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Let G be a finite cyclic group with generator \alpha and with an encoding so that multiplication is computable in polynomial time. We study the security of bits of the discrete log x when given \exp_{\alpha}(x), assuming that the exponentiation function \exp_{\alpha}(x) = \alpha^x is one-way. We reduce he general problem to the case that G has odd order q. If G has odd order q the security of the least-significant bits of x and of the most significant bits of the rational number \frac{x}{q} \in [0,1) follows from the work of Peralta [P85] and Long and Wigderson [LW88]. We generalize these bits and study the security of consecutive shift bits lsb(2^{-i}x mod q) for i=k+1,...,k+j. When we restrict \exp_{\alpha} to arguments x such that some sequence of j consecutive shift bits of x is constant (i.e., not depending on x) we call it a 2^{-j}-fraction of \exp_{\alpha}. For groups of odd group order q we show that every two 2^{-j}-fractions of \exp_{\alpha} are equally one-way by a polynomial time transformation: Either they are all one-way or none of them. Our key theorem shows that arbitrary j consecutive shift bits of x are simultaneously secure when given \exp_{\alpha}(x) iff the 2^{-j}-fractions of \exp_{\alpha} are one-way. In particular this applies to the j least-significant bits of x and to the j most-significant bits of \frac{x}{q} \in [0,1). For one-way \exp_{\alpha} the individual bits of x are secure when given \exp_{\alpha}(x) by the method of Hastad, N\"aslund [HN98]. For groups of even order 2^{s}q we show that the j least-significant bits of \lfloor x/2^s\rfloor, as well as the j most-significant bits of \frac{x}{q} \in [0,1), are simultaneously secure iff the 2^{-j}-fractions of \exp_{\alpha'} are one-way for \alpha' := \alpha^{2^s}. We use and extend the models of generic algorithms of Nechaev (1994) and Shoup (1997). We determine the generic complexity of inverting fractions of \exp_{\alpha} for the case that \alpha has prime order q. As a consequence, arbitrary segments of (1-\varepsilon)\lg q consecutive shift bits of random x are for constant \varepsilon >0 simultaneously secure against generic attacks. Every generic algorithm using $t$ generic steps (group operations) for distinguishing bit strings of j consecutive shift bits of x from random bit strings has at most advantage O((\lg q) j\sqrt{t} (2^j/q)^{\frac14}).
Let G be a group of prime order q with generator g. We study hardcore subsets H is include in G of the discrete logarithm (DL) log g in the model of generic algorithms. In this model we count group operations such as multiplication, division while computations with non-group data are for free. It is known from Nechaev (1994) and Shoup (1997) that generic DL-algorithms for the entire group G must perform p2q generic steps. We show that DL-algorithms for small subsets H is include in G require m/ 2 + o(m) generic steps for almost all H of size #H = m with m <= sqrt(q). Conversely, m/2 + 1 generic steps are su±cient for all H is include in G of even size m. Our main result justifies to generate secret DL-keys from seeds that are only 1/2 * log2 q bits long.
We present a novel practical algorithm that given a lattice basis b1, ..., bn finds in O(n exp 2 *(k/6) exp (k/4)) average time a shorter vector than b1 provided that b1 is (k/6) exp (n/(2k)) times longer than the length of the shortest, nonzero lattice vector. We assume that the given basis b1, ..., bn has an orthogonal basis that is typical for worst case lattice bases. The new reduction method samples short lattice vectors in high dimensional sublattices, it advances in sporadic big jumps. It decreases the approximation factor achievable in a given time by known methods to less than its fourth-th root. We further speed up the new method by the simple and the general birthday method. n2
We enhance the security of Schnorr blind signatures against the novel one-more-forgery of Schnorr [Sc01] andWagner [W02] which is possible even if the discrete logarithm is hard to compute. We show two limitations of this attack. Firstly, replacing the group G by the s-fold direct product G exp(×s) increases the work of the attack, for a given number of signer interactions, to the s-power while increasing the work of the blind signature protocol merely by a factor s. Secondly, we bound the number of additional signatures per signer interaction that can be forged effectively. That fraction of the additional forged signatures can be made arbitrarily small.
We modify the concept of LLL-reduction of lattice bases in the sense of Lenstra, Lenstra, Lovasz [LLL82] towards a faster reduction algorithm. We organize LLL-reduction in segments of the basis. Our SLLL-bases approximate the successive minima of the lattice in nearly the same way as LLL-bases. For integer lattices of dimension n given by a basis of length 2exp(O(n)), SLLL-reduction runs in O(n.exp(5+epsilon)) bit operations for every epsilon > 0, compared to O(exp(n7+epsilon)) for the original LLL and to O(exp(n6+epsilon)) for the LLL-algorithms of Schnorr (1988) and Storjohann (1996). We present an even faster algorithm for SLLL-reduction via iterated subsegments running in O(n*exp(3)*log n) arithmetic steps.
