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Im Rahmen der Bachelorarbeit wurden verschiedene Messungen am CH-Modell des Protonen - Linearbeschleunigers für FAIR durchgeführt.
Zu Beginn wurde die Wirkung der Tuner auf das elektrische Feld im Resonator und die Frequenz untersucht. Aus den systematischen Messungen konnte man feststellen, wie die Tuner das elektrische Feld beeinflussen. Außerdem konnte man sehen, dass die Tuner zu einer Erhöhung der Frequenz führen, was auch durch den theoretischen Hintergrund erwartet wurde. Aus den so gewonnenen Erkenntnissen konnte nun versucht werden, die Spaltspannungen an eine Vorgabe aus LORASR anzupassen. Dies nahm den Hauptteil der Bachelorarbeit ein. Die Anpassung konnte durch Variation der Tuner und der Spaltlängen erreicht werden. Die Abweichungen zur LORASR - Vorgabe lagen alle, bis auf einen Wert, im vorgegebenen Bereich. Allerdings waren die Messungen nicht perfekt reproduzierbar, da es bei der Störkörpermessung zu Fehlern kam. Der Motor, der den Störkörper durch die CH-Struktur ziehen sollte, war in diesem Zeitraum defekt, wodurch sich die gemessenen Spaltspannungen etwas veränderten.
Weiterhin wurde noch eine Sensibilitätsuntersuchung bei Erwärmung des Niederenergieteils des Resonators und eine Modenuntersuchung durchgeführt.
Durch die Erwärmung des Niederenergieteils konnte man sehen, dass das Feld im Inneren des Resonators auf Temperaturunterschiede reagiert. Dies hat aber keinen Einfluss auf die Betriebsfähigkeit des Resonators, da die zu erwartenden Einflüsse auf den Resonator im Betrieb sehr gering sind. Die Modenuntersuchung hat die vorherigen Annahmen bestätigt. Die Hochfrequenzleistung wird über die Linse hinweg störungsfrei weitergegeben und die ersten 4 Moden schwingen alle in dem Modell an und sind messbar, wenn man außen in den Tanks einkoppelt.
Der Karlsruhe 4π-Bariumfluorid-Detektor, entwickelt und aufgebaut Ende der Achtzigerjahre am Forschungszentrum Karlsruhe, ist ein effizienter Detektor für Gammastrahlung und bietet vielfältige Einsatzmöglichkeiten für kernphysikalische Experimente. Insbesondere für Experimente der nuklearen Astrophysik ist er geeignet, aber auch für die Forschung zur Entwicklung neutronengetriebener Reaktoren, zum Beispiel zur Transmutation radioaktiver Abfälle. Derzeit befindet sich der Detektor an der Goethe-Universität Frankfurt, wo er mit der sich dort in Entwicklung befindenden FRANZ-Neutronenquelle eingesetzt werden soll. Diese ermöglicht zum Beispiel Messungen von Wirkungsquerschnitten für den s-Prozess in astrophysikalisch relevanten Energiebereichen und bei hohen Intensitäten.
Diese Arbeit behandelt astrophysikalische Möglichkeiten die der Detektor bietet sowie dessen allgemeinen Aufbau und Eigenschaften. Es wurden eine Funktionsprüfung des Detektors, Messungen der Zeit- und Energieauflösung, Energiekalibration sowie kleine Optimierungen und Reparaturen durchgeführt.
In der LEBT-Sektion der Frankfurter Neutronenquelle am Stern-Gerlach-Zentrum (FRANZ) befinden sich zur transversalen Fokussierung des Ionenstrahls vier Solenoide. Die ersten beiden dienen dem Einschuss in das ExB-Choppersystem, die letzten beiden dem Einschuss in die erste Beschleunigerstruktur, den Radiofrequenzquadrupol (RFQ). In numerischen Transportsimulationen konnte gezeigt werden, dass insbesondere der erste Solenoid einen hohen Füllgrad aufweisen wird, was zu Strahlaberrationen und damit zu einer unerwünschten Erhöhung der Strahlemittanz führen kann.
