## Projections of tropical varieties and an application to small tropical bases

### Projektionen tropischer Varietäten und eine Anwendung auf kurze tropische Basen

• Tropical geometry is the geometry of the tropical semiring $\mathbb{T}:=(\mathbb{R}\cup\{\infty\},\min,+).$ Classical algebraic structures correspond to tropical structures. If $I\lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ is an ideal in a polynomial ring over a field $K$ with valuation $v$, then the classical algebraic variety correspond to the tropical variety $T(I)$. It is the set of all points $w$, such that the minimum $\min\{v(c_\alpha)+w\cdot\alpha\}$ is achieved twice for all $f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in I$. So tropical geometry relates algebraic geometric problems with discrete geometric problems. In this thesis we obtain a tropical version of the Eisenbud-Evans Theorem which states that every algebraic variety in $\mathbb{R}^n$ is the intersection of $n$ hypersurfaces. We find out that in the tropical setting every tropical variety $T(I)$ can be written as an intersection of only $(n+1)$ tropical hypersurfaces. So we get a finite generating system of $I$ such that the corresponding tropical hypersurfaces intersect to the tropical variety, a so-called tropical basis. Let $I \lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ be a prime ideal generated by the polynomials $f_1, \ldots, f_r$. Then there exist $g_0,\ldots,g_{n} \in I$ such that $T(I) \ = \ \bigcap_{i=0}^{n}T(g_i)$ and thus $\mathcal{G} := \{f_1, \ldots, f_r, g_0, \ldots, g_{n}\}$ is a tropical basis for $I$ of cardinality $r+n+1$. Tropical bases are discussed by Bogart, Jensen, Speyer, Sturmfels and Thomas where it is shown that tropical bases of linear polynomials of a linear ideal have to be very large. We do not restrict the tropical basis to consist of linear polynomials and therefore we get a shorter tropical basis. But the degrees of our polynomials can be very large. The main ingredient to get a short tropical basis is the use of projections, in particular geometrically regular projections. Together with the fact that preimages of projections of tropical varieties are themselves tropical varieties of a certain elimination ideal we get the desired result. Let $I \lhd K[x_1, \ldots, x_n]$ be an $m$-dimensional prime ideal and $\pi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{m+1}$ be a rational projection. Then $\pi^{-1}(\pi(T(I)))$ is a tropical variety, namely $\pi^{-1}(\pi(T(I))) \ = \ T(J \cap K[x_1, \ldots, x_n]) \,$ Here $J$ is an ideal in $K[x_1,\ldots,x_n,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-m-1}]$ derived from the ideal $I$. We show that this elimination ideal is a principal ideal which yields a polynomial in our tropical basis. The advantage of our method is that we find our polynomials by projections and therefore we can use the results of Gelfand, Kapranov and Zelevinsky , of Esterov and Khovanskii , and of Sturmfels, Tevelev and Yu. With mixed fiber polytopes we get the structure and combinatorics of the image of a tropical variety and therefore the structure of the polynomials in our tropical basis. Let $I=\lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ an $m$-dimensional ideal, generated by generic polynomials $f_1,\ldots, f_{n-m}$, $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{m+1}$ a projection and $\psi$ a projection presented by a matrix with a rowspace equal to the kernel of $\pi$. Then up to affine isomorphisms, the cells of the dual subdivision of $\pi^{-1} \pi T(I)$ are of the form $\sum_{i=1}^p \Sigma_{\psi} (C_{i1}^{\vee}, \ldots, C_{i{k}}^{\vee})$ for some $p\in\mathbb{N}$ and faces $F_1, \ldots, F_p$ of $T(f_1)\cap\ldots\cap T(f_k)$ and the dual cell of $F_i\subseteq U = T(f_1)\cup\ldots\cup T(f_k)$ is given by $F_i^\vee=C_{i1}^{\vee}+ \ldots+ C_{ik}^{\vee}$ with faces $C_{i1}, \ldots, C_{i k}$ of $T(f_1), \ldots, T(f_{k})$. In case that we project a tropical curve we want to find the number of $(n-1)$-cells of the above form with $p>1$, i.e. the cells which are dual to vertices of $\pi(T(I))$ which are the intersection of the images of two non-adjacent $1$-cells of $T(I)$. Vertices of this type are called selfintersection points. We show that there exist a tropcal line $L_n\subset\mathbb{R}^n$ and a projection $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^2$, such that $L_n$ has $\sum_{i=1}^{n-2}i$ selfintersection points. Furthermore we find tropical curves $\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^n$, which are transversal intersections of $n-1$ tropical hypersurfaces of degrees $d_1,\ldots,d_{n-1}$ and a projection $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^2$, such that $\mathcal{C}$ has at least $(d_1\cdot\ldots\cdot d_{n-1})^2\cdot \sum_{i=1}^{n-2}i)$ selfintersection points. A caterpillar is a certain simple type of a tropical line and for this type we show that it can have at most $\sum_{i=1}^{n-2}i$ selfintersection points.