We show that P(n)*(P(n)) for p = 2 with its geometrically induced structure maps is not an Hopf algebroid because neither the augmentation Epsilon nor the coproduct Delta are multiplicative. As a consequence the algebra structure of P(n)*(P(n)) is slightly different from what was supposed to be the case. We give formulas for Epsilon(xy) and Delta(xy) and show that the inversion of the formal group of P(n) is induced by an antimultiplicative involution Xi : P(n) -> P(n). Some consequences for multiplicative and antimultiplicative automorphisms of K(n) for p = 2 are also discussed.
The general subset sum problem is NP-complete. However, there are two algorithms, one due to Brickell and the other to Lagarias and Odlyzko, which in polynomial time solve almost all subset sum problems of sufficiently low density. Both methods rely on basis reduction algorithms to find short nonzero vectors in special lattices. The Lagarias-Odlyzko algorithm would solve almost all subset sum problems of density < 0.6463 . . . in polynomial time if it could invoke a polynomial-time algorithm for finding the shortest non-zero vector in a lattice. This paper presents two modifications of that algorithm, either one of which would solve almost all problems of density < 0.9408 . . . if it could find shortest non-zero vectors in lattices. These modifications also yield dramatic improvements in practice when they are combined with known lattice basis reduction algorithms.
Public key signature schemes are necessary for the access control to communication networks and for proving the authenticity of sensitive messages such as electronic fund transfers. Since the invention of the RSA scheme by Rivest, Shamir and Adleman (1978) research has focused on improving the e±ciency of these schemes. In this paper we present an efficient algorithm for generating public key signatures which is particularly suited for interactions between smart cards and terminals.
We present a novel parallel one-more signature forgery against blind Okamoto-Schnorr and blind Schnorr signatures in which an attacker interacts some times with a legitimate signer and produces from these interactions signatures. Security against the new attack requires that the following ROS-problem is intractable: find an overdetermined, solvable system of linear equations modulo with random inhomogenities (right sides). There is an inherent weakness in the security result of POINTCHEVAL AND STERN. Theorem 26 [PS00] does not cover attacks with 4 parallel interactions for elliptic curves of order 2200. That would require the intractability of the ROS-problem, a plausible but novel complexity assumption. Conversely, assuming the intractability of the ROS-problem, we show that Schnorr signatures are secure in the random oracle and generic group model against the one-more signature forgery.
We present a practical algorithm that given an LLL-reduced lattice basis of dimension n, runs in time O(n3(k=6)k=4+n4) and approximates the length of the shortest, non-zero lattice vector to within a factor (k=6)n=(2k). This result is based on reasonable heuristics. Compared to previous practical algorithms the new method reduces the proven approximation factor achievable in a given time to less than its fourthth root. We also present a sieve algorithm inspired by Ajtai, Kumar, Sivakumar [AKS01].
Let G be a Fuchsian group containing two torsion free subgroups defining isomorphic Riemann surfaces. Then these surface subgroups K and alpha-Kalpha exp(-1) are conjugate in PSl(2,R), but in general the conjugating element alpha cannot be taken in G or a finite index Fuchsian extension of G. We will show that in the case of a normal inclusion in a triangle group G these alpha can be chosen in some triangle group extending G. It turns out that the method leading to this result allows also to answer the question how many different regular dessins of the same type can exist on a given quasiplatonic Riemann surface.
We consider Schwarz maps for triangles whose angles are rather general rational multiples of pi. Under which conditions can they have algebraic values at algebraic arguments? The answer is based mainly on considerations of complex multiplication of certain Prym varieties in Jacobians of hypergeometric curves. The paper can serve as an introduction to transcendence techniques for hypergeometric functions, but contains also new results and examples.
