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Sebastian Becker

• In this thesis and in the research articles which this thesis consists of, respectively, we focus on strong convergence rates for numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDEs). In Part I of this thesis, i.e., Chapter 2 and Chapter 3, we study higher order numerical schemes for SPDEs with multiplicative trace class noise based on suitable Taylor expansions of the Lipschitz continuous coefficients of the SPDEs under consideration. More precisely, Chapter 2 proves strong convergence rates for a linear implicit Euler-Milstein scheme for SPDEs and is based on an unpublished manuscript written by the author of this thesis. This chapter extends an earlier result1 by slightly lowering the assumptions posed on the diffusion coefficient and a different approximation of the semigroup. In Chapter 3 we introduce an exponential Wagner-Platen type numerical scheme for SPDEs and prove that this numerical approximation method converges in the strong sense with oder up to 3/2−. Moreover, we illustrate how the (mixed) iterated stochastic-deterministic integrals, that are part of our numerical scheme, can be simulated exactly under suitable assumptions. The second part of this thesis, i.e. Chapter 4 and Chapter 5, is devoted to strong convergence rates for numerical approximations of SPDEs with superlinearly growing nonlinearities driven by additive space-time white noise. More specifically, in Chapter 4, we prove strong convergence with rate in the time variable for a class of nonlinearity-truncated numerical approximation schemes for SPDEs and provide examples that fit into our abstract setting like stochastic Allen-Cahn equations. Finally, in Chapter 5, we extend this result with spatial approximations and establish strong convergence rates for a class of full-discrete nonlinearity truncated numerical approximation schemes for SPDEs. Moreover, we apply our strong convergence result to stochastic Allen-Cahn equations and provide lower and upper bounds which show that our strong convergence result can, in general, not essentially be improved.
• Unter stochastischen partiellen Differentialgleichungen (englisch: Stochastic Partial Differential Equation, Akronym: SPDE) kann man sich einerseits die Erweiterung gewöhnlicher stochastischer Differentialgleichungen (englisch: Stochastic Ordinary Differential Equation, Akronym: SODE) um partielle Ableitungen und andererseits das Resultat, das entsteht wenn man Rauschen zu einer deterministischen partiellen Differentialgleichung (englisch: Partial Differential Equation, Akronym: PDE) in einer sinnvollen Art und Weise hinzufügt, vorstellen. Die ersten Forschungsergebnisse erschienen bereits Mitte der 60er Jahre des letzten Jahrhunderts und wurden angetrieben von der Analysis und der Theorie stochastischer Prozesse und von der Notwendigkeit zufällige Phänomene in der Kontrolltheorie, der Wirtschaft, und den Naturwissenschaften wie z.B. Biologie, Chemie, und Physik zu beschreiben. Dadurch dienen SPDEs heute als ein wichtiges Werkzeug um dynamische Systeme mit zufälligem Einfluss in komplexen, von menschengemachten, Modellen oder der Natur zu modellieren. In der wissenschaftlichen Literatur finden sich hauptsächlich drei Techniken um SPDEs bzw. ihre numerischen Approximationen zu analysieren. Zum einen der sogenannte "semigroup approach" (siehe, e.g., Da Prato & Zabcyk [58, 59] und Hairer [95]), zum anderen der sogenannte "variational approach" (siehe, e.g., Rozovskiǐ [193], Prévôt & Röckner [186], und Liu & Röckner [161]), und nicht zuletzt der sogenannte "martingale measure approach" (siehe, e.g., Walsh [203]). Die ersteren der beiden Techniken werden wir in dieser Arbeit anwenden. Weitere Informationen zu den oben genannten Ansätzen zur Analysis von SPDEs finden sich auch, neben vielen Forschungsartikeln, in den Büchern von Kallianpur & Xiong [141], Carmona & Rozovskiǐ [33], Krylov et al. [156], Da Prato [51, 52], Blömker [20], Chow [35], Peszat & Zabczyk [183], Kotelenez [147], Dalang et al. [60], Holden et al. [112], Gawarecki & Mandrekar [78], und den Referenzen die darin zitiert werden. Auch heutzutage sind SPDEs immer noch ein sehr aktives Feld der Forschung und erhielten erst kürzlich besondere Aufmerksamkeit als Martin Hairer im Jahr 2014 mit der Fields-Medaille, unter anderem für seine Arbeit an der Kardar–Parisi–Zhang Gleichung (siehe Hairer [94]) und weiteren Forschungsarbeiten auf diesem Gebiet, ausgezeichnet wurde. ...