Open Access

It is known that deterministic finite automata (DFAs) can be algorithmically minimized, i.e., a DFA M can be converted to an equivalent DFA M' which has a minimal number of states. The minimization can be done efficiently [6]. On the other hand, it is known that unambiguous finite automata (UFAs) and nondeterministic finite automata (NFAs) can be algorithmically minimized too, but their minimization problems turn out to be NP-complete and PSPACE-complete [8]. In this paper, the time complexity of the minimization problem for two restricted types of finite automata is investigated. These automata are nearly deterministic, since they only allow a small amount of non determinism to be used. On the one hand, NFAs with a fixed finite branching are studied, i.e., the number of nondeterministic moves within every accepting computation is bounded by a fixed finite number. On the other hand, finite automata are investigated which are essentially deterministic except that there is a fixed number of different initial states which can be chosen nondeterministically. The main result is that the minimization problems for these models are computationally hard, namely NP-complete. Hence, even the slightest extension of the deterministic model towards a nondeterministic one, e.g., allowing at most one nondeterministic move in every accepting computation or allowing two initial states instead of one, results in computationally intractable minimization problems.

Zellularautomaten sind ein massiv paralleles Berechnungsmodell, das aus sehr vielen identischen einfachen Prozessoren oder Zellen besteht, die homogen miteinander verbunden sind und parallel arbeiten. Es gibt Zellularautomaten in unterschiedlichen Ausprägungen. Beispielsweise unterscheidet man die Automaten nach der zur Verfügung stehenden Zeit, nach paralleler oder sequentieller Verarbeitung der Eingabe oder durch Beschränkungen der Kommunikation zwischen den einzelnen Zellen. Benutzt man Zellularautomaten zum Erkennen formaler Sprachen und betrachtet deren generative Mächtigkeit, dann kann bereits das einfachste zellulare Modell kontextsensitive Sprachen akzeptieren. In dieser Arbeit wird die Beschreibungskomplexität von Zellularautomaten betrachtet. Es wird untersucht, wie sich die Beschreibungsgröße einer formalen Sprache verändern kann, wenn die Sprache mit unterschiedlichen Typen von Zellularautomaten oder sequentiellen Modellen beschrieben wird. Ein wesentliches Ergebnis im ersten Teil der Arbeit ist, daß zwischen zwei Automatenklassen, deren entsprechende Sprachklassen echt ineinander enthalten oder unvergleichbar sind, nichtrekursive Tradeoffs existieren. Das heißt, der Größenzuwachs beim Wechsel von einem Automatenmodell in das andere läßt sich durch keine rekursive Funktion beschränken. Im zweiten Teil der Arbeit werden Zellularautomaten dahingehend beschränkt, daß nur eine feste Zellenzahl zugelassen ist. Zusätzlich werden Automaten mit unterschiedlichem Grad an bidirektionaler Kommunikation zwischen den einzelnen Zellen betrachtet, und es wird untersucht, welche Auswirkungen auf die Beschreibungsgröße unterschiedliche Grade an bidirektionaler Kommunikation haben können. Im Gegensatz zum unbeschränkten Modell können polynomielle und damit rekursive obere Schranken bei Umwandlungen zwischen den einzelnen Modellen bewiesen werden. Durch den Beweis unterer Schranken kann in fast allen Fällen auch die Optimalität der Konstruktionen belegt werden.

The effect of adding two-way communication to k cells one-way cellular automata (kC-OCAs) on their size of description is studied. kC-OCAs are a parallel model for the regular languages that consists of an array of k identical deterministic finite automata (DFAs), called cells, operating in parallel. Each cell gets information from its right neighbor only. In this paper, two models with different amounts of two-way communication are investigated. Both models always achieve quadratic savings when compared to DFAs. When compared to a one-way cellular model, the result is that minimum two-way communication can achieve at most quadratic savings whereas maximum two-way communication may provide savings bounded by a polynomial of degree k.

It is shown that between one-turn pushdown automata (1-turn PDAs) and deterministic finite automata (DFAs) there will be savings concerning the size of description not bounded by any recursive function, so-called non-recursive tradeoffs. Considering the number of turns of the stack height as a consumable resource of PDAs, we can show the existence of non-recursive trade-offs between PDAs performing k+ 1 turns and k turns for k >= 1. Furthermore, non-recursive trade-offs are shown between arbitrary PDAs and PDAs which perform only a finite number of turns. Finally, several decidability questions are shown to be undecidable and not semidecidable.