Eine nichtgeometrische Konstruktion der Spektren P(n) und multiplikative Automorphismen von K(n)
(1995)
Bei der Untersuchung des Langzeitverhaltens von Verzweigungsprozessen und räumlich verzweigenden Populationen ist die Betrachtung von Stammbäumen zunehmend in den Vordergrund gerückt. Probabilistische Methoden haben die in der Theorie vorherrschenden analytischen Techniken ergänzt und zu wesentlichen neuen Einsichten geführt. Die vorliegende Synopse diskutiert eine Auswahl meiner Veröffentlichungen der letzten Jahre. Den Arbeiten ist gemeinsam, dass durch das Studium der genealogischen Verhältnisse in der Population Aussagen über deren Langzeitverhalten gewonnen werden konnten. Zwei dieser Arbeiten behandeln den klassischen Galton-Watson Prozess. Eine weitere Arbeit befasst sich mit Verzweigungsprozessen in zufälliger Umgebung, sie ist technische wesentlich anspruchsvoller. Die vierte der hier besprochenen Arbeiten beschäftigt sich mit dem Wählermodell, einem der Prototypen interagierender Teilchensysteme.
Gitter
(2000)
Es wird eine Einführung in den Satz von Belyi und Grothendiecks Dessins d'enfants gegeben, hier Kinderzeichnungen genannt. Dieses Arbeitsgebiet ist in den letzten zwanzig Jahren entstanden und weist viele reizvolle Querverbindungen auf von der inversen Galoistheorie über die Teichm llerräume bis hin zur Mathematischen Physik. Das Schwergewicht des folgenden Beitrags liegt in den Beziehungen zu den Fuchsschen Gruppen und der Uniformisierungstheorie: Kinderzeichnungen bieten die Möglichkeit, für arithmetisch interessante Riemannsche Flächen - die als algebraische Kurven über Zahlkörpern definiert sind - Überlagerungsgruppen explizit zu beschreiben und umgekehrt aus gewissen Typen von Überlagerungsgruppen Kurvengleichungen zu gewinnen. Was hier aufgeschrieben ist, behandelt eigentlich nur bekanntes Material, gelegentlich mit neuen Beweisvarianten und Beispielen. Da aber noch keine zusammenfassende Einführung in das Thema existiert, hoffe ich, dass es als Vorlage für ein Seminar oder eine fortgeschrittene Vorlesung nützlich sein mag.
The main subject of this survey are Belyi functions and dessins d'enfants on Riemann surfaces. Dessins are certain bipartite graphs on 2-mainfolds defining there are conformal and even an algebraic structure. In principle, all deeper properties of the resulting Riemann surfaces or algebraic curves should be encoded in these dessins, but the decoding turns out to be difficult and leads to many open problems. We emphasize arithmetical aspects like Galois actions, the relation to the ABC theorem in function filds and arithemtic questions in uniformization theory of algebraic curves defined over number fields.
Presentation at the AMS Southeastern Sectional Meeting 14-16 March 2003, and the Workshop Asymptotic Analysis, Stability, and Generalized Functions', 17-19 March 2003, Louisiana State University, Baton Rouge, Louisiana. See the corresponding papers "Mathematical Problems of Gauge Quantum Field Theory: A Survey of the Schwinger Model" and "Infinite Infrared Regularization and a State Space for the Heisenberg Algebra".
Presentation at the Università di Pisa, Pisa, Itlay 3 July 2002, the conference on Irreversible Quantum Dynamics', the Abdus Salam ICTP, Trieste, Italy, 29 July - 2 August 2002, and the University of Natal, Pietermaritzburg, South Africa, 14 May 2003. Version of 24 April 2003: examples added; 16 December 2002: revised; 12 Sptember 2002. See the corresponding papers "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras", "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics" and "Mathematics of the Quantum Zeno Effect"
Diese Arbeit beschäaftigt sich mit den Eigenschaften dynamischer Systeme, die in Form von autonomen Differentialgleichungen vorliegen. Genauer: Das Langzeitverhalten dieser dynamischen Systeme soll untersucht werden. Es läßtt sich beschreiben durch für das jeweilige System charakteristische Mengen, die attrahierenden Mengen und deren Einzugsbereiche. Attrahierende Mengen sind bezüglich eines dynamischen Systems invariante Mengen, die Trajektorien des dynamischen Systems, die in ihrer Umgebung starten, anziehen. Der Einzugsbereich einer attrahierenden Menge ist die Menge aller Punkte, die von der attrahierenden Menge angezogen werden. Betrachtet werden Systeme, die von einer Eingangsfunktion abhängen. Diese Eingangsfunktion kann je nach Zusammenhang eine Störung des dynamischen Systems oder eine Kontrolle desselben darstellen. Werden Störungen betrachtet, so sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die für alle Eingangsfunktionen gelten, zu untersuchen. Diese werden in dieser Arbeit als starke Eigenschaften bezeichnet. Werden Kontrollen betrachtet, sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die nur für mindestens eine Eingangsfunktion erfüllt sind, zu untersuchen. Sie werden hier als schwache Eigenschaften bezeichnet. Man betrachte beispielsweise einen Punkt, der zu einer invarianten Menge gehört. Zu jeder Eingangsfunktion gibt es eine zugehörige Trajektorie, die an diesem Punkt startet. Starke Invarianz bedeutet, daß keine dieser Trajektorien jemals die invariante Menge verläßt, schwache Invarianz, da mindestens eine dieser Trajektorien niemals die invariante Menge verläßt. