Mathematik
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We study empirically and analytically growth and fluctuation of firm size distribution. An empirical analysis is carried out on a US data set on firm size, with emphasis on one-time distribution as well as growth-rate probability distribution. Both Pareto's law and Gibrat's law are often used to study firm size distribution. Their theoretical relationship is discussed, and it is shown how they are complementable with a bimodal distribution of firm size. We introduce economic mechanisms that suggest a bimodal distribution of firm size in the long run. The mechanisms we study have been known in the economic literature since long. Yet, they have not been studied in the context of a dynamic decision problem of the firm. Allowing for these mechanism thus will give rise to heterogeneity of firms with respect to certain characteristics. We then present different types of tests on US data on firm size which indicate a bimodal distribution of firm size.
From Brownian motion with a local time drift to Feller's branching diffusion with logistic growth
(2011)
We give a new proof for a Ray-Knight representation of Feller's branching diffusion with logistic growth in terms of the local times of a reflected Brownian motion H with a drift that is affine linear in the local time accumulated by H
at its current level. In Le et al. (2011) such a representation was obtained by an approximation through Harris paths that code the genealogies of particle systems. The present proof is purely in terms of stochastic analysis, and is inspired by previous work of Norris, Rogers and Williams (1988).
Quasi-Monte-Carlo-Verfahren zur Bewertung von Finanzderivaten, BacDas Gebiet der Optionsbewertung ist durch die Entwicklungen zu neuen und immer komplexer werdenden Optionstypen und durch Verbesserungen im Bereich der Aktienkurs-Modelle geprägt. Diese Entwicklung und die gestiegene Leistungsfähigkeit der Parallelrechner haben das Interesse an den flexiblen Quasi-Monte-Carlo-Verfahren neu geweckt.
Die experimentellen Untersuchungen bestätigen die Überlegenheit des Quasi-Monte-Carlo-Verfahren gegenüber den klassische Monte-Carlo-Verfahren in Bezug auf niedrigdimensionale Optionstypen. Dieser Überlegenheit nimmt aber mit zunehmender Dimension ab, was eine Nachteil für das Quasi-Monte-Carlo Verfahren darstellt. Zur Verbesserung des Verfahrens gibt das Dimensions-Reduktions-Prinzip (effective dimension) und weitere Niederdiskrepanz-Folgen, wie Niederreiter-Folgen, Lattice-Regeln, usw. Weitere Verbesserungsmöglichkeiten könnten auch durch Wahl von anderen Diskretisierungsverfahren mit höherer starker Ordnung, wie z.B dem Milstein-Verfahren, erreicht werden. Mit dem Quasi-Monte-Carlo-Verfahren lässen sich auch komplizierte Optionen bewerten,
wie z.B. Bermuda-Optionen, Barrier-Optionen, Cap-Optionen, Shout-Optionen, Lokkback-Optionen, Multi-Asset-Optionen, Outperformance-Optionen, und auch mit weiteren Bewertungs-Modellen kombinieren, wie z.B. dem Black-Scholes-Modell mit variabler Verzinsung, Black-Scholes-Modell mit zeitabhängiger Volatilität, Heston-Modell für stochastische Volatilität, Merton-Sprung-Diffusion-Modell und dem Libor-Markt Modell für Zinsderivate, auf die ich in dieser Bachelorarbeit nicht mehr eingehen werde, mit denen ich mich jedoch in der Masterarbeit genauer beschäftigen werde.
Finanzderivate sind Produkte, die eine Möglichkeit bieten sich gegen künftige Preisschwankungen abzusichern oder auf eine zukünftige Preisentwicklung zu spekulieren. Die wichtigsten Arten von Finanzderivaten sind Optionen, Futures, Forwards und Swaps. Gegenstand vorliegender Bachelorarbeit werden ausschließlich Optionen sein. Auf den internationalen Finanzmärkten werden verschiedene Typen von Optionen gehandelt, weshalb sich die Frage des "fairen Preises" eines solchen Produktes stellt. Für viele gehandelte Optionen gibt es keine geschlossene Lösung zur Bestimmung des Preises, deshalb werden für diese numerische Verfahren zur Berechnung angewandt. Dabei muss beachtet werden, dass der Optionswert möglichst genau ist, jedoch sollte der Aufwand dabei ziemlich gering sein.
