Mathematik
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The relation between the complexity of a time-switched dynamics and the complexity of its control sequence depends critically on the concept of a non-autonomous pullback attractor. For instance, the switched dynamics associated with scalar dissipative affine maps has a pullback attractor consisting of singleton component sets. This entails that the complexity of the control sequence and switched dynamics, as quantified by the topological entropy, coincide. In this paper we extend the previous framework to pullback attractors with nontrivial components sets in order to gain further insights in that relation. This calls, in particular, for distinguishing two distinct contributions to the complexity of the switched dynamics. One proceeds from trajectory segments connecting different component sets of the attractor; the other contribution proceeds from trajectory segments within the component sets. We call them “macroscopic” and “microscopic” complexity, respectively, because only the first one can be measured by our analytical tools. As a result of this picture, we obtain sufficient conditions for a switching system to be more complex than its unswitched subsystems, i.e., a complexity analogue of Parrondo’s paradox.
We enhance the security of Schnorr blind signatures against the novel one-more-forgery of Schnorr [Sc01] andWagner [W02] which is possible even if the discrete logarithm is hard to compute. We show two limitations of this attack. Firstly, replacing the group G by the s-fold direct product G exp(×s) increases the work of the attack, for a given number of signer interactions, to the s-power while increasing the work of the blind signature protocol merely by a factor s. Secondly, we bound the number of additional signatures per signer interaction that can be forged effectively. That fraction of the additional forged signatures can be made arbitrarily small.
Local interactions between particles of a collection causes all particles to reorganize in new positions. The purpose of this paper is to construct an energy-based model of self-organizing subgroups, which describes the behavior of singular local moves of a particle. The present paper extends the Hegselmann-Krause model on consensus dynamics, where agents simultaneously move to the barycenter of all agents in an epsilon neighborhood. The Energy-based model presented here is analyzed and simulated on finite metric space. AMS Subject Classifications:81T80; 93A30; 37M05; 68U20
In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit der Verallgemeinerung des Satzes von Belyi [B]. Dieser besagt, dass eine Riemannsche Fläche Y genau dann als algebraische Kurve über einem Zahlkörper definiert ist, wenn es auf Y eine nicht-konstante holomorphe Funktion gibt, die über höchstens drei Punkten verzweigt. Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Wir untersuchen darin jeweils die Verallgemeinerung einer der beiden Implikationen aus dem Satz von Belyi auf Varietäten der Dimension zwei und höher. Im ersten Teil der Arbeit zeigen wir, dass eine n-dimensionale projektive komplex algebraische Varietät über einem Zahlkörper definiert ist, falls sie den Pn (oder eine beliebige projektive über Q definierte Varietät) endlich und höchstens über einem rationalen Divisor verzweigt überlagert. Dazu beschreiben wir im ersten Kapitel den Zusammenhang zwischen Varietäten und komplex analytischen Räumen. Wir zeigen, dass die Kategorie der endlichen algebraischen Überlagerungen einer projektiven komplexen Varietät äquivalent zur Kategorie der endlichen verzweigten analytischen Überlagerungen des assoziierten komplex analytischen Raumes ist. Außerdem erläutern wir den Zusammenhang zwischen topologisch unverzweigten Überlagerungen und deren Algebraisierung, den étalen Morphismen zwischen Varietäten. Im zweiten Kapitel führen wir Definitionskörper und Modulkörper von Varietäten ein. Anschließend untersuchen wir die Operation von Körperautomorphismen s E Aut (C/Q) auf komplexen Varietäten. Im dritten Kapitel zeigen wir zunächst, dass der Modulkörper einer endlichen Überlagerung eines geeigneten Grundraumes ein Zahlkörper ist. Danach stellen wir das Resultat von Derome [D] vor, nachdem es einen Definitionskörper im algebraischen Abschluss des Modulkörpers gibt. Daraus folgern wir die Verallgemeinerung dieser Richtung des Satzes von Belyi. Im zweiten Teil beschäftigen wir uns mit der Frage, wie der Verzweigungsdivisor D im Pn aussehen sollte, damit jede über Q definierte Varietät ein Modell besitzt, dass Pn endlich und nur über D verzweigt überlagert. Im vierten Kapitel stellen eine Heuristik zur Korrespondenz zwischen topologischen Überlagerungen und Körpererweiterungen von Q vor. Daraus leitet sich folgende Vermutung ab: Zu jeder über einem Zahlkörper definierten n-dimensionalen Varietät Y gibt es eine birational äquivalente normale Varietät Y und einen Morphismus f : Y -> Pn, der nur über dem Komplement von M0,n+3 verzweigt. Die Vermutung steht im Einklang mit dem eindimensionalen Satz von Belyi. Alle Modulräume erfüllen die Voraussetzung für die im dritten Kapitel bewiesene Umkehrung. Im letzten Kapitel beschäftigen wir uns mit komplex algebraischen Flächen. Wir zeigen, dass die Vermutung aus dem vierten Kapitel für abelsche Flächen richtig ist. Dieses Ergebnis haben wir gemeinsam mit Horst Hammer (Karlsruhe) erzielt. Anschließend geben wir einen Überblick über weitere Resultate in dieser Richtung. Schließlich beschreiben wir die topologischen Überlagerungen von M0,5 und stellen eine Verallgemeinerung der Dessins d'Enfants vor.
Eine nichtgeometrische Konstruktion der Spektren P(n) und multiplikative Automorphismen von K(n)
(1995)
Kieferorthopäden beschreiben die Anordnung der Zähne und die Stellung der Kiefer üblicherweise mittels Winkel und Strecken in der sagittalen Gesichtsebene. Im vorliegenden Fall werden fünf Winkel betrachtet und jedes Individuum lässt sich als Punkt in einem 5-dimensionalen Raum darstellen. Individuen, die laut Experten ein gut funktionierendes Gebiss und ein harmonisches Äußeres besitzen, formen eine Punktwolke, die im Folgenden als die Norm Population bezeichnet wird. Individuen fern von der Wolke benötigen kieferorthopädische Behandlung. Welche Form sollte dieser Eingriff annehmen? Durch Hilfsmittel der modernen Kieferorthopädie lassen sich die beschriebenen Winkel nahezu nach Belieben ändern. Dies ist natürlich verbunden mit einer unterschiedlichen Menge an Problemen, Arbeitsaufwand und Unannehmlichkeiten, abhängig vom individuellen Patienten. Diese Arbeit präsentiert eine Methode, die auf jedem Computer leicht implementierbar und auf k Variablen verallgemeinerbar ist. Sie ermöglicht Kieferorthopäden eine Visualisierung, wie verschiedene denkbare Anpassungen der Winkel eines Patienten dessen relative Position zur Norm Population verändern. Damit unterstützt sie Kieferorthopäden bei der Entscheidung für einen Behandlungsplan, der die besten Ergebnisse verspricht.