Geometry of Prym-Teichmüller Curves and \bC-linear Manifolds Zusammenfassung der Dissertation von Jonathan Zachhuber Familien von flachen Flächen sind die zentralen Objekte der Dissertation. Dabei besteht eine flache Fläche (X,\omega) aus einer kompakten riemannschen Fläche (äquivalent einer glatten projektiven komplexen algebraischen Kurve) und einer holomorphen Differentialform \omega\in\H^{1,0}(X)\setminus\{0\}. Indem wir \omega integrieren, können wir X außerhalb der Nullstellen von \omega mit einer flachen Metrik versehen, bzw. mit einem komplexen Atlas, dessen Kartenwechsel"-abbildungen lokal durch Translationen gegeben werden. Weiterhin bezeichnen wir den Modulraum der projektiven komplexen algebraischen Kurven vom Geschlecht g mit \cM_g und den Modulraum der flachen Flächen vom Geschlecht g mit \Omega\cM_g. Es gibt eine natürliche Projektionsabbildung \pi\colon\Omega\cM_g\to\cM_g. Die Gruppe \SL_2(\bR) operiert auf dem Modulraum der flachen Flächen durch Scheren der flachen Struktur. In dem (seltenen) Fall, dass \cC=\pi(\SL_2(\bR)\cdot(X,\omega)) in \cM_g eindimensional (also eine Kurve) ist, nennen wir \cC eine Teichmüllerkurve. Die Menge der bekannten Teichmüllerkurven ist recht überschaubar: Es gibt eine Reihe von "klassischen Beispielen", die auf Veech und Ward zurückgehen und später von Bouw und Möller verallgemeinert wurden (sie liefern Beispiele für Teichmüllerkurven mit beliebig großem Fasergeschlecht). Weiterhin gibt es die Weierstraßkurven, eine unendliche Familie von Teichmüllerkurven im \cM_2, die von McMullen und Kalta entdeckt wurden. McMullen hat eine Beschreibung aller Teichmüllerkurven in \cM_2 geliefert. Weiterhin hat er unendliche Familien in \cM_3 und \cM_4 konstruiert, die Prym-Teichmüllerkurven. Kürzlich haben Mukamel, McMullen und Wright neue Familien in Geschlecht 4 entdeckt. Andererseits gibt es eine Reihe starker Endlichkeitsaussagen, die vermuten lassen, dass es sich bei diesen Familien um ein spezielles Phänomen in niedrigem Geschlecht handelt. Die Weierstraßkurven in \cM_2 sind ausführlich studiert worden. McMullen trieb die topologische Klassifikation voran, indem er die Anzahl der Spitzen und Zusammenhangskomponenten klassifizierte. Seine Doktoranden Bainbridge und Mukamel bestimmten die (Orbifold-)Eulercharakteristik und die Typen und Anzahl der Orbifoldpunkte der einzelnen Kurven, so dass das Geschlecht dieser Teichmüllerkurven bestimmt werden konnte. Die Prym-Teichmüllerkurven in \cM_3 und \cM_4 sind, wie die Weierstraßkurven in \cM_2 durch quadratische Diskriminanten indiziert. In diesen Fällen wurde die Eulercharakteristik von Möller berechnet, die Berechnung der Anzahl der Spitzen sowie der Zusammenhangskomponenten erfolgte durch Lanneau und Nguyen. Das erste Resultat der Dissertation ist in gemeinsamer Arbeit mit David Torres-Teigell entstanden. \begin{theorem} Für nicht-quadratische Diskriminanten D>12 hat die entsprechende Prym-Teichmüllerkurve in \cM_3 nur Orbifoldpunkte von Ordnung 2 und 3. Ihre Anzahl wird explizit durch die Anzahl ganzzahliger Lösungen quadratischer Formen beschrieben. \end{theorem} Für kleine D spielen zusätzliche Symmetrien eine Rolle, die wir gesondert behandeln. Weiterhin geben wir Prototypen an, die die flache Struktur dieser Orbifoldpunkte explizit geometrisch beschreiben. Für D\equiv 1\mod 8 zerfällt die zugehörige Prym-Teichmüllerkurve in zwei Zusammenhangskomponenten. In einem weiteren Kapitel der Arbeit wird eine Spin-Invariante beschrieben, mit deren Hilfe man bestimmen