Mathematik
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Gegenstand dieser Arbeit sind Galoisoperationen auf quasiplatonischen Riemannschen Flächen mit einer Automorphismengruppe isomorph zu PSL(2,F(q)). Quasiplatonische Riemannsche Flächen werden durch torsionsfreie Normalteiler N in einer Dreiecksgruppe D uniformisiert, d.h. N ist die universelle Überlagerungsgruppe und die Flächen, die man auch als algebraische Kurven beschreiben kann, sind isomorph zu N\U, wenn U die obere Halbebene bezeichnet. Bzgl. der Größe der Automorphismengruppen bilden die quasiplatonischen Kurven die lokalen Maxima im Modulraum. Die absoluten Maxima liegen bei den Hurwitz-Kurven; hier hat die Automorphismengruppe die maximale Größe von 84(g-1), wenn g>1 das Geschlecht der Kurve ist. Der Normalisator in PSL(2,R) der Überlagerungsgruppe N ist dann die Dreiecksgruppe mit Signatur (2,3,7). Macbeath hat die Bedingungen dafür gefunden, wann PSL(2,F(q)) eine Hurwitz-Gruppe ist. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, dass q=p eine Primzahl kongruent +-1 mod 7 ist. Hier hat man drei nicht-isomorphe Kurven, die jedoch alle galoiskonjugiert zueinander sind. In der Arbeit werden Bedingungen angegeben, unter denen sich dieses Resultat auf Dreiecksgruppen D mit einer Signatur der Form (2,m_1,m_2) verallgemeinern lässt. Dabei gehen einerseits Ergebnisse von Frye ein, der die Anzahl der verschiedenen torsionsfreien Normalteiler N<D mit Quotienten PSL(2,F(q)) über die Spurtupel der Erzeugenden von D bestimmt hat. Andererseits wird eine Methode von Streit verwendet, mit der man die Galoisoperation auf den Kurven anhand des Verhaltens der Multiplikatoren der Erzeugenden in der Automorphismengruppe nachvollziehen kann. Es zeigt sich, dass sich Spur- und Multiplikatortupel entsprechen, woraus man die Anzahl und Länge der Galois-Orbits erhält. Außerdem lässt sich der Definitionskörper der Kurven bestimmen. Offen bleibt das genaue Verhalten bei Signaturen (m_0,m_1,m_2) mit m_i ungleich 2 für alle i. Hier gibt es zu jedem Multiplikatortupel zwei verschiedene Spurtupel. Kann man die Kurven durch die Multiplikatoren beschreiben, dann erhält man Projektionen D->>PSL(2,F(q)) auch über die Quaternionenalgebra, die die Dreiecksgruppe über ihrem Spurkörper erzeugt. Die Normalteiler erweisen sich dann als Schnitt der Dreiecksgruppe mit einer Hauptkongruenzuntergruppe nach einem Primideal P|char(F(q)) in der Norm-1-Gruppe einer Ordnung der Quaternionenalgebra. Dabei ist das Spurtripel in PSL(2,F(q)) gerade das Spurtripel aus D modulo P. Ändert man P, so erhält man ein anderes Spurtripel in PSL(2,F(q)), also auch einen anderen Normalteiler. Bilden die zugehörigen Kurven eine Bahn unter der Galoisoperation, dann ergeben sich alle Normalteiler auf diese Weise. Die Galoisoperation auf den Tripeln der Multiplikatoren, also die Galoisoperation auf den Kurven, ist verträglich mit der Operation, die die Primideale P|char(F(q)) permutiert. Wir erhalten also eine natürliche Korrespondenz zwischen der Galoisoperation auf den Kurven einerseits und der Operation auf den Primidealen andererseits.
Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation wurden von F. John und L. Nirenberg in ihrer Arbeit von 1961 eingeführt. Das Konzept der beschränkten mittleren Oszillation findet erste Verwendung beim Beweis der Harnackschen Ungleichung für elliptische partielle Differentialgleichungen durch Moser. In dieser Arbeit wird die Idee der beschränkten mittleren Oszillation auf harmonische Räume (X,H) übertragen. Erstmals wurde dieses Konzept von H. Leutwiler in einem Artikel für allgemeine harmonische Räume entwickelt. Da die Mehrzahl der Ergebnisse in Leutwilers Arbeit nur für Brelotsche Räume oder sogar nur für die Laplacegleichung auf der oberen Halbebene gezeigt werden konnten, sind diese zum Beispiel nicht auf harmonische Räume anwendbar, die durch einen parabolischen Differentialoperator, wie die klassische Wärmeleitungsgleichung, erzeugt wurden. Ziel dieser Arbeit ist es nun die Theorie der harmonischen Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation für allgemeine harmonische Räume zu entwickeln und unter anderem die Leutwilerschen Resultate zu beweisen. Naturgemäß lassen sich die Beweise aus Leutwilers Arbeit im Allgemeinen nicht einfach übertragen. Vielmehr mußten zum Teil neue Beweisideen und Methoden gefunden werden. Insbesondere wird konsequent von Bezugsmaßen Gebrauch gemacht, die eine allgemeine Harnacksche Ungleichung für diesen Rahmen zur Verfügung stellen. Ausgehend von Resultaten von T. Lyons kann im zweiten Kapitel eine