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung der schwachen Einzugsbereiche. Sie lassen sich nur in Ausnahmefällen durch theoretische Überlegungen finden. Daher ist es von Nutzen, diese Mengen numerisch zu berechnen. Hier soll deshalb die benötigte Theorie bereitgestellt werden, um schwache Einzugsbereiche mit einem Unterteilungsalgorithmus anzunähern. Ein Unterteilungsalgorithmus dient allgemein dazu, innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge eine Menge, die eine bestimmte Eigenschaft hat, zu finden. Die Idee eines solchen Algorithmus ist es einfach, die Grundmenge in "Zellen" zu unterteilen und für jede dieser Zellen zu prüfen, ob sie ganz, gar nicht oder teilweise zur gesuchten Menge gehört. Gehört eine Zelle nur teilweise zur gesuchten Menge, so wird sie weiter unterteilt und für die "Teilzellen" erneut entschieden, ob sie zur gesuchten Menge gehören. Für die Berechnung eines schwachen Einzugsbereiches bedeutet dies, daß für jede Zelle überprüft werden muß, ob es eine Kontrollfunktion gibt, mit deren Hilfe Trajektorien der betrachteten Differentialgleichung, die innerhalb der Zelle starten, in eine gegebene schwach attrahierende Menge (bzw. eine passend gewählte Umgebung dieser Menge) gesteuert werden können.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Ermittlung des Preises von Optionen. Optionen sind spezielle Derivate, die wiederum Hull in seinem Buch definiert als: Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert von einem anderen, einfacheren zu Grunde liegenden Finanzinstrument (underlying) abhängt . Ein underlying kann unter anderem auch eine Anleihe, eine Aktie oder der Umtauschkurs zweier Währungen sein....
In der vorliegenden Arbeit werden Aspekte autonomer und nichtautonomer dynamischer Systeme behandelt, wobei Attraktoren und verwandte Objekte eine wichtige Rolle spielen werden. Zunächst findet man in einem Kapitel über dynamische Systeme die Definition der grundlegenden Begriffe Attraktor, Repeller und Schiefproduktfluss, gefolgt von zwei hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Attraktoren. Mit den Attraktoren und Repellern können dann im nächsten Kapitel Morsemengen eingeführt werden. Dadurch kann das Verhalten eines dynamischen Systems qualitativ beschrieben werden. Des weiteren wird auf die Bedeutung der Kettenrekurrenzmenge für die Morsemengen eingegangen. Im Kapitel über Kontrolltheorie wird, nach einer kurzen Einführung in dieses Gebiet, gezeigt, dass der dort definierte Lift einer Kettenkontrollmenge unter gewissen Voraussetzungen eine Morsemenge ist. Im letzten Kapitel geht es um Pullback-Attraktoren, die unter den angegebenen Bedingungen als Attraktoren für den Schiefproduktfluss interpretiert werden können.
Staatsexamensarbeit 2002. In der nachfolgenden Arbeit werde ich im zweiten Kapitel theoretisch fraktionale Ableitungen vorstellen, um dann im dritten Kapitel praktisch mit MAPLE fraktionale Ableitungen zu veranschaulichen. Genauso werde ich auch das Gebiet der fraktionalen Differentialgleichungen einführen, d.h. zuerst wird ein theoretischer Teil über Lösungsmethoden behandelt und darauf folgend ein praktischer Teil, in dem mittels MAPLE diverse Gleichungen gelöst werden. Das zweite Dokument enthält MAPLE Programme aus der Arbeit (ZIP-Format, 145154 Bytes).
In this short note on my talk I want to point out the mathematical difficulties that arise in the study of the relation of Wightman and Euclidean quantum field theory, i.e., the relation between the hierarchies of Wightman and Schwinger functions. The two extreme cases where the reconstructed Wightman functions are either tempered distributions - the well-known Osterwalder-Schrader reconstruction - or modified Fourier hyperfunctions are discussed in some detail. Finally, some perpectives towards a classification of Euclidean reconstruction theorems are outlined and preliminary steps in that direction are presented.