kann, welche Spitze auf welcher Komponente liegt. Damit kann das zweite Resultat der Dissertation gezeigt werden: \begin{theorem} Sei D\equiv 1\mod 8 kein Quadrat. Dann sind die zwei Zusammenhangskomponenten der zugehörigen Prym-Teichmüllerkurve in \cM_3 homöomorph. \end{theorem} Insbesondere hat jede der Komponenten gleich viele Spitzen und Orbifoldpunkte und das gleiche Geschlecht. Damit ist die topologische Klassifikation der Prym-Teichmüllerkurven in \cM_3 abgeschlossen. Das nächste Ergebnis der Dissertation ist wieder in gemeinsamer Arbeit mit David Torres-Teigell entstanden und liefert eine analoge Klassifikation der Orbifoldpunkte für die Prym-Teichmüllerkurven in \cM_4. \begin{theorem} Für alle Diskriminanten D>12 hat die entsprechende Prym-Teichmüller"-kurve in \cM_4 nur Orbifoldpunkte von Ordnung 2 und 3. Die Anzahl dieser wird explizit durch die Anzahl ganzzahliger Lösungen quadratischer Formen beschrieben. \end{theorem} Analog zum Geschlecht-3-Fall müssen für kleine D zusätzliche Symmetrien gesondert behandelt werden. Des Weiteren geben wir wieder Prototypen für die flache Struktur an. Außerdem können wir in dem Fall (wieder in Zusammenarbeit mit David Torres-Teigell) genaue Aussagen zum Wachstum des Geschlechts machen. Wir bezeichnen die Prym-Teichmüllerkurve zur Diskriminante D in \cM_4 mit W_D(6). \begin{theorem} Es gibt Konstanten C_1,C_2>0, die unabhängig von D sind, so dass C_1\cdot D^{3/2} < g(W_D(6)) < C_2\cdot D^{3/2}. \end{theorem} Wir können die Konstanten recht explizit angeben und sehen daher insbesondere, dass W_D(6) genau dann Geschlecht 0 hat, wenn D\leq 20. Die Klassifikation der Orbifoldpunkte erfolgte durch die Analyse von Familien von flachen Flächen mit Automorphismen. Im letzten Abschnitt der Dissertation werden diese etwas systematischer untersucht. Die Ordnungen der Nullstellen eines holomorphen Differentials \omega auf einer Kurve vom Geschlecht g definieren eine Partition \mu von 2g-2. Andererseits können wir zu jeder Partition \mu von 2g-2 die Teilmenge \Omega\cM_g(\mu)\subseteq\Omega\cM_g definieren, die aus den (X,\omega) bestehen, deren Nullstellenordnungen der Partition \mu entsprechen. Die \Omega\cM_g(\mu) bilden eine natürliche Stratifizierung des Modulraums \Omega\cM_g. Die einzelnen Strata können mit Periodenkoordinaten versehen werden, so dass sie lokal biholomorph zu \bC^N für N=2g+\abs{\mu}-1 sind. Ein bedeutendes Ergebnis von Eskin, Mirzakhani und Mohammadi besagt, dass jeder \SL_2(\bR)-Bahnabschluss durch \bR-lineare Gleichungen beschrieben wird; ein bedeutendes Ergebnis von Filip besagt, dass diese immer algebraisch sind. Wir führen den Begriff einer \bC-linearen Mannigfaltigkeit ein, d.h. einer Mannigfaltigkeit \cM\subseteq\Omega\cM_g(\mu), die lokal durch \bC-lineare Gleichungen in Periodenkoordinaten ausgeschnitten wird. Zunächst geben wir eine Klasse von Beispielen an. \begin{theorem} Der Raum der Eigendifferentiale einer zyklischen Überlagerung von \bP^1 ist eine \bC-lineare Mannigfaltigkeit. \end{theorem} Als letztes wird eine Überlagerung \bC-linearer Mannigfaltigkeiten definiert. Da man sich in diesem Fall nicht der \SL_2(\bR)-Aktion und der damit zusammenhängenden Klassifikations"-sätze bedienen kann, ist diese recht technisch. \begin{theorem} Eine Überlagerung einer \bC-linearen Mannigfaltigkeit ist eine \bC-lineare Mannigfaltigkeit. \end{theorem} Trotzdem ist eine Klassifikation primitiver (d.h. nicht aus einer Überlagerung hervorgehender) \bC-linearer Mannigfaltigkeiten noch nicht absehbar.