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Björn Schwalb

• Diese Diplomarbeit behandelt eine Fragestellung aus dem Gebiet der Fuchsschen Gruppen. Das Problem, das hier geklärt werden soll, entspringt einer im Jahre 2005 erschienenen Arbeit über Konjugatoren Fuchsscher Gruppen und quasiplatonische Riemannsche Flächen von Jürgen Wolfart und Ernesto Girondo [GW05]. Es ist dort ein alternativer geometrischer Weg gewählt worden, um es zu umgehen, und es soll nun hier mit den bereits 1970 bereitgestellten Methoden zur Fragestellung der Existenz von Untergruppen Fuchsscher Gruppen von David Singerman [SIN70] gelöst werden. Betrachtet man eine Dreiecksgruppe $Delta_{1}$ als Untergruppe einer Dreiecksgruppe $Delta_{2}$, so kann es vorkommen, dass diese Inklusion eine Verfeinerung durch eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta$ gestattet. In den Fällen, in denen zu einer gegebenen Dreiecksgruppe $Delta_{2}$ voneinander verschiedene Untergruppen gleicher Signatur $Delta_{1},Delta_{1}Apostroph,...$ existieren, ist es nicht a priori klar, dass es eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gleicher Signatur zu jeder dieser verschiedenen Untergruppen gibt. Das Ziel dieser Arbeit ist es nun, dies zu klären, d.h. zu zeigen, dass es für jedes Paar Dreiecksgruppen $Delta_{1}subseteqDelta_{2},Delta_{1}ApostrophsubseteqDelta_{2},...$ eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gibt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine grobe Einleitung in die Theorie der Diskontinuierlichen Gruppen gegeben, die sehr stark auf Fuchssche Gruppen abzielt und mit deren Verbindung zu Riemannschen Flächen abschließt. Sie orientiert sich sehr stark an einem Standardwerk über Diskontinuierliche Gruppen von Joseph Lehner [LEH64]. Im zweiten Teil dieser Arbeit widmen wir uns ganz den Untergruppen Fuchsscher Gruppen und dem von David Singerman [SIN70] bereitgestellten Apparat, der eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür aufzeigt. Wie David Singerman auch zeigt, lassen sich diese Methoden für Normalteiler und Dreiecksgruppen spezialisieren. Wir werden uns dem auch annehmen. Abschließend erarbeiten wir dann eine ausführliche Methode und somit auch einen Beweis zur Erlangung der kompletten Liste von Inklusionen Fuchsscher Dreiecksgruppen, wie sie sich in einer weiteren Arbeit David Singermans befindet [SIN72]. Dies geschieht mit Hilfe zweier Maple-Programme deren Quellcode und Ausgabe sich im Anhang bzw. vierten Teil dieser Arbeit zur Einsicht bendet. Im dritten Teil dieser Arbeit wird schließlich die oben erläuterte Fragestellung geklärt werden. Sie wird zunächst anhand vieler Beispiele und Erläuterungen verdeutlicht, und im Anschluss dessen eine mögliche Verallgemeinerung auf Fuchssche Gruppen diskutiert.
• This diploma thesis covers a problem in the field of Fuchsian groups. The problem that is to be solved here originates from a paper about conjugators of Fuchsian groups and quasiplatonic surfaces by Jürgen Wolfart and Ernesto Girondo [GW05]. There, an alternative geometrical way has been chosen in order to avoid it. In this thesis, the problem is to be solved by applying a method from 1970 which deals with the existence of subgroups of Fuchsian groups by David Singerman [SIN70]. Let $Delta_{1}$ be a triangle subgroup of a triangle group $Delta_{2}$. It can happen that this inclusion allows a refinement by an intermediate triangle group $Delta$. In cases where there are different subgroups $Delta_{1},Delta_{1}apostrophe,...$ of the same signature in a given triangle group $Delta_{2}$ it is not a priori clear that there are intermediate triangle groups $Delta,Deltaapostrophe,...$ of the same signature to all those different subgroups. The aim of this thesis is to show, that for every pair of triangle groups $Delta_{1}subseteqDelta_{2},Delta_{1}apostrophesubseteqDelta_{2},...$, there is an intermediate triangle group $Delta,Deltaapostrophe,...$. A short introduction to the theory of discontinuous groups, will be given in the first part of this thesis, with a strong focus on Fuchsian groups and with their connection to Riemann surfaces at its end. It is very much geared to a standard work about discontinuous groups by Joseph Lehner [LEH64]. The second part of this thesis is dedicated to subgroups of Fuchsian groups and to a method developed by David Singerman [SIN70], giving a necessary and sufficient constraint for them. David Singerman also shows that these methods can be specialized when applied to normal subgroups and triangle groups. We will attend to these too. Finally we will develop a detailed method and hence a proof to obtain the complete list of inclusions of Fuchsian triangle groups, which can be found in another work of David Singerman [SIN72]. This is done by means of two maple-programs, whose source code and display is provided in the appendix respectively the fourth part of this thesis. In the third part of this thesis the central issue will eventually be solved. At first it will be clarified on the basis of examples and explanations, and finally a possible generalization on Fuchsian groups will be discussed.