Ziel dieser Arbeit ist die Bestimmung eines numerischen Verfahrens, mit dem man europäische und amerikanische Multiasset-Optionen bewerten kann. Dieses Verfahren soll eine Erweiterung des bekannten Binomialverfahrens sein. Im Fokus steht dabei das Binomialverfahren, da es durch die Einschränkung auf zwei Entwicklungsmöglichkeiten in der Anwendung einfacher ist als das Black-Scholes-Modell. Dieses Verfahren ist nur für europäische und amerikanische Standard-Optionen definiert. Bei der Erweiterung muss beachtet werden, dass Multiasset-Optionen von mehreren Wertpapieren abhängen. In der Arbeit wird ein Produktbinomialverfahren entwickelt, das die Anzahl der Wertpapiere in der Dimension der entstehenden Bäume berücksichtigt. Dieses Verfahren konvergiert gegen das mehrdimensionale Black-Scholes-Modell und ist zu dessen graphischer Darstellung geeignet. Es wird jedoch auch gezeigt, dass dieses dem Fluch der Dimension unterliegt und somit der Aufwand für einen möglichst genauen Optionswert ziemlich hoch ist. Die Erweiterung dieses Verfahrens durch Dünne Gitter erzielt eine Optimierung der Laufzeit. Da der Fokus dieser Bachelorarbeit jedoch auf dem Produktbinomialverfahren liegt, wird im Folgenden auf diese Erweiterung nicht eingegangen.
Wie können Optionen bewertet werden, zu denen keine geschlossenen Lösungen existieren? Die Antwort lautet: Numerische Verfahren. In Hinblick auf diese Frage wurden in der Vergangenheit meist Baumverfahren, Finite-Differenzen- oder Monte-Carlo-Methoden herangezogen. Im Gegensatz dazu behandelt diese Bachelorarbeit den Einsatz von Quadraturverfahren (QUAD) bei der Bewertung von exotischen Optionen, also Optionen, die kompliziertere Auszahlungsstrukturen besitzen wie einfache Standard-Optionen. Die Grundidee besteht darin, den Optionswert als mehrdimensionales Integral in eindimensionale Integrale zu zerlegen, die daraufhin durch Quadraturformeln approximiert werden...Die Genauigkeit des Verfahrens wird erhöht, indem die Schrittweite der Quadraturformel h verkleinert wird. Dies hat allerdings zur Folge, dass sich der Rechenaufwand erhöht. QUAD jedoch schafft es, durch Reduzierung der Dimension und Ausnutzung der herausragenden Konvergenzeigenschaften von Quadraturformeln eine hohe Genauigkeit bei gleichzeitig geringen Rechenkosten zu erreichen.
Die Methode ist allgemein anwendbar und zeigt insbesondere beim Preisen von pfadabhängigen Optionen mit diskreten Zeitpunkten ihre Stärken. Als Anwendungsbeispiele betrachten wir deshalb folgende Optionstypen: Digitale-, Barrier-, Zusammengesetzte-, Bermuda- und Lookback Optionen. Ferner existieren entsprechende Verfahren für Asiatische- oder Amerikanische Optionen, für die jedoch mehr Vorarbeit notwendig ist.
Der große Vorteil von QUAD gegenüber anderen numerischen Verfahren liegt in der Vermeidung eines (bedeutsamen) Verteilungsfehlers und in der Tatsache, dass keine Bedingungen an die Auszahlungsfunktion gestellt werden müssen. Baum- oder Finite-Differenzen-Verfahren reduzieren zwar durch Gitterverfeinerung den Verteilungsfehler, allerdings geht dies Hand in Hand mit deutlich höheren Rechenzeiten. Zum Beispiel benötigt ein Baumverfahren für die doppelte Exaktheit einen vierfachen Rechenaufwand, während die QUAD Methode bei einem vierfachen Rechenaufwand die Exaktheit mit Faktor 16 erhöht (bei Extrapolation steigt dieser Faktor bis 256).
