Open Access

Frank Feierabend

• Gegenstand dieser Arbeit sind Galoisoperationen auf quasiplatonischen Riemannschen Flächen mit einer Automorphismengruppe isomorph zu PSL(2,F(q)). Quasiplatonische Riemannsche Flächen werden durch torsionsfreie Normalteiler N in einer Dreiecksgruppe D uniformisiert, d.h. N ist die universelle Überlagerungsgruppe und die Flächen, die man auch als algebraische Kurven beschreiben kann, sind isomorph zu N\U, wenn U die obere Halbebene bezeichnet. Bzgl. der Größe der Automorphismengruppen bilden die quasiplatonischen Kurven die lokalen Maxima im Modulraum. Die absoluten Maxima liegen bei den Hurwitz-Kurven; hier hat die Automorphismengruppe die maximale Größe von 84(g-1), wenn g>1 das Geschlecht der Kurve ist. Der Normalisator in PSL(2,R) der Überlagerungsgruppe N ist dann die Dreiecksgruppe mit Signatur (2,3,7). Macbeath hat die Bedingungen dafür gefunden, wann PSL(2,F(q)) eine Hurwitz-Gruppe ist. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, dass q=p eine Primzahl kongruent +-1 mod 7 ist. Hier hat man drei nicht-isomorphe Kurven, die jedoch alle galoiskonjugiert zueinander sind. In der Arbeit werden Bedingungen angegeben, unter denen sich dieses Resultat auf Dreiecksgruppen D mit einer Signatur der Form (2,m_1,m_2) verallgemeinern lässt. Dabei gehen einerseits Ergebnisse von Frye ein, der die Anzahl der verschiedenen torsionsfreien Normalteiler N<D mit Quotienten PSL(2,F(q)) über die Spurtupel der Erzeugenden von D bestimmt hat. Andererseits wird eine Methode von Streit verwendet, mit der man die Galoisoperation auf den Kurven anhand des Verhaltens der Multiplikatoren der Erzeugenden in der Automorphismengruppe nachvollziehen kann. Es zeigt sich, dass sich Spur- und Multiplikatortupel entsprechen, woraus man die Anzahl und Länge der Galois-Orbits erhält. Außerdem lässt sich der Definitionskörper der Kurven bestimmen. Offen bleibt das genaue Verhalten bei Signaturen (m_0,m_1,m_2) mit m_i ungleich 2 für alle i. Hier gibt es zu jedem Multiplikatortupel zwei verschiedene Spurtupel. Kann man die Kurven durch die Multiplikatoren beschreiben, dann erhält man Projektionen D->>PSL(2,F(q)) auch über die Quaternionenalgebra, die die Dreiecksgruppe über ihrem Spurkörper erzeugt. Die Normalteiler erweisen sich dann als Schnitt der Dreiecksgruppe mit einer Hauptkongruenzuntergruppe nach einem Primideal P|char(F(q)) in der Norm-1-Gruppe einer Ordnung der Quaternionenalgebra. Dabei ist das Spurtripel in PSL(2,F(q)) gerade das Spurtripel aus D modulo P. Ändert man P, so erhält man ein anderes Spurtripel in PSL(2,F(q)), also auch einen anderen Normalteiler. Bilden die zugehörigen Kurven eine Bahn unter der Galoisoperation, dann ergeben sich alle Normalteiler auf diese Weise. Die Galoisoperation auf den Tripeln der Multiplikatoren, also die Galoisoperation auf den Kurven, ist verträglich mit der Operation, die die Primideale P|char(F(q)) permutiert. Wir erhalten also eine natürliche Korrespondenz zwischen der Galoisoperation auf den Kurven einerseits und der Operation auf den Primidealen andererseits.
• In this thesis we look at Galois-actions on quasiplatonic Riemann surfaces with automorphism group isomorphic to PSL(2,F(q)). These surfaces are uniformized by torsion free normal subgroups in a triangle group D, i.e. N is the universal covering group and the surfaces, which can be described as algebraic curves, are isomorphic to N\U, U denoting the upper halfplane. Concerning the size of the automorphism group quasiplatonic curves are local maxima in moduli space. The absolute maxima are the so called Hurwitz curves. For Hurwitz curves the automorphism group has size 84(g-1) where g>1 denotes the genus. In this case, the normalizer in PSL(2,R) of the covering group N is the triangle group with signature (2,3,7). Macbeath proved conditions such that PSL(2,F(q)) is a Hurwitz group. The case where q is a prime congruent +-1 mod 7 is especially interesting, because one gets three non-isomorphic curves forming one orbit under the Galois-action. We show how to generalize this result to triangle groups D with a signature of type (2,m_1,m_2). We use results by Frye counting the number of different torsion free normal subgroups N<D with quotient PSL(2,F(q)) via tuples of the traces of the generating Elements of D, and a method of Streit that relates the Galois-action on the curves to the multipliers of the generating elements in the automorphism group. We see that there is a correspondence between the traces and the multipliers involved which lets us compute the number and lengths of the Galois-orbits. Furthermore, we can determine the field of definition of the curves. For signatures of type (m_0, m_1, m_2) with all m_i not equal to 2 the exact behaviour cannot be described in this way, since there are two tuples of traces for each tuple of multipliers. If it is possible to describe the curves via multipliers, then one also gets projections D->>PSL(2,F(q)) via the quaternion algebra generated by the triangle group over its trace field. In this case the normal subgroups are the intersections of the triangle group with the principal congruence subgroups by prime ideals P|char(F(q)) in the norm-1-group of an order in the quaternion algebra. The trace tuple in PSL(2,F(q)) is equal to the trace tuple in D mod P. Changing P one gets a different trace tuple in PSL(2,F(q)) and thus a different normal subgroup. If the corresponding curves are all in one Galois-orbit, then all normal subgroups can be obtained in this way. The Galois-action on the tuples of multipliers, that is the action on the curves, is compatible with the action permuting prime ideals P|char(F(q)). We therefore have a correspondence between the Galois-action on the curves and the action on the prime ideals.