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We consider the long-time behaviour of spatially extended random populations with locally dependent branching. We treat two classes of models: 1) Systems of continuous-time random walks on the d-dimensional grid with state dependent branching rate. While there are k particles at a given site, a branching event occurs there at rate s(k), and one of the particles is replaced by a random number of offspring (according to a fixed distribution with mean 1 and finite variance). 2) Discrete-time systems of branching random walks in random environment. Given a space-time i.i.d. field of random offspring distributions, all particles act independently, the offspring law of a given particle depending on its position and generation. The mean number of children per individual, averaged over the random environment, equals one The long-time behaviour is determined by the interplay of the motion and the branching mechanism: In the case of recurrent symmetrised individual motion, systems of the second type become locally extinct. We prove a comparison theorem for convex functionals of systems of type one which implies that these systems also become locally extinct in this case, provided that the branching rate function grows at least linearly. Furthermore, the analysis of a caricature model leads to the conjecture that local extinction prevails generically in this case. In the case of transient symmetrised individual motion the picture is more complex: Branching random walks with state dependent branching rate converge towards a non-trivial equilibrium, which preserves the initial intensity, whenever the branching rate function grows subquadratically. Systems of type 1) and systems of type 2) with quadratic branching rate function show very similar behaviour. They converge towards a non-trivial equilibrium if a conditional exponential moment of the collision time of two random walks of an order that reflects the variability in the branching mechanism is finite almost surely. The equilibrium population has finite variance of the local particle number if the corresponding unconditional exponential moment is finite. These results are proved by means of genealogical representations of the locally size-biased population. Furthermore, we compute the threshold values for existence of conditional exponential moments of the collision time of two random walks in terms of the entropy of the transition functions, using tools from large deviations theory. Our results prove in particular that - in contrast to the classical case of independent branching - there is a regime of equilibria with variance of the local number of particles.
Gleichgewichte auf Überschussmärkten : Theorie und Anwendbarkeit auf die Regelenergiezone der RWE
(2003)
Diese Version entspricht im wesentlichen der begutachteten Version bis auf die Kürzung von Satz 3.3.1 um einen für den Rest unbedeutenden Teil. Das Ziel folgender Arbeit ist es, mit einem intuitiven Ansatz eine spezielle Wettbewerbsform zweier interagierender Märkte zu modellieren und anschließend zu analysieren. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse mit den Beobachtungen an einem existierenden Markt - dem deutschen Energiemarkt - verglichen. In dieser behandelten Wettbewerbsform wird ein nicht lagerbares Gut an zwei aneinander gekoppelten Märkten gehandelt. Während Handel und Preisfindung am ersten Markt den üblichen Gepflogenheiten folgen, müssen alle Teilnehmer sämtliche Güter, welche nicht unmittelbar nach Lieferung verbraucht werden, am zweiten Marktplatz (dem Überschussmarkt) gegen ein gewisses Entgelt zur Verfügung stellen. Alle Teilnehmer, welche nicht genügend Güter am ersten Markt geordert haben, werden auf dem Überschussmarkt zu einem gewissen Preis mit der noch benötigten Menge versorgt. Einem Marketmaker auf dem zweiten Marktplatz fällt die Aufgabe zu, einen Preis festzustellen, zu dem diejenigen entschädigt werden, welche ihre Überschüsse zur Verfügung stellen müssen bzw. den diejenigen zu bezahlen haben, deren Gütermangel ausgeglichen wird. Weiterhin stellt dieser sicher, dass zu jedem Zeitpunkt genügend Güter vorhanden sind, so dass der Bedarf aller Teilnehmer zu jedem Zeitpunkt sichergestellt ist. Ziel ist es nun herauszufinden, welche gewinnmaximierenden Einkaufsstrategien die Marktteilnehmer verfolgen sollten und welche Konsequenzen sich daraus auf den deutschen Energiemarkt ableiten lassen.
