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"Wellenformen" : die Leistung mathematischer Modellbildung für Akustik, Physiologie und Musiktheorie
(2016)
Im Jahr 1857 hält Hermann von Helmholtz einen Vortrag 'Ueber die physiologischen Ursachen der musikalischen Harmonien', in dem er erstmals Ergebnisse seiner akustischen und hörphysiologischen Forschungen einer akademischen Öffentlichkeit vorstellt. Dabei bilden die Untersuchungen und Experimente, die Helmholtz im Rahmen seiner Tätigkeit als Professor für Anatomie und Physiologie an der Universität Bonn durchgeführt hat, Grundlage und Ausgangspunkt einer umfassenden Neukonstitution von Wissenszusammenhängen, in deren Zuge ältere Wissensbestände arrondiert, im Lichte neuer Erkenntnisse bewertet, erweitert, neu gefasst und in ausgearbeiteter Form sechs Jahre später unter dem Titel 'Die Lehre von den Tonempfindungen' veröffentlicht werden. In den einleitenden Worten seines Vortrages aus dem Jahr 1857 verweist Helmholtz in diesem Kontext auf einen Aspekt, der ihm offenkundig von großer Signifikanz zu sein scheint:
"Es hat mich immer als ein wunderbares und besonders interessantes Geheimnis angezogen, dass gerade in der Lehre von den Tönen, in den physikalischen und technischen Fundamenten der Musik, die unter allen Künsten in ihrer Wirkung auf das Gemüth als die stoffloseste, flüchtigste und zarteste Urheberin unberechenbarer und unbeschreiblicher Stimmungen erscheint, die Wissenschaft des reinsten und consequentesten Denkens, die Mathematik, sich so fruchtbar erwies."
Bemerkenswert an dieser Aussage ist nicht, dass Musik und Mathematik in eine enge Beziehung zueinander gesetzt werden - hier kann Helmholtz auf eine über zweitausendjährige Tradition der wechselseitigen Elaboration beider Bereiche verweisen -, sondern dass Darlegungen, die auf die systematische Durchdringung der Zusammenhänge zwischen akustischen, physiologischen, psychischen, musiktheoretischen und ästhetischen Phänomenbereichen zielen, ihren Ausgangspunkt in der Mathematik nehmen. Diesen Leistungen, die mathematisches Denken für die Untersuchung und Explikation dieser Zusammenhänge erbringt, möchte der folgende Beitrag nachgehen. Es wird sich zeigen, dass eine spezifische mathematische Operation für das Verständnis von akustischen und physiologischen Prozessen modellbildend wirkt und über verschiedene Applikationswege hinweg neue Impulse der Systematisierung von Wissensbeständen setzt.
Im Folgenden werden einige Facetten dieses weiten Feldes [der Synästhesie] herausgegriffen, nämlich das der Farblichtmusik und der Verbindung von Ton und Bild zwischen 1920 und 1930 mittels apparativer Verschaltungen. Hierzu werden zwei technische Anordnungen gegenübergestellt, die eine Ton-Bild-Wandlung auf eine Weise vornahmen, die radikaler als die damals weit verbreiteten Lichtorgeln vorging, indem sie nicht nur metaphorisch mit der gleichschwingenden Kraft von Tönen und Bildern agierten, sondern diese zum Gegenstand medientechnischer Anordnungen machten. Die eine dieser Apparaturen wurde im Kontext der Kunst entwickelt und stammt von Raoul Hausmann, während die andere von dem Fernmeldetechniker Fritz Winckel realisiert wurde. Indem Hausmann und Winckel die Zuordnung von Tönen und Bildern nicht assoziativ realisierten wie die meisten Lichtorgeln dieser Zeit, sondern die Ton- und Bildquellen mit analoger Technik direkt verschalteten, riefen sie umso mehr den Vergleich mit der durch Menschen wahrgenommenen Synästhesie auf, weshalb zu Beginn auf diese etwas breiter eingegangen werden muss. Hier ist zu fragen, was geschieht, wenn Synästhesie zu einem künstlerischen Konzept wird und welche Rhetoriken von Kunstschaffen in den 1920er Jahren daran gebunden waren. Es soll deutlich werden, dass die vom Menschen wahrgenommene Synästhesie in ihrer körperlichen Grundlage sowie in ihrem ästhetischen Empfinden nicht mehr als eine Metapher für ihr medientechnisches Pendant sein konnte. Synästhetische Wahrnehmung und verschaltete Medien bringen jeweils ihre eigenen ästhetischen Reiche hervor. Andererseits boten die unscharfen und vielschichtigen Konzepte der Synästhesie zahlreiche Anregungen für Künstler, schufen Raum für eine Synthese der Künste und waren der Anstoß für neue künstlerische Ausdrucksformen mittels Medientechnik und damit eine frühe Form der Medienkunst.