Um diesen Effekt zu untersuchen, wurden die Fokussier- und Abbildungseigenschaften des ersten FRANZ-Solenoides analysiert. Analytische Rechnung unter Verwendung der Twissparametertransformation wurden durchgeführt, numerische Simulationen mit einem idealisiertem und einem realistischem Magnetfeldverlauf gemacht und 2 Messaufbauten mit einer Volumenquelle, dem Solenoid und einer Schlitz-Gitter-Emittanzmessanlage realisiert, um gemessene mit analytischen und numerischen Daten vergleichen zu können. Die Parameter, die ausgewertet und verglichen wurden, sind die Lage der Emittanzellipse, die Emittanz im x-x'-Phasenraum und die normierten vierten Momente (Wölbung) im Ortsraum.
Quasi-Monte-Carlo-Verfahren zur Bewertung von Finanzderivaten, BacDas Gebiet der Optionsbewertung ist durch die Entwicklungen zu neuen und immer komplexer werdenden Optionstypen und durch Verbesserungen im Bereich der Aktienkurs-Modelle geprägt. Diese Entwicklung und die gestiegene Leistungsfähigkeit der Parallelrechner haben das Interesse an den flexiblen Quasi-Monte-Carlo-Verfahren neu geweckt.
Die experimentellen Untersuchungen bestätigen die Überlegenheit des Quasi-Monte-Carlo-Verfahren gegenüber den klassische Monte-Carlo-Verfahren in Bezug auf niedrigdimensionale Optionstypen. Dieser Überlegenheit nimmt aber mit zunehmender Dimension ab, was eine Nachteil für das Quasi-Monte-Carlo Verfahren darstellt. Zur Verbesserung des Verfahrens gibt das Dimensions-Reduktions-Prinzip (effective dimension) und weitere Niederdiskrepanz-Folgen, wie Niederreiter-Folgen, Lattice-Regeln, usw. Weitere Verbesserungsmöglichkeiten könnten auch durch Wahl von anderen Diskretisierungsverfahren mit höherer starker Ordnung, wie z.B dem Milstein-Verfahren, erreicht werden. Mit dem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren lässen sich auch komplizierte Optionen bewerten,
wie z.B. Bermuda-Optionen, Barrier-Optionen, Cap-Optionen, Shout-Optionen, Lokkback-Optionen, Multi-Asset-Optionen, Outperformance-Optionen, und auch mit weiteren Bewertungs-Modellen kombinieren, wie z.B. dem Black-Scholes-Modell mit variabler Verzinsung, Black-Scholes-Modell mit zeitabhängiger Volatilität, Heston-Modell für stochastische Volatilität, Merton-Sprung-Diffusion-Modell und dem Libor-Markt Modell für Zinsderivate, auf die ich in dieser Bachelorarbeit nicht mehr eingehen werde, mit denen ich mich jedoch in der Masterarbeit genauer beschäftigen werde.
Sprung-Diffusions-Modelle zur Bewertung Europäischer Optionen, BacIn dieser Arbeit wurden die Europäische Optionen in den Sprung-Diffusions-Modellen von Merton und dem Modell von Kou bewertet. So stellen die geschlossenen Lösungen für das Merton-Modell als Anwendung der Black-Scholes-Formel eine einfache Möglichkeit zur Berechnung eines Optionspreises dar. Die Verwendung einer analytischen Lösung für Merton ist allerdings nur eingeschränkt, d.h. für zwei spezielle Sprungverteilungsfunktionen (Plötzlicher Ruin und die Lognormalverteilung) möglich. Das Kou-Modell hingegen, hat eine geschlossene Lösung für Doppel-Exponentialverteilte Sprünge. Eine flexible Lösungsmöglichkeit zur Bestimmung eines Optionspreises ist die Verwendung des Monte-Carlo-Verfahrens für die Simulation der Kursbewegung mit zugrunde liegendem Sprung-Diffusions-Modell. In diesem Fall ist das Monte-Carlo-Verfahren zur Ermittlung des Optionspreises nur einmal anzuwenden. Dieses Verfahren konvergiert mit einer Konvergenzrate von 1/2.
Wie alle anderen Modelle, die auf Lévy Prozessen basieren, lässt das Kou-Modell eine empirische Beobachtung vermissen, nämlich die mögliche Abhängigkeit zwischen Renditen der Underlyings (der sogenannte "volatility clustering affect"), weil das Modell unabhängige Inkremente unterstellt. Eine Möglichkeit die Abhängigkeit mit einzubeziehen, wäre die Nutzung anderer Punktprozesse Ñ(t) mit abhängigen Inkrementen anstelle des Poisson-Prozesses N(t). Es muss natürlich die Unabhängikeit zwischen der Brownschen Bewegung, den Sprunghöhen und ~N(t) beibehalten werden. Das so modifizierte Modell hat keine unabhängigen Inkremente mehr, ist aber einfach die geschlossene Lösungsformel für Call- und Put-Optionen zu erhalten. Andererseits scheint es schwer analytische Lösungen für Pfadabhängige Optionen durch Nutzung von Ñ(t) anstelle von N(t) zu erhalten.