We reconsider estimates for the heat kernel on weighted graphs recently found by Metzger and Stollmann. In the case that the weights satisfy a positive lower bound as well as a finite upper bound, we obtain a specialized lower estimate and a proper generalization of a previous upper estimate. Reviews: Math. Rev. 1979406, Zbl. Math. 0934.46042
We present an overview of the mathematics underlying the quantum Zeno effect. Classical, functional analytic results are put into perspective and compared with more recent ones. This yields some new insights into mathematical preconditions entailing the Zeno paradox, in particular a simplified proof of Misra's and Sudarshan's theorem. We empahsise the complex-analytic structures associated to the issue of existence of the Zeno dynamics. On grounds of the assembled material, we reason about possible future mathematical developments pertaining to the Zeno paradox and its counterpart, the anti-Zeno paradox, both of which seem to be close to complete characterisations. PACS-Klassifikation: 03.65.Xp, 03.65Db, 05.30.-d, 02.30.T . See the corresponding presentation: Schmidt, Andreas U.: "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras" and "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics"
We study the quantum Zeno effect in quantum statistical mechanics within the operator algebraic framework. We formulate a condition for the appearance of the effect in W*-dynamical systems, in terms of the short-time behaviour of the dynamics. Examples of quantum spin systems show that this condition can be effectively applied to quantum statistical mechanical models. Furthermore, we derive an explicit form of the Zeno generator, and use it to construct Gibbs equilibrium states for the Zeno dynamics. As a concrete example, we consider the X-Y model, for which we show that a frequent measurement at a microscopic level, e.g. a single lattice site, can produce a macroscopic effect in changing the global equilibrium. PACS - Klassifikation: 03.65.Xp, 05.30.-d, 02.30. See the corresponding papers: Schmidt, Andreas U.: "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras" and "Mathematics of the Quantum Zeno Effect" and the talk "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics" - http://publikationen.ub.uni-frankfurt.de/volltexte/2005/1167/
The dynamical quantum Zeno effect is studied in the context of von Neumann algebras. It is shown that the Zeno dynamics coincides with the modular dynamics of a localized subalgebra. This relates the modular operator of that subalgebra to the modular operator of the original algebra by a variant of the Kato-Lie-Trotter product formula.
We present a method for the construction of a Krein space completion for spaces of test functions, equipped with an indefinite inner product induced by a kernel which is more singular than a distribution of finite order. This generalizes a regularization method for infrared singularities in quantum field theory, introduced by G. Morchio and F. Strocchi, to the case of singularites of infinite order. We give conditions for the possibility of this procedure in terms of local differential operators and the Gelfand-Shilov test function spaces, as well as an abstract sufficient condition. As a model case we construct a maximally positive definite state space for the Heisenberg algebra in the presence of an infinite infrared singularity. See the corresponding paper: Schmidt, Andreas U.: "Mathematical Problems of Gauge Quantum Field Theory: A Survey of the Schwinger Model" and the presentation "Infinite Infrared Regularization in Krein Spaces"
This extended write-up of a talk gives an introductory survey of mathematical problems of the quantization of gauge systems. Using the Schwinger model as an exactly tractable but nontrivial example which exhibits general features of gauge quantum field theory, I cover the following subjects: The axiomatics of quantum field theory, formulation of quantum field theory in terms of Wightman functions, reconstruction of the state space, the local formulation of gauge theories, indefiniteness of the Wightman functions in general and in the special case of the Schwinger model, the state space of the Schwinger model, special features of the model. New results are contained in the Mathematical Appendix, where I consider in an abstract setting the Pontrjagin space structure of a special class of indefinite inner product spaces - the so called quasi-positive ones. This is motivated by the indefinite inner product space structure appearing in the above context and generalizes results of Morchio and Strocchi [J. Math. Phys. 31 (1990) 1467], and Dubin and Tarski [J. Math. Phys. 7 (1966) 574]. See the corresponding paper: Schmidt, Andreas U.: "Infinite Infrared Regularization and a State Space for the Heisenberg Algebra" and the presentation "Infinite Infrared Regularization in Krein Spaces".