Helmholtz, Mach, Schönberg. Zwei Wissenschaftler und ein Künstler, die ein neues Konzept zur Strukturierung akustischen Materials umkreisen. Sie finden mit der musikalischen Notation und der physikalischen Abbildung eine doppelte Sichtbarkeit des Hörbaren vor. Eine Sichtbarkeit, die sich dem künstlerischen und wissenschaftlichen Gebrauch organischer und mechanischer Instrumente verdankt. Zwei Wissensordnungen, zwei Objektklassen. Einmal Musiktheorie, die das akustische Material nach Zahlverwandtschaften ordnet, dann Naturwissenschaft, die es mathematisiert. Einmal die organischen Handlungspaare Auge/Hand und Ohr/ Stimme für Sichtbares und Hörbares, und dann die damit verbundenen mechanischen Instrumente der Klangaufzeichnung und Klangerzeugung. Die Ordnungen vermischen sich nicht, aber ihre Verflechtungen führen zu einer Verschiebung der symbolischen Konfiguration, und aus den Tonempfindungen, die bisher natürlichen Klangeigenschaften zugeschrieben worden waren, lassen sich nun bearbeitbare Reihen punktueller Elementarempfindungen bilden. Pierre Boulez wird diese Bewegung begrüßen: "man kann sehr wohl sagen, daß die Ära Rameaus mit ihren 'natürlichen' Prinzipien endgültig außer Kurs gesetzt ist; darum müssen wir aber noch lange nicht aufhören, uns die anschaulichen Modelle [...] zu suchen und auszudenken." Sein anschauliches Modell ist der Gegensatz von Kerbung und Glättung. Kerbung verstanden als jene Strukturierung des Akustischen, die sich durch den Punkt charakterisieren lässt, Glättung als die Aufhebung dieser vorgegebenen Kerbung mit Hilfe neuer Techniken. Gilles Deleuze und Félix Guattari übernehmen diese Unterscheidung und führen sie in ihren 'Tausend Plateaus' als technische, künstlerische und wissenschaftliche durch. Beispielhaft setzen sie das Gewebe gegen den Filz, die aus Längs- und Querfäden gebildeten Rasterpunkte gegen die gleichmäßige Verdichtung zufällig angeordneter, unverbundener Einzelfäden. Am Ende seiner 'Lehre von den Tonempfindungen' findet auch Hermann von Helmholtz für die musikalische Strukturierung des akustischen Materials einen solchen handwerklichen Vergleich. "Ja dadurch, dass die Musik den stufenweisen Fortschritt im Rhythmus und in der Tonleiter einführt, macht sie sich eine auch nur angenäherte Naturnachahmung geradezu unmöglich, denn die meisten leidenschaftlichen Affektionen der Stimme charakterisiren sich gerade durch schleifende Uebergange der Tonhohe. Die Naturnachahmung in der Musik ist dadurch in derselben Weise unvollkommen geworden, wie die Nachahmung eines Gemäldes durch eine Straminstickerei in abgesetzten Quadraten und abgesetzten Farbtönen." Dieser stufenweise Fortschritt gegen die Natur verdankt sich dem Zusammenspiel von Stimme und Instrument, das sichtbare Stufen in das hörbare Kontinuum melodischer Bewegungen kerbt. Eine Kerbung, welche die Grundlage eines musiktheoretischen Systems bildet, das bis zu seiner Revolutionierung Anfang des 20. Jahrhunderts seine Gültigkeit hat. Eine Kerbung, die sich der Verbindung und wechselseitigen Nachahmung des organischen Instruments Stimme mit den Musikinstrumenten verdankt. Eine Kerbung, die beständig vollzogen werden muss, und zwar gleichermaßen durch die Übung der inneren Klangvorstellung (dem eigentlichen Hören der gewählten Parameter) und der äußeren Klangverschriftung (der Kontrolle durch das Sichtbare). Alle Tonzeichen innerhalb dieses gekerbten Klangraumes haben ihre Gültigkeit nur in Bezug auf das zugrunde liegende Tonsystem. Der folgende Text wird versuchen einige Motive des Umsturzes dieses Systems zu verfolgen, die zeitgleich in Naturwissenschaft und Musiktheorie zu finden sind.