QUAD kann als "der perfekte Baum" angesehen werden, da es ähnlich zu Multinomialbäumen auf Rückwärtsverfahren zurückgreift, andererseits aber die hohe Flexibilität besitzt, Knoten frei und in großer Anzahl zu wählen. Des Weiteren gehen nur die den Optionspreis bestimmenden Zeitpunkte in die Bewertung mit ein, sodass auf zwischenzeitliche Zeitschritte gänzlich verzichtet werden kann.
Die eigentliche Arbeit gliedert sich in sechs Abschnitte. Zunächst erfolgt eine Einführung in allgemeine Quadraturverfahren, exotische Optionen und das Black-Scholes-Modell, was im Anschluss den Übergang zum Lösungsansatz liefert. Dieser Abschnitt schließt mit einer geschlossenen Integrallösung für Optionen, die der Black-Scholes-Differentialgleichung folgen, ab. In Abschnitt 4 wird die genaue Untersuchung der QUAD Methode vorgenommen. Unter Verwendung des in Abschnitt 5 vorgestellten Algorithmus wird anschließend in Abschnitt 6 die QUAD Methode auf die zuvor genannten Optionsklassen angewandt. Die entsprechenden Resultate werden am Ende dieses Teils in Tabellen und Graphiken präsentiert. Den Abschluss bildet das Fazit und die Zusammenfassung der Ergebnisse.
Sprung-Diffusions-Modelle zur Bewertung Europäischer Optionen, BacIn dieser Arbeit wurden die Europäische Optionen in den Sprung-Diffusions-Modellen von Merton und dem Modell von Kou bewertet. So stellen die geschlossenen Lösungen für das Merton-Modell als Anwendung der Black-Scholes-Formel eine einfache Möglichkeit zur Berechnung eines Optionspreises dar. Die Verwendung einer analytischen Lösung für Merton ist allerdings nur eingeschränkt, d.h. für zwei spezielle Sprungverteilungsfunktionen (Plötzlicher Ruin und die Lognormalverteilung) möglich. Das Kou-Modell hingegen, hat eine geschlossene Lösung für Doppel-Exponentialverteilte Sprünge. Eine flexible Lösungsmöglichkeit zur Bestimmung eines Optionspreises ist die Verwendung des Monte-Carlo-Verfahrens für die Simulation der Kursbewegung mit zugrunde liegendem Sprung-Diffusions-Modell. In diesem Fall ist das Monte-Carlo-Verfahren zur Ermittlung des Optionspreises nur einmal anzuwenden. Dieses Verfahren konvergiert mit einer Konvergenzrate von 1/2.
Wie alle anderen Modelle, die auf Lévy Prozessen basieren, lässt das Kou-Modell eine empirische Beobachtung vermissen, nämlich die mögliche Abhängigkeit zwischen Renditen der Underlyings (der sogenannte "volatility clustering affect"), weil das Modell unabhängige Inkremente unterstellt. Eine Möglichkeit die Abhängigkeit mit einzubeziehen, wäre die Nutzung anderer Punktprozesse Ñ(t) mit abhängigen Inkrementen anstelle des Poisson-Prozesses N(t). Es muss natürlich die Unabhängikeit zwischen der Brownschen Bewegung, den Sprunghöhen und ~N(t) beibehalten werden. Das so modifizierte Modell hat keine unabhängigen Inkremente mehr, ist aber einfach die geschlossene Lösungsformel für Call- und Put-Optionen zu erhalten. Andererseits scheint es schwer analytische Lösungen für Pfadabhängige Optionen durch Nutzung von Ñ(t) anstelle von N(t) zu erhalten.