Charakterisierung des Raumes BMO(X) gezeigt werden, wie sie bisher nur im klassischen Fall bekannt war. Aufbauend auf eine Arbeit von Bliedtner und Loeb wird im dritten Kapitel zuerst eine abstrakte Integraldarstellung quasibeschränkter Funktionen hergeleitet, die in Theorem 3.1.9 ihren Niederschlag findet. Dieses Theorem erlaubt eine Darstellung der kleinsten harmonischen Majorante gewisser subharmonischer Funktionen in Theorem 3.1.15. Ausgehend von diesen Resultaten werden schließlich in Theorem 3.2.2 und Korollar 3.2.3 Charakterisierungen harmonischer Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation durch ihr Randverhalten erzielt, wie sie bisher nur im klassischen Fall der Laplacegleichung auf der oberen Halbebene in einer späteren Arbeit von Leutwiler gezeigt werden konnten. Im vierten Kapitel werden die harmonischen Räume (X,H) der Laplace- und Wärmeleitungsgleichung als grundlegende Beispiele betrachtet. Im fünften Kapitel wird die Vollständigkeit gewisser Teilmengen des Raumes (BMO(X)/R) untersucht. In Theorem 5.1.10 wird durch Modifikation der Norm gezeigt, daß dieser so modifizierte Raum ein Banachraum ist, allerdings zu dem Preis, daß sämtliche Funktionen in diesem Raum beschränkt sind. Aus Theorem 5.2.4 ergibt sich als Korollar 5.2.6 ein neuer Beweis der Tatsache, daß im Spezialfall Brelotscher harmonischer Räume der Raum (BMO(X)/R) ein Banachraum ist. Schließlich zeigt Theorem 5.2.12, daß gewisse Teilmengen von (BMO(X)/R) vollständig bezüglich der BMO-Norm sind, ohne daß man dabei zusätzliche Bedingungen (wie etwa Brelotscher Raum) an (X,H) stellen muß.
In dieser Arbeit wurde deutlich, dass die Multilevel Monte Carlo Methode eine signifikante Verbesserung gegenüber der Monte Carlo Methode darstellt. Sie schafft es den Rechenaufwand zu verringern und in fast allen Fällen die gewollte Genauigkeit zu erreichen. Die Erweiterung durch Richardson Extrapolation brachte immer eine Verringerung des Rechenaufwands oder zumindest keine Verschlechterung, auch wenn nicht in allen Fällen die schwache Konvergenzordnung verdoppelt wurde.
Im Falle der Optionssensitivitäten ist eine Anwendung des MLMC-Algorithmus problematisch. Das Funktional, das auf den Aktienkurs angewendet wird, darf keine Unstetigkeitsstelle besitzen, bzw. im Falle des Gammas muss es stetig differenzierbar sein. Die Anwendung der MLMC Methode macht dann vor allem Sinn, wenn sich die Sensitivität als Funktion des Aktienkurses umformen lässt, so dass nur der Pfad der Aktie simuliert werden muss. Nur wenn dies nicht möglich ist, wäre es sinnvoll, die in Kapitel 6.5 am Beispiel des Deltas vorgestellte Methode zu benutzen, in der man einen zweiten Pfad für das Delta simuliert.
Weitere Verbesserungsmöglichkeiten könnten in der Wahl von anderen varianzreduzierenden Methoden liegen oder durch Verwendung von Diskretisierungsverfahren mit höherer starker Ordnung als das Euler-Verfahren (vgl. [7], Verwendung des Milstein-Verfahrens). In diesem Fall ist theoretisch ein Rechenaufwand der Größenordnung O(ϵexp-2) möglich, da die Anzahl der zu erstellenden Samples nicht mehr mit steigendem L erhöht wird. Somit könnte das L so groß gewählt werden, dass der Bias verschwindet und der MSE ausschließlich von der Varianz des Schätzers abhängt. Um diese auf eine Größenordnung von O(ϵexp2) zu bringen, ist es nötig, O(ϵexp2) Pfade zu erstellen (siehe Gleichung (3.6)), was den Rechenaufwand begründet.
Die vorliegende Arbeit untersucht ausgewählte Eigenschaften von Preferential Attachment-Graphen. Darunter verstehen wir eine Klasse komplexer zufälliger Graphen, die mit einer vorgegebenen Konfiguration gestartet werden und anschließend mit jedem Zeitschritt um eine Ecke und m Kanten wachsen. Die Wachstumsregeln sind so gestaltet, dass eine neue Ecke ihre Kanten bevorzugt an Ecken sendet, die bereits mit vielen anderen Ecken verbunden sind, woraus sich die Bezeichnung Preferential Attachment (PA) ableitet. Die Arbeit stellt zunächst heuristisch die Eigenschaft der Skalenfreiheit von PA-Modellen vor und bespricht anschließend einen Beweis zu dieser These. Weiter betrachten wir den Durchmesser von PA-Graphen und untersuchen das Verhalten bei Anwachsen des Graphen. Wir erkennen, dass der Durchmesser bei wachsendem Graphen deutlich langsamer wächst, was wir als Small World-Phänomen bezeichnen. Die zentralen Aussagen und Beweise orientieren sich an den Arbeiten von Remco van der Hofstad, der die bekannten PA-Modelle um einen Parameter erweitert hat. Damit ist es möglich, sowohl logarithmische als auch doppelt-logarithmische Schranken für den Durchmesser zu erhalten.