Der Hoppe-Baum ist eine zufällig wachsende, diskrete Baumstuktur, wobei die stochastische Dynamik durch die Entwicklung der Hoppe Urne wie folgt gegeben ist: Die ausgezeichnete Kugel mit der die Hoppe Urne startet entspricht der Wurzel des Hoppe Baumes. In der Hoppe Urne wird diese Kugel mit Wahrscheinlichkeit proportional zu einem Parameter theta>0 gezogen, alle anderen Kugeln werden mit Wahrscheinlichkeit proportional zu 1 gezogen. Wann immer eine Kugel gezogen wird, wird sie zusammen mit einer neuen Kugel in die Urne zurückgelegt, was in unserem Baum dem Einfügen eines neuen Kindes an den gezogenen Knoten entspricht. Im Spezialfall theta=1 erhält man einen zufälligen rekursiven Baum.
In der Arbeit werden Erwartungswerte, Varianzen und Grenzwertsätze für Tiefe, Höhe, Pfadlänge und die Anzahl der Blätter gegeben.
Die Populationsgenetik beschäftigt sich mit dem Einfluss von zufälliger Reproduktion, Rekombination, Migration, Mutation und Selektion auf die genetische Struktur einer Population.
In dieser Arbeit mit dem englischen Titel "Ancestral lines under mutation and selection" wird das Zusammenspiel von zufälliger Reproduktion, gerichteter Selektion und Zweiwegmutation untersucht.
Dazu betrachten wir eine haploide Population in der jedes Individuum zu jedem Zeitpunkt genau einen von zwei Typen aus S:={0,1} trägt. Dabei sei 1 der neutrale und 0 der selektiv bevorzugte Typ. Im Diffusionslimes sehr großer Populationen modellieren wir den Prozess der Frequenz der Typ-0-Individuen durch eine Wright-Fisher-Diffusion X:=(X_t) mit Mutation und gerichteter Selektion.
Zu jedem Zeitpunkt s gibt es genau ein Individuum, dessen Nachkommen ab einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt t>s die gesamte Population ausmachen werden. Wir nennen dieses Individuum den gemeinsamen Vorfahren zum Zeitpunkt s, da alle Individuen zu allen Zeitpunkten r>t von ihm abstammen. Sei R_{s} dessen Typ zum Zeitpunkt s. Wir nehmen an, dass der Prozess X zum Zeitpunkt 0 im Gleichgewicht ist und definieren die Wahrscheinlichkeit, dass der gemeinsame Vorfahre zum Zeitpunkt 0 Typ 0 hat, durch h(x):= P(R_{0}=0|X_{0}=x). Eine Darstellung von h(x) wurde bereits von Fearnhead (2002) und Taylor (2007) gefunden und dort mit vorwiegend analytischen Methoden bewiesen. In dieser Arbeit entwickeln wir in Kapitel 3 ein neues Teilchenbild, den pruned lookdown ancestral selection graph (pruned LD-ASG), der für sich selbst genommen interessant ist und eine neue probabilistische Interpretation der Darstellung von h(x) liefert.
Durch Erweiterung des Teilchenbildes auf Nachkommenverteilungen mit schweren Tails und mit Hilfe einer Siegmund Dualität gelingt es uns in Kapitel 4 das Resultat für h(x) von klassischen Wright-Fisher-Diffusionen auf Lambda-Wright-Fisher-Diffuison zu erweitern.
Eine Verbindung zwischen Ideen von Taylor (2007), der den gemeinsamen Prozess (X,R) untersucht hat, und einem von Fearnhead (2002) betrachteten Prozess (R,V), der die Entwicklung des Typs R des gemeinsamen Vorfahren in einer Umgebung von V sogenannten virtuellen Linien beschreibt, stellen wir in Kapitel 6 her. Wir bestimmen die gemeinsame Dynamik des Tripels (X,R,V). In Kapitel 7 betrachten wir ein diskretes Bild mit endlicher Populationsgröße N und schlagen dort eine Brücke zu Resultaten von Kluth, Hustedt und Baake (2013).
Des Weiteren entwickeln wir in Kapitel 5 dieser Arbeit einen Algorithmus zur Simulation der Typen einer Stichprobe von m Individuen, die aus einer Wright-Fisher-Population mit Mutation und Selektion im Gleichgewicht gezogen wird. Mittels dieses Algorithmus illustrieren wir die Typenverteilung für verschiedene Parameterwerte und Stichprobengrößen.