• Tropische Geometrie ist die Geometrie des tropischen Semiringes $\mathbb{T}:=(\mathbb{R}\cup\{\infty\},\min,+).$ Dabei werden klassischen algebraischen Strukturen tropische Strukturen entgegengesetzt. Ist $I\lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ ein Ideal in einem Polynomring über einem mit $v$ bewerteten Körper $K$, dann entspricht der klassischen algebraischen Varietät von $I$, also der Nullstellenmenge des Ideals, die tropische Varietät $T(I)$. Diese ist die Menge aller Punkte $w$, so dass das Minimum $\min\{v(c_\alpha)+w\cdot\alpha\}$ für jedes $f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in I$ zweimal angenommen wird. Tropische Geometrie stellt also den algebraisch-geometrischen Problemen diskrete geometrische Probleme gegenüber. Hier wird eine tropische Variante des Eisenbud-Evans-Theorems gezeigt, welches besagt, dass jede algebraische Varietät im $\mathbb{R}^n$ der Durchschnitt von $n$ Hyperflächen ist. Tropisch sind höchstens $n+1$ tropische Hyperflächen nötig, um eine tropische Varietät $T(I)$ als Durchschnitt darzustellen. Also finden wir ein endliches Erzeugendensystem von $I$, so dass der Durchschnitt der zugehörigen Hyperflächen die tropische Varietät ergibt, eine sogenannte tropische Basis: Sei $I \lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ ein Ideal, erzeugt von den Polynomen $f_1, \ldots, f_r$. Dann existieren $g_0,\ldots,g_{n} \in I$ mit $T(I) \ = \ \bigcap_{i=0}^{n}T(g_i)$ und somit ist $\mathcal{G} := \{f_1, \ldots, f_r, g_0, \ldots, g_{n}\}$ eine tropische Basis für $I$ der Kardinalität $r+n+1$. Tropische Basen werden beispielsweise von Bogart, Jensen, Speyer, Sturmfels und Thomas behandelt. Sie haben festgestellt, dass tropische Basen linearer Ideale, die aus linearen Polynomen bestehen, sehr groß sein können. Aber wir beschränken uns nicht auf den Fall linearer Polynome und können somit eine kürzere tropische Basis bekommen. Dafür werden bei uns die Grade der beteiligten Polynome umso größer. Der wichtigste Baustein, um kurze tropische Basen zu finden ist der Gebrauch von Projektionen, vor allem von geometrisch regulären Projektionen. Zusammen mit der Tatsache, dass Urbilder von Projektionen tropischer Varietäten wieder tropische Varietäten von bestimmten Eliminationsidealen sind, bekommt man das erwünschte Ergebnis: Sei $I \lhd K[x_1, \ldots, x_n]$ ein $m$-dimensionales Primideal und $\pi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{m+1}$ eine rationale Projektion. Dann ist $\pi^{-1}(\pi(T(I)))$ eine tropische Varietät mit $\pi^{-1}(\pi(T(I))) \ = \ T(J \cap K[x_1, \ldots, x_n]) \,$ Hier ist $J$ ein von $I$ abgeleitetes Ideal in $K[x_1,\ldots,x_n,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-m-1}]$. Wir zeigen, dass dieses Eliminationsideal ein Hauptideal ist und wir somit ein Polynom der tropischen Basis erhalten. Der Vorteil dieser Methode ist, dass die Polynome durch Projektionen gefunden wurden und somit die Ergebnisse von Gelfand, Kapranov und Zelevinsky, Esterov und Khovanskii und von Sturmfels, Tevelev und Yu angewendet werden können. Mithilfe gemischter Faserpolytope bekommt man die Struktur und Kombinatorik des Bildes einer tropischen Varietät und damit die Struktur der Polynome in der tropischen Basis. Sei $I\lhd K[x_1,\ldots,K_n]$ ein $m$-dimensionales Ideal, $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{m+1}$ eine Projektion, und $\psi$ eine Projektion, dargestellt durch eine Matrix mit einem Zeilenraum, der gleich dem Kern von $\pi$ ist. Dann haben bis auf affine Isomorphismen der Zellen die Zellen der dualen Unterteilung von $\pi^{-1} \pi T(I)$ die Form $\sum_{i=1}^p \Sigma_{\psi} (C_{i1}^{\vee}, \ldots, C_{i{k}}^{\vee})$ mit einem $p \in \mathbb{N}$ und Seiten $F_1, \ldots, F_p$ von $T(f_1)\cap\ldots\cap T(f_k)$ und die duale Zelle von $F_i\subseteq U = T(f_1)\cup\ldots\cup T(f_k)$ ist durch $C_{i1}^{\vee}+ \ldots+ C_{ik}^{\vee}$ mit Seiten $C_{i1}, \ldots, C_{i k}$ von $T(f_1), \ldots, T(f_{k})$ gegeben. Im Fall der Projektion einer tropischen Kurve wollen wir die Anzahl der $(n-1)$-Zellen von der obigen Form mit $p>1$ finden, also der Zellen die dual zu Ecken von $\pi(T(I))$ sind, welche Schnitte von Bildern zweier nicht benachbarter $1$-Zellen von $T(I)$ sind. Ecken dieses Typs bezeichnen wir als Selbstschnitte. Wir zeigen, dass eine tropische Gerade $L_n\subset\mathbb{R}^n$ und eine Projektion $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^2$ existieren, so dass $L_n$ $\sum_{i=1}^{n-2}i$ Selbstschnitte besitzt. Außerdem finden wir tropische Kurven $\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^n$, welche transversale Schnitte von $n-1$ tropischen Hyperflächen vom Grade $d_1,\ldots,d_{n-1}$ sind und eine Projektion $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^2$, so dass $\mathcal{C}$ mindestens $(d_1\cdot\ldots\cdot d_{n-1})^2\cdot \sum_{i=1}^{n-2}i$ Selbstschnitte besitzt. Ein Katerpillar ist ein bestimmter einfacher Typ einer tropischen Gerade und wir beweisen, dass solche tropischen Geraden höchstens $\sum_{i=1}^{n-2}i$ Selbstschnitte besitzen.