t für den Spezialfall der Blum-Zahlen als Modul N und gegebenes t größer gleich 1, wo die Möglichkeit, zwei verschiedene Repräsentationen zu berechnen, gleichbedeutend zur Zerlegung des Moduls in die Primfaktoren ist. Im ersten Abschnitt der vorliegenden Arbeit verallgemeinern wir dieses Konzept systematisch auf beliebige (RSA-)Module durch die Einführung eines Anpassungsparameters r:= r (N ), so dass X = g x r 2 r t (mod N) mit x E Z 2 t. Basierend auf dieser als Faktorisierungsrepräsentation bezeichneten Darstellung leiten wir Identifikations-, Signatur- und Blinde-Unterschriften-Verfahren her. Im zweiten Teil verwenden wir sowohl RSA- als auch Faktorisierungsrepräsentation als Grundlage sogenannter non-malleable Commitment-Schemata zur Hinterlegung (Verbriefung) einer geheimen Nachricht. Bei dem von Dolev, Dwork und Naor (SIAM Journal on Computing, 2000) eingeführten Begriff der Non-Malleability soll ein Angreifer außer Stande sein, die Hinterlegung einer Nachricht m so abzuändern, dass er diese später dann mit einem in Relation zu m stehenden Wert, man denke zum Beispiel an m 1, aufdecken kann. Von Dolev, Dwork und Naor stammt ein allgemeiner Ansatz zur Konstruktion von non-malleable Commitment-Schemata aufbauend auf einem sogenannten Knowledge-Extraktor. Für die RSA-Darstellung verfügt das von Okamoto entworfene Protokoll als Proof-Of-Knowledge über einen solchen Extraktor, bei dem im Fall der Faktorisierungsrepräsentation von uns entwickelten Verfahren fehlt allerdings der Extraktor. Aus diesem Grund stellen wir mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes ein neues, auf Commitments zugeschnittenes Protokoll mit Knowledge-Extraktor vor, das in Verbindung mit der Faktorisierungsrepräsentation ein effizientes Hinterlegungsschema ergibt. Zum Abschluß wird bei einem Commitment- Verfahren mit abgeschwächter Non-Malleability-Eigenschaft von Di Crescenzo, Katz, Ostrovsky und Smith (Eurocrypt 2001) die RSA- durch die Faktorisierungsrepräsentation ersetzt und das Schema vereinfacht.