Open Access

Jasmin Straub

• Within the last thirty years, the contraction method has become an important tool for the distributional analysis of random recursive structures. While it was mainly developed to show weak convergence, the contraction approach can additionally be used to obtain bounds on the rate of convergence in an appropriate metric. Based on ideas of the contraction method, we develop a general framework to bound rates of convergence for sequences of random variables as they mainly arise in the analysis of random trees and divide-and-conquer algorithms. The rates of convergence are bounded in the Zolotarev distances. In essence, we present three different versions of convergence theorems: a general version, an improved version for normal limit laws (providing significantly better bounds in some examples with normal limits) and a third version with a relaxed independence condition. Moreover, concrete applications are given which include parameters of random trees, quantities of stochastic geometry as well as complexity measures of recursive algorithms under either a random input or some randomization within the algorithm.
• Die Kontraktionsmethode ist eine Technik, mit der Verteilungskonvergenz passend skalierter rekursiver Zufallsgrößen gezeigt werden kann. Seit ihrer Einführung vor 30 Jahren durch Uwe Rösler [80] zur Analyse der Anzahl an Schlüsselvergleichen des Sortieralgorithmus Quicksort wurde die Kontraktionsmethode sukzessive weiterentwickelt, sodass mittlerweile eine große Klasse von rekursiven Zufallsgrößen mit dieser Methode untersucht werden kann. Üblicherweise wird die Kontraktionsmethode angewandt, um Verteilungskonvergenz zu zeigen. Es ist jedoch auch möglich, Ideen der Kontraktionsmethode zu verwenden, um darüber hinaus Konvergenzraten in einer passenden Metrik zu bestimmen. Als konkretes Beispiel ist in diesem Zusammenhang die Anzahl der Schlüsselvergleiche von Quicksort zu nennen, für welche Fill und Janson [24] die Rate O(n exp −1/2) in den Wasserstein-`p-Metriken (p ≥ 1) und Neininger und Rüschendorf [69] die Rate Θ(log n/n) in der Zolotarev-Metrik ζ3 zeigten. Thema dieser Dissertation ist es, das Grundprinzip der Kontraktionsmethode zu verwenden, um universelle Konvergenztheoreme zum Bestimmen von Konvergenzraten passend normalisierter rekursiver Größen herzuleiten. Ausgangspunkt unserer Analyse ist die Annahme, dass die zu untersuchenden Größen Yn eine gewisse Selbstähnlichkeit aufweisen. Genauer gesagt nehmen wir an, dass (Yn)n≥0 eine Folge zufälliger Vektoren in Rd ist, welche folgendermaßen rekursiv zerlegt werden kann:..