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Rebecca Dorothee Büchner

• Das Strukturgleichungsmodell (SEM) wird in den Sozial- und Verhaltenswissenschaften oft verwendet, um die Beziehung zwischen latenten Variablen zu modellieren. In der Analyse dieser Modelle spielt die Bewertung der Modellgüte eine wesentliche Rolle, wobei geprüft werden soll, ob das untersuchte Modell (Zielmodell) zu den erhobenen Daten passt. Dafür werden verschiedene inferenzstatistische und deskriptive Gütemaße verwendet. In nichtlinearen SEM, in denen nichtlineare Effekte, wie beispielsweise Interaktionseffekte, modelliert werden, gibt es bisher allerdings keine Verfahren, um die Modellgüte ausreichend prüfen zu können. Insbesondere der χexp2-Test ist für verschiedene nichtlineare SEM nicht geeignet (vgl. Klein & Schermelleh-Engel, 2010; Mooijaart & Satorra, 2009). In dieser Arbeit werden zwei unterschiedliche nichtlineare SEM betrachtet. Das erste dieser Modelle wird für die Analyse von Interaktions- und quadratischen Effekten verwendet (quadratisches SEM, QSEM). Das zweite Modell ist das Heterogene Wachstumskurvenmodell (HGM; Klein & Muthén, 2006). In diesem Modell wird das latente Wachstumskurvenmodell (LGM), mit dem individuelle Wachstumsverläufe modelliert werden können, um eine heterogene Varianzkomponente des Slope-Faktors erweitert. Diese Heterogenität des Slope-Faktors ist abhängig von den Ausgangswerten und Kovariaten. Ziel dieser Arbeit war es, die Bewertung der Modellgüte für das QSEM und das HGM zu verbessern. Für das QSEM und das HGM wurde jeweils ein globaler Modelltest entwickelt („Quasi-Likelihood-Ratio-Test“; QLRT). Darüber hinaus wurden Differenztests für diese Art der Modelle diskutiert. Außerdem wurde für beide Modelle je ein Gütemaß bereitgestellt, um fehlende Nichtlinearität, wie fehlende nichtlineare Terme bzw. fehlende Heterogenität der Slope-Varianzen, aufdecken zu können (der Homoscedastic Fit Index, HFI, für das QSEM und der hhet-Test für das HGM). Die Entwicklung der neuen Gütemaße ist im Wesentlichen von der verwendeten Schätzmethode abhängig. Für beide Modelle, das QSEM und das HGM, wurde in dieser Arbeit die Quasi-Maximum-Likelihood-Methode (Quasi-ML-Methode; Wedderburn, 1974) ausgewählt, mit der für beide betrachteten Modelle geeignete Schätzungen erzielt werden können (Klein & Muthén, 2006, 2007). Die Quasi-ML-Methode ist vergleichbar mit der Maximum-Likelihood-Methode, berücksichtigt allerdings Fehlspezifikationen der LogLikelihood-Funktion, wie beispielsweise kleinere Abweichungen von der angenommenen Verteilung. Für das QSEM wurde im Rahmen der Entwicklung der Modelltests eine zur Schätzung von QSEM entwickelte Quasi-ML-Methode (QML-Methode; Klein & Muthén, 2007) vereinfacht zu der „simplified QML“-Methode (sQML-Methode; Büchner & Klein, 2019). Für die sQML-Methode ist es erheblich einfacher als für die QML-Methode einen globalen Modelltest zu entwickeln. In einer Simulationsstudie konnte gezeigt werden, dass die sQML-Methode ähnlich gute Schätzeigenschaften wie die QML-Methode aufweist. Die Idee der neuen globalen Modelltests für das QSEM und das HGM besteht darin, statt des für das lineare SEM verwendeten χexp2-Tests, der ein Likelihood-Quotienten-Test („Likelihood Ratio Test“, LRT) ist, einen Quasi-LRT (QLRT) zu verwenden, der auf der Quasi-ML-Methode basiert (Büchner & Klein, 2019; Büchner, Klein & Irmer, 2019). Wie für den χexp2-Test soll das Zielmodell mit einem unbeschränkten Vergleichsmodell verglichen werden. Ist der Unterschied zwischen den Modellen groß, wird darauf geschlossen, dass das Zielmodell nicht gut zu den Daten passt. Die Schwierigkeit bei der Entwicklung solcher QLRT liegt dabei in der Definition eines Vergleichsmodells. Die hier verwendete Idee für solche Vergleichsmodelle besteht darin, wie im χexp2-Test, die Beschränkungen durch das Zielmodell im Vergleichsmodell aufzuheben. Eine weitere Herausforderung ist die Bestimmung der asymptotischen Verteilung der QLRT-Statistiken, die nicht, wie viele LRT-Statistiken, asymptotisch χexp2-verteilt sind. Deshalb wurde die korrekte asymptotische Verteilung dieser Teststatistiken bestimmt, die das Ermitteln von p-Werten ermöglicht. Globale Modelltests sind zwar geeignet, wichtige Aussagen zur Passung des Modells zu machen, ermöglichen aber keine direkte Aussage über den Vergleich zweier konkurrierender Modelle. Ein solcher Modellvergleich ist aber wichtig, um ein möglichst sparsames Modell zu erhalten. Zum Vergleich ineinander geschachtelter Modelle werden häufig Differenztests verwendet. Diese werden auch in der Arbeit mit dem QSEM und dem HGM empfohlen. Allerdings ist zu beachten, dass die Teststatistiken für mit der Quasi-MLMethode geschätzten Modelle nicht χexp2-verteilt sind. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine korrekte asymptotische Verteilung angegeben. Im Speziellen wurde der Differenztest für den Vergleich zwischen einem HGM und einem LGM vorgestellt, mit dem getestet wird, ob die im HGM modellierten heterogenen Slope-Varianzen notwendig sind. Ein weiteres Ziel bestand darin, fehlende Nichtlinearität, die nicht in einem Modell berücksichtigt ist, aufzudecken. Dafür wurde ein Test für Regressionsmodelle, der hhet-Test (Klein, Gerhard, Büchner, Diestel & Schermelleh-Engel, 2016), angepasst. Für das SEM wurde dieser Test zu einem Fit-Index, dem HFI (Gerhard, Büchner, Klein & SchermellehEngel, 2017), weiterentwickelt und darin die Verteilung der Residuen der abhängigen Variable bewertet. Der HFI deckt dabei Veränderungen in der Verteilung auf, die durch fehlende nichtlineare Terme verursacht sind. Für das LGM wird der hhet-Test verwendet, um fehlende heterogene Entwicklungsverläufe aufzudecken. Es wird die Verteilung der mit dem LGM standardisierten beobachteten Variablen geprüft. Für alle vorgeschlagenen Gütemaße wurden Simulationsstudien durchgeführt, um ihre Eignung für die Bewertung des QSEMs bzw. des HGMs zu prüfen. Die α-Fehler-Raten waren meistens nahe an dem erstrebten 5%-Niveau. Für den QLRT für das QSEM bei kleinen Stichproben und für den HFI bei komplexeren Modellen waren sie allerdings erhöht. Darüber hinaus zeigten die Tests insgesamt eine gute Teststärke für das Aufdecken von Fehlspezifikationen. Wie in allen statistischen Tests muss dafür die Stichprobengröße ausreichend groß sein. Die praktische Anwendbarkeit der beiden QLRTs, des hhet-Tests und des Differenztests für das HGM wurde anhand von empirischen Beispielen aufgezeigt.