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Diese Arbeit beschäftigt sich mit inversen Problemen für partielle Differentialgleichungen. Moderne Lösungsverfahren solcher inversen Probleme müssen die zugehörige partielle Differentialgleichung (PDGL) oft sehr häufig lösen. Mit Hinblick auf die Rechenzeit solcher Verfahren stellt das häufige Lösen der PDGL den Hauptanteil der benötigten Rechenzeit dar. Daraus resultiert die Grundidee dieser Arbeit: es sollen Lösungsverfahren von inversen Problemen beschleunigt werden, indem die für die Vorwärtslösung benötigte Rechenzeit verringert wird. Genauer gesagt soll anstatt der Vorwärtslösung eine Approximation an diese, welche kostengünstig zu berechnen ist, verwendet werden. Für die Bestimmung einer kostengünstigen Annäherung an die Vorwärtslösung wird die Reduzierte Basis Methode, eine Modellreduktionstechnik, verwendet.
Das Ziel der klassischen Reduzierten Basis Methode ist es einen globalen Reduzierte Basis Raum (RB-Raum) zu konstruieren. Dabei handelt es sich um einen niedrigdimensionalen Teilraum des Lösungsraumes der PDGL, welcher für jeden Parameter aus dem Parameterraum eine gute Näherung der PDGL-Lösung liefert. Eine beispielhafte Methode zur Konstruktion eines solchen Raumes ist es, geschickt Parameter auszuwählen und die dazu gehörigen PDGL-Lösungen als Basisvektoren des RB-Raumes zu verwenden. Die orthogonale Projektion der PDGL auf diesen RB-Raum liefert die entsprechenden Reduzierte Basis Lösungen. Das Besondere in dieser Arbeit ist, dass die betrachteten PDGLn einen sehr hochdimensionalen und unbeschränkten Parameterraum besitzen, und es ist bekannt, dass dies für die Reduzierte Basis Methode eine immense Schwierigkeit darstellt.
In Kapitel 1 wird ein schlechtgestelltes inverses Modellproblem, die Rekonstruktion der Wärmeleitfähigkeit eines Gegenstandes aus der Messung der Temperatur desselben, eingeführt und das nichtlineare Landweber-Verfahren als iteratives Regularisierungsverfahren zur Lösung dieses inversen Problems vorgestellt. Die Grundlagen der Reduzierten Basis Methode werden dargelegt und es wird erläutert, warum die klassische Variante der Methode in diesem Kontext der Bildrekonstruktion versagt. Daraufhin wird der neuartig Ansatz, ein adaptiver Reduzierte Basis Ansatz, entwickelt. Die folgenden Schritte bilden die Grundlage dieses adaptiven Reduzierte Basis Ansatzes:
1. Sei ein RB-Raum gegeben, so projiziere den Lösungsalgorithmus des inversen Problems auf diesen RB-Raum.
2. Generiere mit Hilfe dieses projizierten Verfahrens neue Iterierte bis entweder eine Iterierte das inverse Problem löst oder bis der RB-Raum erweitert werden muss.
3. Im ersten Fall wird das Verfahren beendet, im zweiten Fall wird die zur aktuellen Iterierten gehörige Vorwärtslösung verwendet um den RB-Raum zu verbessern. Danach wird mit dem ersten Schritt fortgefahren.
Es wird also nach und nach ein lokal approximierender RB-Raum konstruiert, indem Parameter für neue Basisvektoren mittels einer projizierten Variante des Lösungsalgorithmus des inversen Problems gefunden werden. Das neuartige Reduzierte Basis Landweber-Verfahren ist das Hauptresultat von Kapitel 1, wobei das Verfahren ausführlich numerisch untersucht und mit dem ursprünglichen Landweber-Verfahren verglichen wird.
In Kapitel 2 dieser Arbeit soll der zuvor entwickelte adaptive Reduzierte Basis Ansatz auf ein komplexes und praxisrelevantes Problem angewandt werden. Insbesondere soll die dadurch entstehende neue Methode mit Hinblick auf Konvergenz theoretisch ausführlich untersucht werden. Daher widmet sich der zweite Teil dieser Arbeit dem Problem der Magnet Resonanz Elektrischen Impedanztomographie (MREIT).