Wie können Optionen bewertet werden, zu denen keine geschlossenen Lösungen existieren? Die Antwort lautet: Numerische Verfahren. In Hinblick auf diese Frage wurden in der Vergangenheit meist Baumverfahren, Finite-Differenzen- oder Monte-Carlo-Methoden herangezogen. Im Gegensatz dazu behandelt diese Bachelorarbeit den Einsatz von Quadraturverfahren (QUAD) bei der Bewertung von exotischen Optionen, also Optionen, die kompliziertere Auszahlungsstrukturen besitzen wie einfache Standard-Optionen. Die Grundidee besteht darin, den Optionswert als mehrdimensionales Integral in eindimensionale Integrale zu zerlegen, die daraufhin durch Quadraturformeln approximiert werden...Die Genauigkeit des Verfahrens wird erhöht, indem die Schrittweite der Quadraturformel h verkleinert wird. Dies hat allerdings zur Folge, dass sich der Rechenaufwand erhöht. QUAD jedoch schafft es, durch Reduzierung der Dimension und Ausnutzung der herausragenden Konvergenzeigenschaften von Quadraturformeln eine hohe Genauigkeit bei gleichzeitig geringen Rechenkosten zu erreichen.
Die Methode ist allgemein anwendbar und zeigt insbesondere beim Preisen von pfadabhängigen Optionen mit diskreten Zeitpunkten ihre Stärken. Als Anwendungsbeispiele betrachten wir deshalb folgende Optionstypen: Digitale-, Barrier-, Zusammengesetzte-, Bermuda- und Lookback Optionen. Ferner existieren entsprechende Verfahren für Asiatische- oder Amerikanische Optionen, für die jedoch mehr Vorarbeit notwendig ist.
Der große Vorteil von QUAD gegenüber anderen numerischen Verfahren liegt in der Vermeidung eines (bedeutsamen) Verteilungsfehlers und in der Tatsache, dass keine Bedingungen an die Auszahlungsfunktion gestellt werden müssen. Baum- oder Finite-Differenzen-Verfahren reduzieren zwar durch Gitterverfeinerung den Verteilungsfehler, allerdings geht dies Hand in Hand mit deutlich höheren Rechenzeiten. Zum Beispiel benötigt ein Baumverfahren für die doppelte Exaktheit einen vierfachen Rechenaufwand, während die QUAD Methode bei einem vierfachen Rechenaufwand die Exaktheit mit Faktor 16 erhöht (bei Extrapolation steigt dieser Faktor bis 256).
QUAD kann als "der perfekte Baum" angesehen werden, da es ähnlich zu Multinomialbäumen auf Rückwärtsverfahren zurückgreift, andererseits aber die hohe Flexibilität besitzt, Knoten frei und in großer Anzahl zu wählen. Des Weiteren gehen nur die den Optionspreis bestimmenden Zeitpunkte in die Bewertung mit ein, sodass auf zwischenzeitliche Zeitschritte gänzlich verzichtet werden kann.
Die eigentliche Arbeit gliedert sich in sechs Abschnitte. Zunächst erfolgt eine Einführung in allgemeine Quadraturverfahren, exotische Optionen und das Black-Scholes-Modell, was im Anschluss den Übergang zum Lösungsansatz liefert. Dieser Abschnitt schließt mit einer geschlossenen Integrallösung für Optionen, die der Black-Scholes-Differentialgleichung folgen, ab. In Abschnitt 4 wird die genaue Untersuchung der QUAD Methode vorgenommen. Unter Verwendung des in Abschnitt 5 vorgestellten Algorithmus wird anschließend in Abschnitt 6 die QUAD Methode auf die zuvor genannten Optionsklassen angewandt. Die entsprechenden Resultate werden am Ende dieses Teils in Tabellen und Graphiken präsentiert. Den Abschluss bildet das Fazit und die Zusammenfassung der Ergebnisse.