Die Dissertation betrachtet zunächst die Anatomie der Lautentstehung und die Historie von Untersuchungen zu Sprechtraktakustik (u.a. Ibn Sina, Hook, Mical, Kratzenstein, Kempelen, Faber, Wheatstone, Helmholz, Riesz, Dunn, Chiba, Kajiyama, Kelly, Lochbaum, Saito, Itakura, Burg ) und geht insbesondere auf das Rohrmodell zu Beschreibung der Vokaltraktakustik ein.
Mittels Finiter-Differenzen wird die Aksutik der Sprechens dann dreidimensional beschrieben, und die zuätzlich auftretenden Effekte betrachtet. Fur die sich beim Sprechen schnell bewegende Mundhöhle wird ein Verfahren entwickelt und untersucht, mittels Sprachsignalen durch inverse Filterung und MRT-Aufnahmen die räumliche Konfiguration zu bestimmen. Für den Nasaltrakt wurden dreidimensional abbildende Verfahren aus der medizinischen Diagnostik verglichen (MRT und CT), und anhand eines Computer-Tomographischen Datensatzes die akustischen Vorgänge dreidimensional bestimmt.
Veränderungen in der akustischen Umwelt sind häufig mit Ereignissen verbunden. Diese wiederum können für ein Tier eine besondere Verhaltensrelevanz haben, im Gegensatz zu einem gleichbleibenden akustischen Hintergrund, der mit keinem positiven oder negativen Ereignis verbunden ist. Es ist also naheliegend zu spekulieren, dass Veränderungen oder neue akustische Reize im zentralen Nervensystem anders repräsentiert werden als der kontinuierliche Hintergrund und dass diese Repräsentation sowohl von der Häufigkeit der Stimuli als auch vom Unterschied zum akustischen Hintergrund abhängt. In Elektroenzaphalografie-Messungen (EEG) am Menschen wurde eine besondere Aktivitätsänderung bei auditorischen Abweichungen erstmals 1978 nachgewiesen. Dabei wurde ein akustischer Reiz über einen längeren Zeitraum regelmäßig wiederholt (Standard) und in einigen, seltenen Fällen durch einen anderen Reiz (Deviant) ersetzt. Dieser Deviant löste eine zusätzliche negative Komponente im EEG aus (Mismatch negativity), die bei den Standard-Stimuli nicht vorhanden war. Eine Voraussetzung, um MMN auszulösen, ist die Präsentation von einigen Standard-Stimuli, sodass eine neuronale Repräsentation des Stimulus aufgebaut werden kann, gegen die jeder weitere Reiz abgeglichen wird. Die zelluläre Basis von MMN und des zugrunde liegenden Mechanismus zur Detektion von auditorischen Veränderungen ist nur wenig erforscht. Als möglicher zellulärer Detektionsmechanismus akustischer Veränderungen wurde die Stimulus-spezifische Adaptation (SSA) vorgeschlagen, die zugleich der Ursprung von MMN im primären auditorischen Kortex sein könnte. SSA beschreibt die Eigenschaft von Neuronen der Hörbahn, auf die Wiederholung von identischen Reizen mit abnehmender Aktivität zu antworten und zugleich die Fähigkeit beizubehalten, andere Stimuli weiterhin mit hoher Aktivität zu repräsentieren. Die veränderte neuronale Repräsentation von Tönen mit niedriger Auftrittswahrscheinlichkeit, im Vergleich zu Tönen mit hoher Auftrittswahrscheinlichkeit, wurde bereits sehr eindrücklich im auditorischen Kortex der anästhesierten Katzen demonstriert. Die vorliegende Arbeit hat es sich zum Ziel gesetzt, bei der Repräsentation von auditorischen Abweichungen die Lücke zwischen der Ebene aufsummierter Potenziale (EEG beim Menschen) und der Ebene einzelner kortikaler Neurone zu schließen. Gleichzeitig sollte dabei erstmalig SSA im auditorischen Kortex des wachen Tieres nachgewiesen und so eine pharmakologische Interaktion der normalerweise eingesetzten Anästhetika mit SSA ausgeschlossen werden. Der experimentelle Ansatz basierte auf elektrophysiologischen Messungen mit chronisch implantierten Mikroelektroden im wachen Tier. Die