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Mykhailo Saienko

• Given an Abelian semi-group (A, +), an A-valued curvature measure is a valuation with values in A-valued measures. If A = R, complete classifications of Hausdorff-continuous translation-invariant SO(n)-invariant valuations and curvature measures were obtained by Hadwiger and Schneider, respectively. More recently, characterisation results have been achieved for curvature measures with values in A = Sym^p R^n and A = Sym^2 Λ^q R^n for p, q ≥ 1 with varying assumptions as for their invariance properties. In the present work, we classify all smooth translation-invariant SO(n)-covariant curvature measures with values in any SO(n)-representation in terms of certain differential forms on the sphere bundle S R^n and describe their behaviour under the globalisation map. The latter result also yields a similar classification of all continuous SO(n)-module-valued SO(n)-covariant valuations. Furthermore, a decomposition of the space of smooth translation- invariant scalar-valued curvature measures as an SO(n)-module is obtained. As a corollary, we construct explicit bases of continuous translation-invariant scalar-valued valuations and smooth translation-invariant scalar-valued curvature measures.
• Falls (A; +) eine Abelsche Halbgruppe ist, so ist ein A-wertiges Krümmungsmaß eine Bewertung mit Werten in A-wertigen Maßen. Für A = R wurden Hausdorff-stetige translationsinvariante SO(n)-invariante Bewertungen und Krümmungsmaße vollständig von Hadwiger und Schneider klassifiziert. Es gibt ähnliche Klassifizierungsresultate für Bewertungen und Krümmungsmaße mit Werten in A = Sym^p R^n and A = Sym^2 Λ^q R^n, wobei p; q >= 1, und verschiedenen Invarianzeigenschaften bzgl. der Translationen und der Wirkung von SO(n). In der vorliegenden Arbeit klassifzieren wir alle glatten translationsinvarianten SO(n)-kovarianten Krümmungsmaße mit Werten in einer beliebigen Darstellung von SO(n), indem wir jedem solchen Krümmungsmaß eine Äquivalenzklasse von bestimmten Differentialformen auf dem Sphärenbündel SRn zuordnen. Außerdem beschreiben wir deren Verhalten unter der Globalisierungsabbildung, was uns erlaubt, eine ähnliche Klassifizierung von allen stetigen SO(n)-Modul-wertigen SO(n)-kovarianten Bewertungen zu erlangen. Darüber hinaus geben wir eine Zerlegung des Raumes von glatten translationsinvarianten skalarwertigen Krümmungsmaßen als ein SO(n)-Modul. Als ein Korollar konstruieren wir explizite Basen von stetigen traslationsinvarianten skalarwertigen Bewertungen und glatten translationsinvarianten skalarwertigen Krümmungsmaßen.