Analysing survival or fixation probabilities for a beneficial allele is a prominent task in the field of theoretical population genetics. Haldane's asymptotics is an approximation for the fixation probability in the case of a single beneficial mutant with small selective advantage in a large population.
In this thesis we analyse the interplay between genetic drift and directional selection and prove Haldane's asymptotics in different settings: For the fixation probability in Cannings models with moderate selection and for the survival probability of a slightly supercritical branching processes in a random environment.
In Chapter 3 we introduce a class of Cannings models with selection that allow for a forward and backward construction. In particular, a Cannings ancestral selection process can be defined for this class of models, which counts the number of potential parents and is in sampling duality to the forward frequency process. By means of this duality the probability of fixation can be expressed through the expectation of the Cannings ancestral selection process in stationarity. A control of this expectation yields that the fixation probability fulfils Haldane's asymptotics in a regime of moderately weak selection (Thm. 8).
In Chapter 4 we study the fixation probability of Cannings models in a regime of moderately strong selection. Here couplings of the frequency process of beneficial individuals with slightly supercritical Galton-Watson processes imply that the fixation probability is given by Haldane's asymptotics (Thm. 9).
Lastly, in Chapter 5 we consider slightly supercritical branching processes in an independent and identically distributed random environment and study the probability of survival as the number of expected offspring tends from above to one. We show that only if variance and expectation of the random offspring mean are of the same order the random environment has a non-trivial influence on the probability of survival, which results in a modification of Haldane's asymptotics. Out of the critical parameter regime the population goes extinct or survives with a probability that fulfils Haldane's asymptotics (Thm. 10).
The proof establishes an expression for the survival probability in terms of the shape function of the random offspring generating functions. This expression exhibits similarities to perpetuities known from a financial context. Consequently, we prove a limiting theorem for perpetuities with vanishing interest rates (Thm. 11).
This work proposes to employ the (bursty) GLO model from Bingmer et. al (2011) to model the occurrence of tropical cyclones. We develop a Bayesian framework to estimate the parameters of the model and, particularly, employ a Markov chain Monte Carlo algorithm. This also allows us to develop a forecasting framework for future events.
Moreover, we assess the default probability of an insurance company that is exposed to claims that occur according to a GLO process and show that the model is able to substantially improve actuarial risk management if events occur in oscillatory bursts.
Optimierung von Phasen- und Ratenparametern in einem stochastischen Modell neuronaler Feueraktivität
(2014)
In unserem Gehirn wird Information von Neuronen durch die Emission von Spikes repräsentiert. Als wichtige Signalkomponenten werden hierbei die Rate (Anzahl Spikes), die Phase (zeitliche Verschiebung der Spikes) und synchrone Oszillationen (rhythmische Entladungen der Neuronen am selben Zyklus) diskutiert.
In dieser Arbeit wird untersucht, wie Rate und Phase für eine optimale Detektion miteinander kombiniert werden und abhängig vom gewählten Parameterbereich wird der Beitrag der Phase quantifiziert.
Dies wird anhand eines stochastischen Spiketrain-Modell untersucht, das hohe Ähnlichkeiten zu empirischen Spiketrains zeigt und die drei genannten Signalkomponenten beinhaltet. Das ELO-Modell („exponential lockig to a free oscillator“) ist in zwei Prozessstufen unterteilt: Im Hintergrund steht ein globaler Oszillationsprozess, der unabhängige und normal-verteilte Intervallabschnitte hervorbringt (Oszillation). An den Intervallgrenzen starten unabhängig, inhomogene Poisson-Prozesse (Synchronizität) mit exponentiell abnehmender Feuerrate, die durch eine stimulusspezifische Rate und Phase festgelegt ist.
Neben einer analytischen Bestimmung der optimalen Parameter im Falle reiner Raten- bzw. Phasencodierung, wird die gemeinsame Codierung anhand von Simulationsstudien analysiert.
The thesis deals with the analysis and modeling of point processes emerging from different experiments in neuroscience. In particular, the description and detection of different types of variability changes in point processes is of interest.