Bei der MREIT handelt es sich um ein Bildgebungsverfahren, welches während der letzten drei Jahrzehnte entwickelt wurde. Dabei wird ein Gegenstand, an welchen Elektroden angeheftet sind, in einen Kernspintomographen gelegt und es ist das Ziel des Verfahrens die elektrische Leitfähigkeit des Gegenstandes zu bestimmen. Die dazu benötigten Daten werden folgendermaßen gewonnen: indem Strom an einer der Elektroden angelegt wird, wird ein Stromfluss erzeugt, welcher wiederum eine Änderung der Magnetflussdichte induziert. Diese kann mit Hilfe des Kernspintomographen gemessen werden, wodurch man einen vollen Satz innerer Daten zur Hand hat, sodass hoch aufgelöste Bilder der elektrischen Leitfähigkeit des Gegenstandes rekonstruiert werden können.
Als Lösungsalgorithmus für dieses praxisrelevante Problem wird der bereits bekannte Harmonische Bz Algorithmus vorgestellt. Das Problem und der Algorithmus werden mit Hinblick auf Konvergenz des Verfahrens untersucht und ein Konvergenzresultat, welches die bestehende Konvergenztheorie hin zu einem approximativen Harmonischen Bz Algorithmus erweitert, wird bewiesen. Dabei hängt das Resultat nicht davon ab welche Art von Approximation an die Vorwärtslösung der entsprechenden PDGL im approximativen Harmonischen Bz Algorithmus verwendet wird solange diese einer Regularitäts- und einer Qualitätsbedingung genügt. Damit folgt das zweite Hauptresultat dieser Arbeit: die numerische Konvergenz des Harmonischen Bz Algorithmus. Es soll dabei hervorgehoben werden, dass Konvergenzresultate im Bereich der inversen Probleme (sofern es sie gibt) meistens die Kenntnis der exakten Vorwärtslösung annehmen, sodass keine numerische Konvergenz des zugehörigen Verfahrens folgt (in einer numerischen Implementation wird stets eine Approximation an die Vorwärtslösung verwendet). Somit ist dieses Konvergenzresultat ein Schritt hin zur numerischen Konvergenz anderer Lösungsverfahren von inversen Problemen.
Da das theoretische Resultat von der Art der Approximation nicht abhängt, erhält man ebenfalls die Konvergenz des neuartigen Reduzierte Basis Harmonischen Bz Algorithmus, welcher die Kombination des in Kapitel 1 entwickelten adaptiven Reduzierte Basis Ansatzes und des Harmonischen Bz Algorithmus ist. In einer kurzen numerischen Untersuchung wird festgestellt, dass dieser Reduzierte Basis Harmonische Bz Algorithmus schneller als der Harmonische Bz Algorithmus ist, wobei die Qualität der Rekonstruktion gleichbleibend ist. Somit funktioniert der entwickelte adaptive Reduzierte Basis Ansatz auch angewandt auf dieses komplexe praxisrelevante inverse Problem der MREIT.
Monte Carlo methods : barrier option pricing with stable Greeks and multilevel Monte Carlo learning
(2021)
For discretely observed barrier options, there exists no closed solution under the Black-Scholes model. Thus, it is often helpful to use Monte Carlo simulations, which are easily adapted to these models. However, as presented above, the discontinuous payoff may lead to instability in option's sensitivities for Monte Carlo algorithms.
This thesis presents a new Monte Carlo algorithm that can calculate the pathwise sensitivities for discretely monitored barrier options. The idea is based on Glasserman and Staum's one-step survival strategy and the results of Alm et al., with which we can stably determine the option's sensitivities such as Delta and Vega by finite-differences. The basic idea of Glasserman and Staum is to use a truncated normal distribution, which excludes the values above the barrier (e.g.\ for knock-up-out options), instead of sampling from the full normal distribution. This approach avoids the discontinuity generated by any Monte Carlo path crossing the barrier and yields a Lipschitz-continuous payoff function.
The new part will be to develop an extended algorithm that estimates the sensitivities directly, without simulation at multiple parameter values as in finite-difference.
Consider the local volatility model, which is a generalisation of the Black-Scholes model. Although standard Monte Carlo algorithms work well for the pricing of continuously monitored barrier options within this model, they often do not behave stably with respect to numerical differentiation.
To bypass this problem, one would generally either resort to regularised differentiation schemes or derive an algorithm for precise differentiation. Unfortunately, while the widespread solution of using a Brownian bridge approach leads to accurate first derivatives, they are not Lipschitz-continuous. This leads to instability with respect to numerical differentiation for second-order Greeks.