Wir führen eine neue Unterklasse der Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen ein mit dem Ziel, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen studieren zu wollen, wie sie für gewisse Distributionenklassen bekannt sind. Wir entwickeln zuerst die Theorie analytischer Funktionale auf Räumen integrabler Funktionen bezüglich Maßen mit Wachstum O(|Re z|^gamma), wobei gamma in R ist, im Unendlichen. Ein an das berühmte Phragmén-Lindelöf-Prinzip erinnerndes, einfaches analytisches Resultat bildet die Basis der Dualitätstheorie dieser Räume zu Funktionen mit festgelegtem Wachstumstyp. Wir studieren diese Dualität analytischer Funktionale mit Wachstumsbedingungen und unbeschränkten Trägern gründlich in einer Dimension unter Verwendung des von den Fourier Hyperfunktionen her bekannten exponentiell abfallenden Cauchy-Hilbert-Kerns. Daraus ergeben sich Analoga zu den Theoremen von Runge und Mittag-Leffler, die die Grundlage für die Garbentheorie der Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen sind, die wir sodann entwickeln. Die für uns wichtigsten neuen Klassen von Fourier Hyperfunktionen sind die von unendlichem Typ, das heißt solche, die wie eine beliebige Potenz wachsen beziehungsweise schneller als jede Potenz abfallen. In n Dimensionen benutzen wir die Fouriertransformation und Dualität um das Verhältnis dieser temperierten beziehungsweise asymptotischen Hyperfunktionen zu bekannten Distributionenräumen zu studieren. Wir leiten Theoreme vom Paley-Wiener-Typ her, die es uns erlauben, unsere Hyperfunktionen in ein Schema zu ordnen, das Wachstumsordnung und Singularität gegenüberstellt. Wir zeigen, daß dieses Schema eine sinvolle Erweiterung des von Gelfand und Shilow zur Charakterisierung von Testfunktionenräumen eingeführten Schemas der Räume S(alpha,beta) um verallgemeinerte Funktionen ist. Schließlich zeigen wir die Nuklearität der temperierten und asymptotischen Hyperfunktionen. Wir zeigen, daß die asymptotischen Hyperfunktionen genau die Klasse bilden, die Moment-asymptotische Entwicklungen erlauben, wie sie von Estrada et al. für Distributionen betrachtet wurden. Estradas Theorie ist damit ein Spezialfall der unsrigen. Für Hyperfunktionen lassen sich aber dank des Konzeptes der standard definierenden Funktionen die Moment-asymptotischen Entwicklungen als klassische asymptotische Entwicklungen von analytischen Funktionen verstehen. Wir zeigen die einfache Beziehung zwischen der Moment-asymptotischen Entwicklung und der Taylorentwicklung der Fouriertransformierten und benutzen dann ein Resultat von Estrada, um die Vollständigkeit unseres Moment-asymptotischen Schemas abzuleiten. Wir geben genaue Bedingungen für die Moment-Folgen von Hyperfunktionen mit kompaktem Träger an, die kürzlich von Kim et al. gefunden wurden. Die asymptotischen Entwicklungen übertragen wir auf den höherdimensionalen Fall, indem wir die von Kaneko und Takiguchi eingeführte Radontransformation für Hyperfunktionen verwenden. Die wohlbekannte Beziehung zwischen Radon- und Fouriertransformation zeigt wiederum das enge Verhältnis von asymptotischer Entwicklung zur Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Wir benutzen Kims Resultate, um die Moment-Folgen von Hyperfunktionen zu charakterisieren, die von Kugeln mit endlichem Radius getragen werden. Schließlich verwenden wir das Träger-Theorem der Radontransformation, um ein Resultat über das Singularitätenspektrum aus Bedingungen an die Radontransformierte abzuleiten.
The Kochen-Specker theorem has been discussed intensely ever since its original proof in 1967. It is one of the central no-go theorems of quantum theory, showing the non-existence of a certain kind of hidden states models. In this paper, we first offer a new, non-combinatorial proof for quantum systems with a type I_n factor as algebra of observables, including I_infinity. Afterwards, we give a proof of the Kochen-Specker theorem for an arbitrary von Neumann algebra R without summands of types I_1 and I_2, using a known result on two-valued measures on the projection lattice P(R). Some connections with presheaf formulations as proposed by Isham and Butterfield are made.