Elektroden waren im auditorischen Kortex positioniert und ermöglichten eine gleichzeitige Messung der lokalen aufsummierten Potenziale (lokale Feldpotenziale, LFP) und der Aktionspotenziale einzelner Neurone als extrazelluläre Potenzialveränderungen. Das Stimulationsparadigma bestand aus Folgen zweier Reintöne, die mit unterschiedlicher Auftrittwahrscheinlichkeit präsentiert wurden. Der Ton mit hoher Auftrittwahrscheinlichkeit bildete den akustischen Hintergrund, der Ton mit niedriger Auftrittswahrscheinlichkeit (Deviant) die akustische Abweichung. In dieser Arbeit konnte erstmalig nachgewiesen werden, dass Neurone im auditorischen Kortex der wachen Ratte akustische Abweichungen mit einer höheren Aktivität repräsentieren als den auditorischen Hintergrund (bis zu 19,5% Aktivitätsunterschied). Stimulusspezifische Adaptation ist somit auch im wachen Tier Teil der neuronalen Codierung der akustischen Umwelt. Mithilfe der Signalentdeckungstheorie konnte des Weiteren gezeigt werden, dass die unterschiedliche neuronale Repräsentation von häufigen und seltenen Stimuli auch zu einer erhöhten neuronalen Unterscheidbarkeit zwischen beiden Stimuli führte. Auf der Ebene der ereigniskorrelierten LFPs konnte SSA in zwei Komponenten nachgewiesen werden: der ersten, negativen Auslenkung und der folgenden, positiven Auslenkung. Besonders in der ersten, negativen Komponente war SSA systematisch nachzuweisen und sie war zusätzlich starkmit der Aktivität der einzelnen Neuronen korreliert, während die positive Komponente der LFPs keine Korrelation mit den Messungen der einzelnen Nervenzellen zeigte. Der Grad der SSA hing von der Auftrittwahrscheinlichkeit und dem Frequenzabstand der beiden Töne ab. Keine der Messungen hatte die besondere Charakteristik von MMN. Zusammenfassend lässt sich die Aussage treffen, dass SSA auch im wachen Tier nachgewiesen wurde, sowohl auf der Ebene einzelner Neurone als auch in der aufsummierten Aktivität, wenn auch in einer schwächeren Ausprägung als in den bisher veröffentlichten Ergebnissen in anästhesierten Tieren. Ein direkter Beitrag der kortikalen Neurone zu MMN konnte nicht gezeigt werden, es gab aber einen starken Zusammenhang zwischen den einzelnen Neuronen und den LFPs.
Breitbandige Beamforming-Algorithmen zur Erfassung von Audiosignalen mit kompakten Mikrofon-Arrays
(2009)
Mikrofon-Arrays erlauben die selektive Erfassung und Trennung von Audiosignalen aus einer akustischen Umgebung. Typische Anwendungen sind z.B. die Ortung einzelner Schallquellen, die räumliche Kartierung eines Schallfeldes ("akustische Kamera") oder der gerichtete Empfang einer bestimmten Schallquelle bei gleichzeitiger Unterdrückung von Umgebungs- oder Störschallen. Vielkanalige Verfahren und Filter, die sich dieser Aufgabe widmen, werden als Beamforming bzw. Beamformer bezeichnet. In dieser Dissertation werden bekannte und eigene Beamforming-Ansätze im Hinblick auf ihre Eignung für die hochwertige Übertragung von Audiosignalen untersucht. Diese erfordert neben einer möglichst großen Abdeckung des relevanten Frequenzbereichs (Breitbandigkeit) auch die Frequenzunabhängigkeit der Richtcharakteristik, um spektrale Verzerrungen zu vermeiden. Es wird ein Algorithmus vorgestellt, der diese Anforderungen mit sehr kompakten Arrays erfüllt. Eine klassische Möglichkeit, eine frequenzinvariante Charakteristik (Beampattern) mithilfe eines Delay-and-Sum-Beamformers zu erhalten, ist eine frequenzabhängige Gewichtung der Mikrofone, welche die effektive Apertur des Arrays proportional zur Schallwellenlänge einstellt. Diese Methode funktioniert jedoch nur bei Wellenlängen, die kleiner sind als die