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Michael Morchutt

• Das Assignment Problem ist ein bekanntes kombinatorisches Optimierungsproblem, bei dem es darum geht, in einem gewichteten bipartiten Graphen ein Matching mit minimalem Gewicht zu finden. In dieser Arbeit sind die Kantengewichte exponentialverteilt zu speziell gewählten Raten. Damit sind Erwartungswert und Varianz des minimalen Gewichts von besonderem Interesse. Zunächst wird ein Beweis der Parisi Formel und der Coppersmith-Sorkin Formel erläutert. Die Formeln beschreiben den Erwartungswert des minimalen Gewichts im Fall, dass die Raten alle dem Wert 1 entsprechen. Im zweiten Teil wird die Herleitung einer expliziten Formel zur Berechnung der Varianz des zufälligen minimalen Gewichts erklärt, wobei die Raten immer noch mit 1 übereinstimmen. Gleichzeitig wird eine Formel für die höheren Momente geliefert, aus der die Parisi Formel und Coppersmith-Sorkin Formel aus dem ersten Teil folgen und die sogar das bisherige Modell bezüglich der Parameter erweitert. Schließlich kann man das Ergebnis des zweiten Teils zur Beschreibung des asymptotischen Verhaltens der Varianz benutzen.
• The assignment problem is a well-known combinatorial optimization problem, which is about finding a matching with minimal weight in a weighted bipartite graph. In this work the weight of an edge is exponential distributed with a certain rate. The expected value and the variance of the minimal weight is of special interest. First, a proof of the Parisi formula and the Coppersmith-Sorkin formula is explained. They describe the expected value of the minimal weight in the case of all rates being identical to 1. In the second part the proof of an explicit formula for the variance of the random minimal weight is illustrated, whereas the rates are still equal to 1. This way a formula about the higher moments is obtained, which proves the Parisi formula and the Coppersmith-Sorkin formula from the first part. At the same time the previous model is extended with regard to the parameters. Finally, the result of the second part can be used to describe the asymptotical behaviour of the variance.