Die fortschreitende Miniaturisierung elektronischer Bauteile stößt an
ihre Grenzen. Die einzelnen Strukturen, welche für die Herstellung
integrierter Schaltungen in verschiedenen Halbleitern benötigt werden,
schrumpfen immer mehr und könnten in den nächsten Jahren die
Größenordnung einzelner Atomen erreichen. Spätestens dann
wird die Physik der Nanostrukturen auch im Alltag durch neuartige
Technologie an Bedeutung gewinnen.

Die vorliegende Doktorarbeit beschäftigt sich mit der Physik von
Quantenstörstellenmodellen. Diese Art der Modelle verbindet ein
identischer Aufbau: die Störstelle besteht aus einem relativ simplen
Teilsystem aus nur wenigen Atomen (z.B. einem einzelnen Molekül), welches
meist exakt beschrieben werden kann. Die Komplexität der Beschreibung
entsteht erst aus der Anbindung dieser Störstelle an eine sehr
große Anzahl quantenmechanischer Teilchen. Diese Teilchen können,
im Fall einer Anbindung an elektronische Leiter, Elektronen sein. Genauso
gut kann es sich aber auch um quantisierte Schwingungen (sogenannte
Phononen) oder andere Teilchen, die einer bosonischen Statistik genügen,
handeln. Diese große Anzahl wechselwirkender Teilchen macht eine exakte
Lösung der Heisenberg-Gleichungen auch numerisch unmöglich. Ebenso ist
es in vielen Fällen nicht möglich die auftretenden physikalischen
Effekte, wie zum Beispiel den Kondo Effekt, bei dem eine große Anzahl
von Elektronen aus dem fermionischen Bad eine "Wolke'' bildet, welche das
freie magnetische Moment der Störstelle abschirmt, störungstheoretisch
zu beschreiben und zu erklären.

Die Arbeit ist wie folgt strukturiert: Im ersten Teil wird der dominante
physikalische Effekt, der Kondo Effekt, eingeführt und verständlich
gemacht.  Des Weiteren werden in diesem Teil die experimentellen
Fortschritte, die eine kohärente Kontrolle einzelner Spins ermöglichen,
anhand einer Auswahl aktueller experimenteller Arbeiten erläutert. Zu
guter letzt werden zwei weitere experimentelle Arbeiten vorgestellt, die
einen kurzen Einblick in das spannende Gebiet der molekularen Elektronik
bieten.

Der zweite Teil der Arbeit führt die Methode ein mithilfe derer ein
Großteil der Ergebnisse erlangt wurden: die numerische
Renormierungsgruppe. Die numerische Renormierungsgruppe ist eine
Methode, die im Gegensatz zu vielen anderen Methoden der
Renormierungsgruppe, frei von störungstheoretischer Behandlung aller
Systemparameter ist. Sie hat sich deshalb, seit ihrer erstmaligen Anwendung in
den 1970er Jahren, zu einem Standardwerkzeug der computergestützten
Physik entwickelt. Mit ihrer Hilfe lassen sich Korrelationseffekte in
Quantenstörstellenmodellen bei Temperaturen nahe des absoluten
Nullpunktes sehr gut beschreiben.
Nach einer allgemeinen Einführung in die Grundkonzepte sowohl für
fermionische als auch für bosonische Bäder, werden
relevante kürzlich eingeführte Erweiterungen der numerischen
Renormierungsgruppe erläutert. Hierzu zählen die Dichte-Matrix
Numerische Renormierungsgruppe, die geschickte Wahl einer
vollständigen Eigenbasis des Fock-Raumes, die zeitabhängige
Numerische Renormierungsgruppe, sowie die Berücksichtigung endlicher
Temperaturen und einiger Tricks zur Verbesserung der Genauigkeit der
berechneten Ergebnisse.

Der dritte Teil der Arbeit beinhaltet die Anwendung der numerischen
Renormierungsgruppen-Methoden auf verschiedene
Quantenstörstellenmodelle. Dies ist der Hauptteil und beleuchtet die
wissenschaftliche Arbeit, welche während der vergangenen Jahre geleistet
wurde. Die untersuchten Modelle werden jeweils erläutert und separat
motiviert, bevor die Ergebnisse der eingehenden Analysen dargelegt werden.

Dieser Hauptteil lässt sich in folgende Kapitel, die einen
Überblick über die untersuchten Themenbereiche erlauben, unterteilen: 
- Ferromagnetisches Kondo Modell,
- Spin-Dynamik im Anisotropen Kondo und Spin-Boson Modell,
- Zwei gekoppelte Spins in einem Bosonischen Bad,
- Dekohärenz in einem Aharanov-Bohm Interferometer.

The miniaturization of electronics is reaching its limits.
Structures necessary to build integrated circuits from semiconductors are
shrinking and could reach the size of only a few atoms within the next few
years. It will be at the latest at this point in time that the physics of
nanostructures gains importance in our every day life.

This thesis deals with the physics of quantum impurity models.
All models of this class exhibit an identical structure: the simple and
small impurity only has few degrees of freedom. It can be built out of a
small number of atoms or a single molecule, for example. In the simplest
case it can be described by a single spin degree of freedom, in many
quantum impurity models, it can be treated exactly.  The complexity of the
description arises from its coupling to a large number of fermionic or
bosonic degrees of freedom (large meaning that we have to deal with particle
numbers of the order of 10^{23}).  An exact treatment thus remains
impossible. At the same time, physical effects which arise in quantum
impurity systems often cannot be described within a perturbative theory,
since multiple energy scales may play an important role. One example for
such an effect is the Kondo effect, where the free magnetic moment of the
impurity is screened by a "cloud" of fermionic particles of the quantum
bath.

The Kondo effect is only one example for the rich physics stemming from
correlation effects in many body systems. Quantum impurity models, and the
oftentimes related Kondo effect, have regained the attention of experimental
and theoretical physicists since the advent of quantum dots, which are
sometimes also referred to as as artificial atoms. Quantum dots offer a
unprecedented control and tunability of many system parameters. Hence, they
constitute a nice "playground" for fundamental research, while being
promising candidates for building blocks of future technological devices as
well.

Recently Loss' and DiVincenzo's proposal of a quantum computing scheme
based on spins in quantum dots, increased the efforts of
experimentalists to coherently manipulate and read out the spins of quantum
dots one by one.
In this context two topics are of paramount importance for future
quantum information processing:
since decoherence times have to be large enough to allow for good error
correction schemes, understanding the loss of phase coherence in quantum
impurity systems is a prerequisite for quantum computation in these
systems.  
Nonequilibrium phenomena in quantum impurity systems also have to be
understood, before one may gain control of manipulating quantum bits. 
As a first step towards more complicated nonequilibrium situations,
the reaction of a system to a quantum quench, i.e. a sudden change of
external fields or other parameters of the system can be investigated.

We give an introduction to a powerful numerical method used in this field
of research, the numerical renormalization group method, and apply this
method and its recent enhancements to various quantum impurity systems. 

The main part of this thesis may be structured in the following way:
- Ferromagnetic Kondo Model,
- Spin-Dynamics in the Anisotropic Kondo and the Spin-Boson Model,
- Two Ising-coupled Spins in a Bosonic Bath,
- Decoherence in an Aharanov-Bohm Interferometer.