Ausdehnung des Arrays, und erfordert bei Frequenzen unter 100Hz Arrays von mehreren Metern Größe. Ein gänzlich anderes Verhalten zeigen differentielle Mikrofonarrays, welche Differenzen aus Signalen benachbarter Mikrofone bilden: In Kombination mit Integratorfiltern erzeugen sie Beampattern, die auch bei sehr kleinen Frequenzen, d.h. bei Wellenlängen, die groß gegen das Array sind, unverändert bleiben (sog. Superdirektivität). Aus diesem Prinzip wurde in dieser Arbeit das Konzept des Multipol-Beamformers entwickelt, der ein gegebenes Soll-Beampattern durch eine Reihenentwicklung nach Sinus- und Kosinusfunktionen (zweidimensionaler Fall) oder Kugelflächenfunktionen (dreidimensionaler Fall) approximiert. Der Multipol-Beamformer erzielt eine hervorragende Richtwirkung bei kleinen Frequenzen, ist jedoch nur über einen sehr begrenzten Bereich frequenzinvariant und erweist sich insbesondere in drei Raumdimensionen als analytisch aufwändig. Flexibler und in zwei wie in drei Raumdimensionen gleichermaßen einfach in der Formulierung ist demgegenüber das in der Literatur zu findende Verfahren des modalen Subraum-Beamformings (Modal Subspace Decomposition, MSD). Dieser Ansatz bestimmt zu einer beliebigen Sensorgeometrie einen Satz orthogonaler Eigen-Beampattern, die dann zu einer Reihenentwicklung des Soll-Beampatterns herangezogen werden. Ähnlich dem erwähnten Delay-and-Sum-Beamformer jedoch erfordert auch dieser Ansatz bei großen Wellenlängen entsprechend groß dimensionierte Arrays und ist nicht superdirektiv. In dieser Arbeit wurde deshalb eine eigene, neue Ausprägung des MSD-Algorithmus formuliert, welche die Superdirektivität des Multipol-Beamformers mit der Flexibilität und Einfachheit des MSD-Verfahrens vereint. Diese als "superdirektives MSD-Beamforming" bezeichnete Methode besitzt - wie das bereits bekannte MSD-Verfahren auch - die interessante Eigenschaft, daß die Eigen-Beampattern für ein frei zu wählendes Entwurfs-Frequenzband berechnet werden, so daß das Verhalten des Beamformers über ein ganzes Frequenzintervall kontrolliert werden kann. Dies eröffnet auch die Möglichkeit eines sehr breitbandigen Beamformings durch Kombination mehrerer Beamformer, die individuell auf benachbarte Frequenzbänder abgestimmt werden. Mit beispielsweise einem hexagonalen Array von nur 6cm Durchmesser und sieben Mikrofonen erreicht der superdirektive Ansatz so ca. 20-30dB Störabstand über einen Frequenzbereich von 100Hz bis 6kHz, was für Sprache eine sehr hohe Übertragungsqualität darstellt. Zur experimentellen Verifikation der untersuchten Algorithmen wurde im Rahmen dieser Arbeit eine vielkanalige Echtzeit-Signalverarbeitungsumgebung unter Windows XP erstellt, welche die Erfassung, Verarbeitung, Analyse und Ausgabe vielkanaliger Audio-Daten erlaubt. Auch eine Simulation idealer Freifeldmessungen an Mikrofonarrays ist damit möglich, indem die Ausbreitung des Schalls von der Schallquelle zu den Mikrofonen durch zeitdiskrete Fractional-Delay-Filter simuliert wird. Dieser Filtertypus wurden im Rahmen dieser Arbeit ebenfalls eingehend untersucht: Für zwei aus der Literatur bekannte Entwurfsverfahren wurden Erweiterungen gefunden, die bei gleicher Filterordnung eine höhere nutzbare Bandbreite erzielen. Für Messungen an realen Arrays wurde die Akustik-Messkammer des Instituts durch zusätzliche Dämmauskleidung für Freifeld-Messungen nutzbar gemacht. Die Messergebnisse belegen, daß die untersuchten Algorithmen in der Praxis erwartungsgemäß funktionieren und daß der gefundene superdirektive MSD-Algorithmus mit sehr kompakten Arrays eine gute breitbandige Erfassung und Trennung von Audiosignalen ermöglicht.