A non-stationary rate or variance of life times is a well-known problem in the description of point processes like neuronal spike trains and can affect the results of further analyses requiring stationarity. Moreover, non-stationary parameters might also contain important information themselves. The goal of the first part of the thesis is the (further) development of a technique to detect both rate and variance changes that may occur in multiple time scales separately or simultaneously. A two-step procedure building on the multiple filter test (Messer et al., 2014) is used that first tests the null hypothesis of rate homogeneity allowing for an inhomogeneous variance and that estimates change points in the rate if the null hypothesis is rejected. In the second step, the null hypothesis of variance homogeneity is tested and variance change points are estimated. Rate change points are used as input. The main idea is the comparison of estimated variances in adjacent windows of different sizes sliding over the process. To determine the rejection threshold functionals of the Brownian motion are identified as limit processes under the null of variance homogeneity. The non-parametric procedure is not restricted to the case of at most one change point. It is shown in simulation studies that the corresponding test keeps the asymptotic significance level for a wide range of parameters and that the test power is remarkable. The practical applicability of the procedure is underlined by the analysis of neuronal spike trains.
Point processes resulting from experiments on bistable perception are analyzed in the second part of the thesis. Visual illusions allowing for than more possible perception lead to unpredictable changes of perception. In the thesis data from (Schmack et al., 2015) are used. A rotating sphere with switching perceived rotation direction was presented to the participants of the study. The stimulus was presented continuously and intermittently, i.e., with short periods of „blank display“ between the presentation periods. There are remarkable differences in the response patterns between the two types of presentation. During continuous presentation the distribution of dominance times, i.e., the intervals of constant perception, is a right-skewed and unimodal distribution with a mean of about five seconds. In contrast, during intermittent presentation one observes very long, stable dominance times of more than one minute interchanging with very short, unstable dominance times of less than five seconds, i.e., an increase of variability.
The main goal of the second part is to develop a model for the response patterns to bistable perception that builds a bridge between empirical data analysis and mechanistic modeling. Thus, the model should be able to describe both the response patterns to continuous presentation and to intermittent presentation. Moreover, the model should be fittable to typically short experimental data, and the model should allow for neuronal correlates. Current approaches often use detailed assumptions and large parameter sets, which complicate parameter estimation.
First, a Hidden Markov Model is applied. Second, to allow for neuronal correlates, a Hierarchical Brownian Model (HBM) is introduced, where perception is modeled by the competition of two neuronal populations. The activity difference between these two populations is described by a Brownian motion with drift fluctuating between two borders, where each first hitting time causes a perceptual change. To model the response patterns to intermittent presentation a second layer with competing neuronal populations (coding a stable and an unstable state) is assumed. Again, the data are described very well, and the hypothesis that the relative time in the stable state is identical in a group of patients with schizophrenia and a control group is rejected. To sum up, the HBM intends to link empirical data analysis and mechanistic modeling and provides interesting new hypotheses on potential neuronal mechanisms of cognitive phenomena.
Precise timing of spikes between different neurons has been found to convey reliable information beyond the spike count. In contrast, the role of small phase delays with high temporal variability, as reported for example in oscillatory activity in the visual cortex, remains largely unclear. This issue becomes particularly important considering the high speed of neuronal information processing, which is assumed to be based on only a few milliseconds, or oscillation cycles within each processing step.
We investigate the role of small and imprecise phase delays with a stochastic spiking model that is strongly motivated by experimental observations. Within individual oscillation cycles the model contains only two signal parameters describing directly the rate and the phase. We specifically investigate two quantities, the probability of correct stimulus detection and the probability of correct change point detection, as a function of these signal parameters and within short periods of time such as individual oscillation cycles.
Optimal combinations of the signal parameters are derived that maximize these probabilities and enable comparison of pure rate, pure phase and combined codes. In particular, the gain in detection probability when adding imprecise phases to pure rate coding increases with the number of stimuli. More interestingly, imprecise phase delays can considerably improve the process of detecting changes in the stimulus, while also decreasing the probability of false alarms and thus, increasing robustness and speed of change point detection.
The results are applied to parameters extracted from empirical spike train recordings of neurons in the visual cortex in response to a number of visual stimuli. The results suggest that near-optimal combinations of rate and phase parameters can be implemented in the brain, and that phase parameters could particularly increase the quality of change point detection in cases of highly similar stimuli.