Diese Arbeit befasst sich mit der Zerlegung von Irrfahrten und Lévy Prozessen an ihrem Minimum. Bis auf rudimentäre Vorkenntnisse der höheren Stochastik und einige wenige aber wichtige Sätze stellt die Arbeit alle notwendigen Begriffe und Sätze zur Verfügung, die für das Verständnis und die Beweise benötigt werden. Diese bewusste Entscheidung zur Ausführlichkeit auch bei grundlegenden Dingen hat zwei Hintergründe: Zum einen bleibt die Arbeit damit auch für Leser mit geringen Vorkenntnissen interessant, und zum anderen entsteht so keine lange und unübersichtliche Kette von Verweisen und Zitaten, die das Verständnis des dargestellten Themas erschwert und die logischen Schlüsse nur noch von Spezialisten vollständig nachvollzogen werden können. Ein weiterer Nebeneffekt ist die Tatsache, dass Verwirrungen aufgrund unterschiedlicher Interpretationen eines Begriffs vermieden werden. Das weitere Vorwort teilt sich in zwei Abschnitte; zum einen in den Abschnitt der Irrfahrten und zum anderen in den Abschnitt der Lévy-Prozesse. Diese Einteilung spiegelt auch die Strukturierung der Arbeit selber wieder; ein Blick in das Inhaltsverzeichnis verrät, dass zuerst Irrfahrten und danach Lévy Prozesse behandelt werden.
Die Arbeiten von Alexander Michailowitsch Lyapunov (1857-1918) waren der Anfangspunkt intensiver Erforschung des Stabilitätsverhaltens von Differentialgleichungen. In der vorliegenden Arbeit sollen Lyapunovfunktionen auf Zeitskalen in Bezug auf das Stabilitätsverhalten des homogenen linearen Systems x-delta = A(t)x untersucht werden.
Die in Englisch verfasste Dissertation, die unter der Betreuung von Herrn Prof. Dr. H. F. de Groote, Fachbereich Mathematik, entstand, ist der Mathematischen Physik zuzuordnen. Sie behandelt Stonesche Spektren von Neumannscher Algebren, observable Funktionen sowie einige Anwendungen in der Physik. Das abschließende Kapitel liefert eine Verallgemeinerung des Kochen-Specker-Theorems. Stonesche Spektren und observable Funktionen wurden von de Groote eingeführt. Das Stonesche Spektrum einer von Neumann-Algebra ist eine Verallgemeinerung des Gelfand-Spektrums, die observablen Funktionen verallgemeinern die Gelfand-Transformierten. Da de Grootes Ergebnisse zum großen Teil unveröffentlicht sind, folgt nach dem Einleitungskapitel im zweiten Kapitel eine Übersichtsdarstellung dieser Ergebnisse. Das dritte Kapitel behandelt die Stoneschen Spektren endlicher von Neumann-Algebren. Für Algebren vom Typ In wird eine vollständige Charakterisierung des Stoneschen Spektrums entwickelt. Zu Typ-II1-Algebren werden einige Resultate vorgestellt. Das vierte Kapitel liefert. einige einfache Anwendungen des Formalismus auf die Physik. Das fünfte Kapitel gibt erstmals einen funktionalanalytischen Beweis des Kochen-Specker-Theorems und liefert die Verallgemeinerung dieses Satzes, wobei die Situation für alle von Neumann-Algebren geklärt wird.
In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit der Verallgemeinerung des Satzes von Belyi [B]. Dieser besagt, dass eine Riemannsche Fläche Y genau dann als algebraische Kurve über einem Zahlkörper definiert ist, wenn es auf Y eine nicht-konstante holomorphe Funktion gibt, die über höchstens drei Punkten verzweigt. Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Wir untersuchen darin jeweils die Verallgemeinerung einer der beiden Implikationen aus dem Satz von Belyi auf Varietäten der Dimension zwei und höher. Im ersten Teil der Arbeit zeigen wir, dass eine n-dimensionale projektive komplex algebraische Varietät über einem Zahlkörper definiert ist, falls sie den Pn (oder eine beliebige projektive über Q definierte Varietät) endlich und höchstens über einem rationalen Divisor verzweigt überlagert. Dazu beschreiben wir im ersten Kapitel den Zusammenhang zwischen Varietäten und komplex analytischen Räumen. Wir zeigen, dass die Kategorie der endlichen algebraischen Überlagerungen einer projektiven komplexen Varietät äquivalent zur Kategorie der endlichen verzweigten analytischen Überlagerungen des assoziierten komplex analytischen Raumes ist. Außerdem erläutern wir den Zusammenhang zwischen topologisch unverzweigten Überlagerungen und deren Algebraisierung, den étalen Morphismen zwischen Varietäten. Im zweiten Kapitel führen wir Definitionskörper