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In der folgenden Arbeit werden Eigenschaften von Verzweigungsprozessen in zufälliger Umgebung (engl. branching processes in random environment, kurz BPREs) untersucht. Das Modell geht auf Smith (1969) und Athreya (1971) zurück. Ein BPRE ist ein einfaches mathematisches Modell für die Entwicklung einer Population von apomiktischen (d.h. sich ungeschlechtlich fortpflanzenden) Individuen in diskreter Zeit, wobei die Umgebungsbedingungen einen Einfluß auf den Fortpflanzungserfolg der Individuen haben. Dabei wird angenommen, dass die Umgebungsbedingungen in den einzelnen Generationen zufällig sind, und zwar unabhängig und identisch verteilt von Generation zu Generation. Man denke z.B. an eine Population von Pflanzen mit einem einjährigen Zyklus, die in jedem Jahr anderen Witterungsbedingungen ausgesetzt sind, wobei angenommen wird, dass diese sich unabhängig und identisch verteilt ändern. In Kapitel 1 wird eines der wichtigsten Hilfsmittel zur Beschreibung von BPREs, die sogenannte zugehörige Irrfahrt, eingeführt und die Klassifizierung von BPREs beschrieben. In Kapitel 2 werden bekannte Resultate, insbesondere zu kritischen, schwach subkritischen und stark subkritischen Verzweigungsprozessen, wiederholt. In Kapitel 3 wird der sogenannte intermediär subkritische Fall behandelt. Mithilfe von funktionalen Grenzwertsätzen für bedingte Irrfahrten wird die genaue Asymptotik der Überlebenswahrscheinlichkeit des Prozesses, die bereits in Vatutin (2004) bewiesen wurde, unter etwas allgemeineren Voraussetzungen gezeigt. Anschließend wird untersucht, wie häufig der Prozess, bedingt auf Überleben, nur noch aus einem Individuum besteht. Im letzten Teil des Kapitels wird ein funktionaler Grenzwertsatz für die zugehörige Irrfahrt, bedingt aufs Überleben des Prozesses, gezeigt. Diese konvergiert, richtig skaliert, gegen einen Levy-Prozess, der darauf bedingt ist, sein Minimum am Ende anzunehmen. In Kapitel 4 werden große Abweichungen von BPREs untersucht. Die Ratenfunktion des BPRE wird sowohl für den Fall mindestens geometrisch schnell abfallender Tails, als auch für den Fall von Nachkommenverteilungen mit schweren Tails bestimmt. Wie sich herausstellt, hängt die Ratenfunktion von der Ratenfunktion der zugehörigen Irrfahrt, der exponentiellen Abfallrate der Überlebenswahrscheinlichkeit sowie, bei Nachkommenverteilungen mit schweren Tails, auch von den Tails derselben ab. In der Ratenfunktion spiegeln sich die wahrscheinlichsten Wege, um Ereignisse der großen Abweichungen zu realisieren, wider, was in Kapitel 4.3 beschrieben wird. In Kapitel 4.4 wird im speziellen Fall von Nachkommenverteilungen mit gebrochen-linearer Erzeugendenfunktion die Ratenfunktion für Ereignisse bestimmt, bei denen ein superkritischer BPRE überlebt, aber klein im Vergleich zum Erwartungswert bleibt. In Kapitel 4.5 werden die großen Abweichungen, bedingt auf die Umgebung untersucht (engl. quenched). In diesem Fall können unwahrscheinliche Ereignisse nur über den Verzweigungsmechanismus und nicht mehr über eine außergewöhnliche Umgebung realisiert werden. Zum Abschluss der Dissertation werden Verzweigungsprozesse in zufälliger Umgebung, bedingt auf Überle-ben, simuliert. Dazu wird eine Konstruktion nach Geiger (1999) angewendet. Diese erlaubt es, Galton-Watson Bäume in variierender Umgebung, bedingt auf Überleben, entlang einer Ahnenlinie zu konstruieren. Der Fall geometrischer Nachkommenverteilungen, auf den wir uns in Kapitel 5 beschränken, erlaubt die explizite Berechnung der benötigten Verteilungen. Als Anwendung des Grenzwertsatzes aus Kapitel 3.1 können nun intermediär subkritische Verzweigungsprozesse, bedingt auf Überleben, wie folgt simuliert werden: Zunächst wird die Umgebung zufällig bestimmt, und zwar als Irrfahrt, bedingt darauf ihr Minimum am Ende anzunehmen. Anschließend wird, der Geiger-Konstruktion folgend, ein Verzweigungsprozess in dieser Umgebung, bedingt auf Überleben, simuliert. Zum Abschluss wird in einem kurzen Ausblick auf aktuelle Forschung verwiesen. Im Anhang befinden sich einige technische Resultate.
The purpose of the present paper is to explain the fake projective plane constructed by J. H. Keum from the point of view of arithmetic ball quotients. Beside the ball quotient associated with the fake projective plane, we also analize two further naturally related ball quotients whose minimal desingularizations lead to two elliptic surfaces, one already considered by J. H. Keum as well as the one constructed by M. N. Ishida in terms of p-adic uniformization.
