Deformation quantization on symplectic stacks and applications to the moduli of flat connections

  • It is a common problem in mathematical physics to describe and quantize the Poisson algebra on a symplectic quotient [...] given in terms of some moment map [...] on a symplectic manifold [...] with a hamiltonian action by a Lie group G. Among others, problems may arise in two parts of the process: c might be a singular value of the moment map and the quotient might not be well-behaving; in the interesting cases the quotient often is singular. By the famous result of Sjamaar and Lerman ([102]) X is a symplectic stratified space. We are interested in cases for which we can give a deformation quantization of the possibly singular Poisson algebra of X. To that purpose we introduce a Poisson algebra on the associated stack [...] for special cases and consider its deformations and their classification. We dedicate ourselves to use the rather geometric methods introduced by Fedosov for symplectic manifolds in [37]. That leads to the question how to perform differential geometry on a smooth stack. The Lie groupoid atlas of a smooth stack is a nice model for the same space (Tu, Xu and Laurent-Gengoux in [107] and Behrend and Xu in [16]), but both have different topoi. We give a morphism (P,R) that compares the topologies of a smooth stack and its atlas. This yields a method to transport sheaves and their sections between a smooth stack and its Lie groupoid atlas. A symplectic stack is a smooth separated Deligne-Mumford stack with a 2-form which is closed and non-degenerate in an atlas. Via (P,R) a deformation quantization on a symplectic stack can be performed in terms of an atlas. We also give a classification functor for the quantizations in the spirit of Deligne ([35]) based on the geometric interpretation given by Gutt and Rawnsely in [49]. As an application we give a deformation quantization for the moduli stack of flat connections in particular configurations. We use Darboux charts provided by Huebschmann (e.g. in [54]) to construct the corresponding Lie groupoid. This captures the symplectic form arising in the reduction process and differs from other approaches using gerbes of bundles (e.g. Teleman [105]).
  • Modulräume spielen in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle. In der algebraischen Geometrie haben sich seit den späten 1960er Jahren Stacks als wichtiges Hilfsmittel etabliert, um Modulräume zu untersuchen. In den letzten Jahren wurden Fortschritte erzielt, Stacks auch in anderen Gebieten der Mathematik einzusetzen. Wir heben ein Ergebnis von Behrend und Xu von 2003 ([15]) hervor, das besagt, dass glatte Stacks ein Lie Gruppoid als Atlas haben und umgekehrt jedes Lie Gruppoid einen glatten (Klassifizierungs-) Stack definiert. In der mathematischen Physik tauchen Modulräume beispielsweise als Orbiträume einer Gruppenwirkung auf, insbesondere zu einem hamiltonischen Setting. Der Modulraum ist in diesem Fall wieder symplektisch und es stellen sich die Fragen, ob eine Quantisierung möglich ist und wieviele verschiedene Quantisierungen es gibt. Für Deformationsquantisierung auf symplektischen Mannigfaltigkeiten sind diese Fragen beantwortet. Mit der Konstruktion von Sternprodukten durch Fedosov ([37], 1994) und der Angabe eines Klassifikationsfunktors durch Deligne ([35], 1995), analog durch Gutt und Rawnsley ([49], 1999), stehen Methoden zur Verfügung, die differentialgeometrisch fundiert sind. Wir möchten in dieser Arbeit untersuchen, inwiefern sich diese Ergebnisse auf singuläre, durch glatte Stacks beschriebene Modulräume übertragen lassen. Dazu fügen wir dem Resultat von Behrend und Xu eine topologische Komponente hinzu: Eine naheliegende Möglichkeit, auf einem glatten Stack X eine Grothendieck Topologie zu definieren, ist X als gefaserte Kategorie über der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten (Mfd1) aufzufassen. Mit Hilfe der Faserung induziert die ´etale Topologie von (Mfd1) eine (´etale) Topologie auf X. Wir geben einen Verl¨angerungsfunktor P vom Grothendieck Topos1 Sh(G) des Gruppoid Atlasses G von X in den Grothendieck Topos Sh(X) und einen Einschränkungsfunktor R in die umgekehrte Richtung an. Dies stellt eine Verallgemeinerung des geometrischen Morphismus von Grothendieck und Verdier ([8], 1972) dar, der die große und die kleine Topologie eines topologischen Raumes vergleicht. Diesen Morphismus interpretieren wir als explizite Abbildung, um Strukturen (Garben und ihre Schnitte) zwischen global darstellbaren Stacks und ihren Atlanten zu transportieren. Dazu verwenden wir, dass die Topologie, die durch Mannigfaltigkeiten über X definiert ist, äquivalent zur oben beschriebenen ´etalen Topologie ist. Unser Resultat gilt auch für lokal darstellbare, d.h. hier: glatte Stacks. Insbesondere im ´etalen Fall und f¨ur Quotientenstacks gelten analoge Eigenschaften wie im global darstellbaren Fall. Wir verwenden im weiteren RP ~= idSh(G). ...

Download full text files

  • thesis.pdf
    eng

Export metadata

Additional Services

Share in Twitter Search Google Scholar
Metadaten
Author:Patrick Erdelt
URN:urn:nbn:de:hebis:30-66858
Referee:Markus Pflaum
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Date of Publication (online):2009/10/05
Year of first Publication:2008
Publishing Institution:Universitätsbibliothek Johann Christian Senckenberg
Granting Institution:Johann Wolfgang Goethe-Universität
Date of final exam:2009/05/11
Release Date:2009/10/05
Note:
Diese Dissertation steht außerhalb der Universitätsbibliothek leider (aus urheberrechtlichen Gründen) nicht im Volltext zur Verfügung, die CD-ROM kann (auch über Fernleihe) bei der UB Frankfurt am Main ausgeliehen werden.
Note:
Darstellung mathematischer Zeichen im Abstract nicht möglich: [...]
HeBIS-PPN:417690045
Institutes:Informatik und Mathematik / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):License LogoArchivex. zur Lesesaalplatznutzung § 52b UrhG