und Modulkörper von Varietäten ein. Anschließend untersuchen wir die Operation von Körperautomorphismen s E Aut (C/Q) auf komplexen Varietäten. Im dritten Kapitel zeigen wir zunächst, dass der Modulkörper einer endlichen Überlagerung eines geeigneten Grundraumes ein Zahlkörper ist. Danach stellen wir das Resultat von Derome [D] vor, nachdem es einen Definitionskörper im algebraischen Abschluss des Modulkörpers gibt. Daraus folgern wir die Verallgemeinerung dieser Richtung des Satzes von Belyi. Im zweiten Teil beschäftigen wir uns mit der Frage, wie der Verzweigungsdivisor D im Pn aussehen sollte, damit jede über Q definierte Varietät ein Modell besitzt, dass Pn endlich und nur über D verzweigt überlagert. Im vierten Kapitel stellen eine Heuristik zur Korrespondenz zwischen topologischen Überlagerungen und Körpererweiterungen von Q vor. Daraus leitet sich folgende Vermutung ab: Zu jeder über einem Zahlkörper definierten n-dimensionalen Varietät Y gibt es eine birational äquivalente normale Varietät Y und einen Morphismus f : Y -> Pn, der nur über dem Komplement von M0,n+3 verzweigt. Die Vermutung steht im Einklang mit dem eindimensionalen Satz von Belyi. Alle Modulräume erfüllen die Voraussetzung für die im dritten Kapitel bewiesene Umkehrung. Im letzten Kapitel beschäftigen wir uns mit komplex algebraischen Flächen. Wir zeigen, dass die Vermutung aus dem vierten Kapitel für abelsche Flächen richtig ist. Dieses Ergebnis haben wir gemeinsam mit Horst Hammer (Karlsruhe) erzielt. Anschließend geben wir einen Überblick über weitere Resultate in dieser Richtung. Schließlich beschreiben wir die topologischen Überlagerungen von M0,5 und stellen eine Verallgemeinerung der Dessins d'Enfants vor.
Große Stammbäume
(2003)
Sei T ein kritischer oder subkritischer Galton-Watson Stammbaum (GW-Baum) mit einer Kinderzahlverteilung endlicher oder unendlicher Varianz. Wir sind an der Struktur von T , bedingt darauf, dass T "groß" ist, interessiert. Der klassische sowie naheliegende Zugang ist, T auf eine große Gesamtgröße oder eine große Höhe zu bedingen. In dieser Arbeit werden drei, zum GW-Baum eng verwandte Typen von zufälligen Stammbäumen vorgestellt, deren Analyse aufschlussreiche Einsichten über große GW-Stammbäume liefert. Zur Untersuchung dieser auf große Gesamtgröße bedingten Stammbäume schlagen wir eine Familie von zufälligen, größenverzerrten Bäumen vor, deren auf Größe bedingte Verteilung mit der des, auf gegebener Größe bedingten, Baumes T übereinstimmt. Diese zufälligen Stammbäume besitzen eine einfache probabilistische Struktur, wenn man sie entlang der Ahnenlinien von rein zufällig gezogenen Knoten zerlegt. Die Verwandschaftsstruktur des von den gezogenen Knoten und der Wurzel aufgespannten Teilbaumes hängt im wesentlichen von dem asymptotischen Verhalten der Kinderzahlverteilung ab. Während bei endlicher Varianz diese Teilbäume asymptotisch binär sind, können bei unendlicher Varianz im Limes auch andere Formen auftreten. Wir zeigen, dass diese Teilbäume GW-Bäume bedingt auf ihre Gesamtblätterzahl sind. Mit Hilfe der Zerlegung entlang der Ahnenlinien erhalten wir zudem einen Grenzwertsatz für die reskalierte Gesamtgröße des Baumes mit einer Gamma-Verteilung als Limes. Die Analyse großer Bäume führen wir unter dem Aspekt des Größenverzerrens fort, indem wir eine weitere Familie zufälliger Bäume vorschlagen. Diese erhalten wir durch Größenverzerrung in der n-ten Generationsgröße. Wir werden sehen, dass der dadurch gewonnene zufällige Stammbaum eine ähnliche probabilistische Struktur wie der in der Gesamtgröße größenverzerrte Baum besitzt. Hier beweisen wir mit einfachen Überlegungen Aussagen über die Generation des jüngsten gemeinsamen Vorfahren (MRCA) von uniform aus Generation n gezogenen Knoten, sowie die Struktur des von diesen Knoten aufgespannten Skeletts. Schließlich betrachten wir die in [15] vorgestellte probabilistische Zerlegung des auf Mindesthöhe n bedingten GW-Baumes. Damit werden wir klassische Sätze über die Höhe des MRCA und die Grenzverteilung der reskalierten n-ten Generationsgröße für den Fall einer Kinderzahlverteilung mit unendlicher Varianz auf alternativem und anschaulichem Weg beweisen. Zudem erhalten wir eine Grenzverteilung für die Anzahl der Kinder des MRCA.