To alleviate this problem - i.e. produce Lipschitz-continuous first-order derivatives - and reduce variance, we generalise the idea of one-step survival to general scalar stochastic differential equations. This approach leads to the new one-step survival Brownian bridge approximation, which allows for stable second-order Greeks calculations.
To show the new approach's numerical efficiency, we present a new respective Monte Carlo pathwise sensitivity estimator for the first-order Greeks and study different methods to compute second-order Greeks stably. Finally, we develop a one-step survival Brownian bridge multilevel Monte Carlo algorithm to reduce the computational cost in practice.
This thesis proves unbiasedness and variance reduction of our new, one-step survival version with respect to the classical, Brownian bridge approach. Furthermore, we will present a new convergence result for the Brownian bridge approach using the Milstein scheme under certain conditions. Overall, these properties imply convergence of the new one-step survival Brownian bridge approach.
In recent years, deep learning has become pervasive in various fields. As a family of machine learning methods it is used in a broad set of applications, such as image processing, voice recognition, email filtering, computer vision. Most modern deep learning algorithms are based on artificial neural networks inspired by the biological neural networks constituting animal brains. Also in computational finance deep learning may be of use: Consider there is no closed-solution available for an option price, Monte Carlo simulations are substantially for estimation. Instead of persistently contributing new price computations arising from an updated volatility term, one could replace these by evaluating a neural network.
If an according neural network is available, the evaluation could lead to substantial savings and be highly efficient. I.e., once trained, a neural network could save further expensive estimations. However, in practice, the challenge is the training process of the neural network.
We study and compare two generic neural network training algorithms' computational complexity. Then, we introduce a new multilevel training algorithm that combines a deep learning algorithm with the idea of multilevel Monte Carlo path simulation. The idea is to train several neural networks with training data computed from the so-called level estimators of the multilevel Monte Carlo approach introduced by Giles. We show that the new method can reduce computational complexity by formulating a complexity theorem.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit linearen inversen Problemen, wie sie in einer Vielzahl an Anwendungen auftreten. Diese Probleme zeichnen sich dadurch aus, dass sie typischerweise schlecht gestellt sind, was in erster Linie die Stabilität betrifft. Selbst kleinste Messfehler haben enorme Konsequenzen für die Rekonstruktion der zu bestimmenden Größe.
Um eine robuste Rekonstruktion zu ermöglichen, muss das Problem regularisiert, dass heißt durch eine ganze Familie abgeänderter, stabiler Approximationen ersetzt werden. Die konkrete Wahl aus der Familie, die sogenannte Parameterwahlstrategie, stützt sich dann auf zusätzliche ad hoc Annahmen über den Messfehler. Typischerweise ist dies im deterministischen Fall die Kenntnis einer oberen Schranke an die Norm des Datenfehlers, oder im stochastischen Fall, die Kenntnis der Verteilung des Fehlers, beziehungsweise die Einschränkung auf eine bestimmte Klasse von Verteilungen, zumeist Gaußsche. In der vorliegenden Arbeit wird untersucht, wie sich diese Informationen unter der Annahme der Wiederholbarkeit der Messung gewinnen lassen. Die Daten werden dabei aus mehreren Messungen gemittelt, welche einer beliebigen, unbekannten Verteilung folgen, wobei die zur Lösung des Problems unweigerlich notwendige Fehlerschranke geschätzt wird. Auf Mittelwert und Schätzer wird dann ein klassisches Regularisierungsverfahren angewandt. Als Regularisierungen werden größtenteils Filter-basierte Verfahren behandelt, die sich auf die Spektralzerlegung des Problems stützen. Als Parameterwahlstrategien werden sowohl einfache a priori-Wahlen betrachtet, als auch das Diskrepanzprinzip als adaptives Verfahren. Es wird Konvergenz für unbekannte beliebige Fehlerverteilungen mit endlicher Varianz sowie für Weißes Rauschen (bezüglich allgemeiner Diskretisierungen) nachgewiesen. Schließlich wird noch die Konvergenz des Diskrepanzprinzips für ein stochastisches Gradientenverfahren gezeigt, als erste rigorose Analyse einer adaptiven Stoppregel für ein solches nicht Filter-basiertes Regularisierungsverfahren.