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Bernhard Julius Irsigler

• The Hofstadter model, besides the Haldane and Kane-Mele models, is the most common tight-binding model which hosts topologically nontrivial states of matter. In its time-reversal-symmetric formulation the model can even describe topological insulators. Experimentally, the Hofstadter model was realized with ultracold quantum gases in optical lattices which is a wellcontrolled way to engineer quantum states of tight-binding Hamiltonians. Another established control parameter in ultracold quantum gases are twoparticle, on-site interactions, also known as Hubbard interactions. This work aims at introducing the reader to the concepts of topological states of matter, a collection of corresponding tight-binding models, and the methodology to treat interacting topological states with dynamical mean-field theory.We present recent results for inhomogeneous, interacting systems, spinimbalanced magnetic systems, propose experimental detection methods, and extensions to three-dimensional topological states.
• Die Topologie, als Disziplin der Mathematik, hat in der Physik der kondensierten Materie Einzug gehalten, da sich mit ihrer Hilfe bestimmte exotische quantenmechanische Phänomene beschreiben lassen. Zu diesen gehören die Zustände wie der Quanten-Hall-Effekt, der anomale Quanten-Hall-Effekt, der Quanten-Spin-Hall-Effekt und viele weitere. Die Aufgabe der Topologie besteht darin, die Zustände durch topologische Invarianten zu beschreiben; ganze Zahlen, die sich durch Beiträge von allen besetzten Moden im Vielteilchensystem berechnen lassen. Die topologischen Invarianten stehen damit im Kontrast zu konventionellen Ordnungsparametern, die sich lokal berechnen lassen, um beispielsweise Bose-Einstein-Kondensation oder Ferromagnetismus zu beschreiben. Zwar existieren topologische Zustände auch in Materialien, tatsächlich haben sich aber solche Zustände als eine faszinierende Anwendung von Quantensimulatoren bewährt. Ein wichtiges Beispiel von Quantensimulatoren sind ultrakalte Quantengase in optischen Gittern. Ein direkter Vergleich zu elektronischen Systemen zeigt: Elektronen, als Quantenobjekte, beeinflussen durch ihre Dynamik im Ionengitter den makroskopischen Zustand des Materials. Das ist analog zu einzelnen Atomen in ultrakalten Quantengasen, die sich als Quantenobjekte im durch Laserfelder erzeugten, optischen Gitter bewegen. Ultrakalte Quantengase eignen sich dadurch als Simulatoren für elektronische Systeme. Tatsächlich aber sind ultrakalte Atome durch ihre gute Kontrollierbarkeit in der Lage, exotische Quantenzustände zu erzeugen, die weit über konventionelle elektronische Systeme hinausgehen. So lassen sich zum Beispiel auch diverse, in Materialien bisher unbeobachtete, topologische Zustände mit Hilfe von künstlichen Eichfeldern herstellen. Ein weiterer, gut kontrollierter Parameter in ultrakalten Quantengasen ist die Wechselwirkung zwischen jeweils zwei Atomen. Systeme mit Wechselwirkungen zwischen den Teilchen sind schwierig zu lösen, da sogar schon im Fall von drei miteinander wechselwirkenden Teilchen in der klassischen Physik keine analytische Lösung vorliegt. In ultrakalten Quantengasen sind typischerweise zehntausende Teilchen beteiligt, in elektronischen Systemen liegt die Größenordnung sogar bei 10^23. Lösungen zu wechselwirkenden Problemen sind somit immer approximativ und es haben sich viele Methoden für unterschiedliche Anwendungsfälle etabliert. Die dynamische Molekularfeldtheorie, kurz DMFT, ist beispielsweise in der Lage den gesamten Phasenübergang zwischen einem Metall und einem Mott-Isolator zu beschreiben. Das ist nur möglich, da in der DMFT Korrekturen von lokalen Quantenfluktuationen enthalten sind, die in der konventionellen, statischen Molekularfeldtheorie vernachlässigt werden. Die vorliegende Arbeit widmet sich weitreichend der Physik des Hofstadter-Hubbard-Modells, das insbesondere für ultrakalte Quantengase in optischen Gittern relevant ist. Ursprünglich beschreibt das Hofstadter-Modell Elektronen in einem zweidimensionalen Gitter, auf das senkrecht ein starkes Magnetfeld ausgerichtet ist. Je nach Stärke des Magnetfelds nehmen die Elektronen Zustände ein, deren Energiespektrum ein selbstähnliches Muster bildet. Dieses Fraktal wird Hofstadter-Schmetterling genannt. Er wurde bisher nur in künstlichen Systemen beobachtet. Die meisten topologischen Zustände sind isolierend in ihrem Inneren, aber dafür leitend an ihren Rändern. Diese Randzustände sind nicht nur leitend sondern auch robust. Das heißt, dass sie ihre Leitfähigkeiten nicht verlieren, wenn beispielsweise eine Störstelle vorliegt. Diese Eigenschaften machen topologische Zustände sehr interessant für zukünftige technische Anwendungen. Topologische Randzustände wurden bisher noch nicht in zweidimensionalen ultrakalten Quantengasen beobachtet. Ein Grund hierfür ist die intrinsische Inhomogenität dieser Experimente, die es erschwert, eindeutig zwischen dem Inneren und dem Rand des Systems zu unterscheiden. Wir untersuchen in dieser Arbeit den Randzustand, der zwischen zwei topologisch unterschiedlichen Vielteilchen-Phasen des zweidimensionalen, zeitumkehrsymmetrischen Hofstadter-Hubbard-Modells entsteht. Der räumliche Übergang dieser beiden Phasen wird durch einen äußeren, räumlich variierenden Kontrollparameter erzeugt, in diesem Fall ein gestaffeltes Potential. Dieses kann in einem optischen Gitter durch ein Übergitter realisiert werden. Bei einem kritischen Wert des gestaffelten Potentials ist ein topologischer Phasenübergang zu erwarten, wodurch in dieser Stelle im Raum ein Randzustand entsteht. Randzustände oder die Grenze zwischen zwei topologisch verschiedenen Phasen sind nicht durch Unterschiede in der Dichteverteilung der Atome ablesbar, stattdessen geben verschiedene Transporteigenschaften Hinweise auf topologische Randzustände. Wir betrachten die räumlich aufgelöste Kompressibilität und beobachten einen Randzustand in der Mitte des Systems. Mit Hilfe der DMFT können wir die Kompressibilität auch für den wechselwirkenden Fall berechnen und finden, dass die Wechselwirkung den Randzustand nicht zerstört sondern lediglich seine Position verschiebt. Er ist folglich robust gegen die Wechselwirkung. ...