2000 Mathematics Subject Classification: 11F23,14J25,14J27
Dynamical systems driven by Gaussian noises have been considered extensively in modeling, simulation, and theory. However, complex systems in engineering and science are often subject to non-Gaussian fluctuations or uncertainties. A coupled dynamical system under a class of Lévy noises is considered. After discussing cocycle property, stationary orbits, and random attractors, a synchronization phenomenon is shown to occur, when the drift terms of the coupled system satisfy certain dissipativity and integrability conditions. The synchronization result implies that coupled dynamical systems share a dynamical feature in some asymptotic sense.
Dessins d'enfants (children's drawings) may be defined as hypermaps, i.e. as bipartite graphs embedded in compact Riemann surfaces. They are very important objects in order to describe the surface of the embedding as an algebraic curve. Knowing the combinatorial properties of the dessin may, in fact, help us determining defining equations or the field of definition of the surface. This task is easier if the automorphism group of the dessin is "large". In this thesis we consider a special type of dessins, so-called Wada dessins, for which the underlying graph illustrates the incidence structure of points and of hyperplanes of projective spaces. We determine under which conditions they have a large orientation-preserving automorphism group. We show that applying algebraic operations called "mock" Wilson operations to the underlying graph we may obtain new dessins. We study the automorphism group of the new dessins and we show that the dessins we started with are coverings of the new ones.
Neuronal activity in the brain is often investigated in the presence of stimuli, termed externally driven activity. This stimulus-response-perspective has long been focussed on in order to find out how the nervous system responds to different stimuli. The neuronal response consists of baseline activity, so called spontaneous activity1, and activity which is caused by the stimulus. The baseline activity is often considered as constant over time which allows the identification of the stimulus-evoked part of the neuronal response by averaging over a set of trials.
However, during the last years it has been recognized that own dynamics of the nervous system plays an important role in information processing. As a consequence, spontaneous activity is no longer regarded only as background ’noise’ and its role in cortical processing is reconsidered. Therefore, the study of spontaneous firing pattern gains more importance as these patterns may shape neuronal responses to a larger extent as previously thought. For example, recent findings suggest that prestimulus activity can predict a person’s visual perception performance on a single trial basis (Hanslmayr et al., 2007). In this context, Ringach (2009) remarks that one can learn much about even the quiescent state of the brain which “underlies the importance of understanding cortical responses as the fusion of ongoing activity and sensory input”.
Taking into account that spontaneous activity reflects anything else but noise, new challenges arise when analysing neuronal data. In this thesis one of these problems related to the analysis of neuronal activity will be adressed, namely the nonstationarity of firing rates.
The present work consists of four chapters. First of all the introduction gives neurophysiological background information to get an idea of neuronal information processing. Afterwords the theory of point processes is provided which forms the basis for modeling neuronal spiking data. In the last section of the introduction a statement of the problem is given. Chapter 2 proposes an easily applicable statistical method for the detection of nonstationarity. It is applied to simulations and to real data in order to show its capabilities. Thereafter, four other approaches are presented which provide useful illustrations concerning the nonstationarity of the firing rate but share the problem that one cannot make objective statements on the basis of their results. They were developed in the course of establishing a suitable method. In chapter 4 the results are discussed and suggestions for further study are given.
The Benchmark Dose (BMD) approach, which was suggested firstly in 1984 by K. Crump [CRUMP (1984)], is a widely used instrument in risk assessment of substances in the environment and in food. In this context, the BMD approach determines a reference point (RfP) on the statistically estimated dose-response curve, for which the risk can be determined with adequate certainty and confidence. In the next step of risk characterization a threshold is calculated, based on this RfP and toxicological considerations. The BMD approach bases upon the fit of a dose-response model on the data. For this fit a stochastic distribution of the response endpoint is taken as a basis. Ultimately, the BMD reflects the dose for which a pre-specified increase in an adverse health effect (the benchmark response) can be expected. Until now, the BMD approach has been specified only for quantal and continuous endpoints. But in risk assessment of carcinogens especially so called time-to-event data are of high interest since they contain more information on the tumor development than quantal incidence data. The goal of this diploma thesis was to extend the BMD approach to such time-to-event data.
We presented a proof for the classical stable limit laws under use of contraction method in combination with the Zolotarev metric. Furthermore, a stable limit law was proved for scaled sums of growing into sequences. This limit law was alternatively formulated for sequences of random variables defined by a simple degenerate recursion.
Condensing phenomena for systems biology, ecology and sociology present in real life different complex behaviors. Based on local interaction between agents, we present another result of the Energy-based model presented by [20]. We involve an additional condition providing the total condensing (also called consensus) of a discrete positive measure. Key words: Condensing; consensus; random move; self-organizing groups; collective intelligence; stochastic modeling. AMS Subject Classifications: 81T80; 93A30; 37M05; 68U20