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Mara Grahl

• Chapter 1 contains the general background of our work. We briefly discuss important aspects of quantum chromodynamics (QCD) and introduce the concept of the chiral condensate as an order parameter for the chiral phase transition. Our focus is on the concept of universality and the arguments why the O(4) model should fall into the same universality class as the effective Lagrangian for the order parameter of (massless) two-flavor QCD. Chapter 2 pedagogically explains the CJT formalism and is concerned with the WKB method. In chapter 3 the CJT formalism is then applied to a simple Z2 symmetric toy model featuring a one-minimum classical potential. As for all other models we are concerned with in this thesis, we study the behavior at nonzero temperature. This is done in 1+3 dimensions as well as in 1+0 dimensions. In the latter case we are able to compare the effective potential at its global minimum (which is minus the pressure) with our result from the WKB approximation. In chapter 4 this program is also carried out for the toy model with a double-well classical potential, which allows for spontaneous symmetry breaking and tunneling. Our major interest however is in the O(2) model with the fields treated as polar coordinates. This model can be regarded as the first step towards the O(4) model in four-dimensional polar coordinates. Although in principle independent, all subjects discussed in this thesis are directly related to questions arising from the investigation of this particular model. In chapter 5 we start from the generating functional in cartesian coordinates and carry out the transition to polar coordinates. Then we are concerned with the question under which circumstances it is allowed to use the same Feynman rules in polar coordinates as in cartesian coordinates. This question turns out to be non-trivial. On the basis of the common Feynman rules we apply the CJT formalism in chapter 6 to the polar O(2) model. The case of 1+0 dimensions was intended to be a toy model on the basis of which one could more easily explore the transition to polar coordinates. However, it turns out that we are faced with an additional complication in this case, the infrared divergence of thermal integrals. This problem requires special attention and motivates the explicit study of a massless field under topological constraints in chapter 8. In chapter 7 we investigate the cartesian O(2) model in 1+0 dimensions. We compare the effective potential at its global minimum calculated in the CJT formalism and via the WKB approximation. Appendix B reviews the derivation of standard thermal integrals in 1+0 and 1+3 dimensions and constitutes the basis for our CJT calculations and the discussion of infrared divergences. In chapter 9 we discuss the so-called path integral collapse and propose a solution of this problem. In chapter 10 we present our conclusions and an outlook. Since we were interested in organizing our work as pedagogical as possible within the narrow scope of a diploma thesis, we decided to make extensive use of appendices. Appendices A-H are intended for students who are not familiar with several important concepts we are concerned with. We will refer to them explicitly to establish the connection between our work and the general context in which it is settled. Of central importance in the whole thesis is the concept of the generating functional and the partition function, respectively. In appendix A.1 we present the general context in which the partition function appears and its general definition within the operator formalism of second quantization. Alternatively, this definition can be rewritten via the path integral formalism. We restrict ourselves to scalar fields in this case. Furthermore, the understanding of the CJT formalism is based on knowledge about n-point functions (connected or disconnected, in the presence or in the absence of sources) and the context in which they arise. In appendix A.2 we give their definition taking account of the different modifications in which these quantities occur in this thesis, i.e., scalar field theory at zero or at nonzero temperature, respectively. From a didactic point of view, we believe that it is helpful if one can establish a relation between special cases and a general framework. Therefore, in appendix A.3 we want to keep an eye on the overall picture. We discuss the general concept of the generating functional for correlation functions, which also covers the partition function. We also briefly comment on the general concept of Feynman rules and we clarify the meaning of the terms Green’s function and propagator.
• In Kapitel 1 diskutieren wir einige wichtige Aspekte der Quantenchromodynamik (QCD) und führen das chirale Kondensat als Ordnungsparameter für den chiralen Phasenübergang ein. Der Schwerpunkt liegt dabei auf dem Konzept der Universalität und den Argumenten, weshalb das O(4) Modell in die gleiche Universalitätsklasse fällt wie die effektive Theorie für den Ordnungsparameter der (masselosen) Zwei-Flavor QCD. Kapitel 2 erklärt den CJT-Formalismus auf pädagogische Weise und befasst sich mit der WKB-Methode. In Kapitel 3 und Kapitel 4 wird der CJT-Formalismus auf ein einfaches Z2-symmetrisches Modell angewendet. In Kapitel 4 sind spontane Symmetriebrechung und der Tunneleffekt von Relevanz. Wie auch im Falle aller anderen Modelle, die innerhalb dieser Arbeit diskutiert werden, untersuchen wir das Verhalten bei endlicher Temperatur. Dies geschieht sowohl in 1+3 Dimensionen als auch in 1+0 Dimensionen. Im letzteren Fall ist es möglich, das effektive Potential am globalen Minimum (also den negativen Druck) mit dem Resultat aus der WKB-Näherung zu vergleichen. Unser Hauptinteresse gilt jedoch dem O(2) Modell, wobei die Felder als Polarkoordinaten behandelt werden. Dieses Modell ist der erste Schritt in Richtung des O(4) Modells in vierdimensionalen Polarkoordinaten. Obwohl im Prinzip autonom, sind alle Inhalte dieser Arbeit direkt mit Fragestellungen verbunden, die im Zuge der Untersuchung dieses Modells auftreten. In Kapitel 5 gehen wir direkt vom erzeugenden Funktional in kartesischen Koordinaten aus und wechseln zu Polarkoordinaten. Im folgenden sind wir mit der Frage beschäftigt, unter welchen Umständen es möglich ist, die gleichen Feynman-Regeln wie im Falle von kartesischen Koordinaten zu verwenden. Unter Annahme der gewohnten Feynman-Regeln wenden wir sodann den CJT-Formalismus auf das polare O(2) Modell an. Ursprünglich war die Untersuchung in 1+0 Dimensionen dazu gedacht, den Wechsel zu Polarkoordinaten besser zu verstehen. Es stellte sich jedoch heraus, dass Infrarot-Divergenzen die Untersuchung erschweren. Dieses Problem erfordert besondere Aufmerksamkeit und motiviert die Untersuchung eines masselosen Feldes unter topologischen Zwangsbedingungen in Kapitel 8. In Kapitel 7 untersuchen wir das kartesische O(2) Modell in 1+0 Dimensionen. Wir vergleichen das effektive Potential am globalen Minimum, berechnet innerhalb des CJT-Formalismus und mittels der WKB-Näherung. In Anhang B besprechen wir die Herleitung herkömmlicher thermischer Integrale in 1+0 und 1+3 Dimensionen, welche die Grundlage für unsere CJT-Rechnungen sowie für die Diskussion der Infrarot-Divergenzen bilden. In Kapitel 9 diskutieren wir den sogenannten Pfadintegral-Kollaps und schlagen eine Lösung für das Problem vor. In Kapitel 10 präsentieren wir unsere Schlussfolgerungen sowie einen Ausblick. Da wir unsere Darstellung im Rahmen einer Diplomarbeit so pädagogisch wie möglich halten wollten, haben wir uns entschieden, ausgiebigen Gebrauch von Anhängen zu machen. Die Anhänge A-H sind für Studierende gedacht, die mit gewissen Konzepten nicht vertraut sind. Wir verweisen innerhalb der Arbeit explizit auf diese Anhänge, um die Verbindung zwischen unserer Arbeit und dem zugrundeliegenden Hintergrund herzustellen.