Mathematik
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Im Rahmen dieser Arbeit wird der aktuelle Stand auf dem Gebiet des Lokalen Lovász Lemmas (LLL) beschrieben und ein Überblick über die Arbeiten zu konstruktiven Beweisen und Anwendungen gegeben. Ausgehend von Jószef Becks Arbeit zu einer algorithmischen Herangehensweise, haben sich in den letzten Jahren im Umfeld von Moser und Tardos und ihren Arbeiten zu einem konstruktiven Beweis des LLL eine erneute starke Beschäftigung mit dem Thema und eine Fülle von Verbesserungen entwickelt.
In Kapitel 1 wird als Motivation eine kurze Einführung in die probabilistische Methode gegeben. Mit der First- und Second Moment Method werden zwei einfache Vorgehensweisen vorgestellt, die die Grundidee dieses Beweisprinzips klar werden lassen. Von Paul Erdős eröffnet, beschreibt es Wege, Existenzbeweise in nicht-stochastischen Teilgebieten der Mathematik mithilfe stochastischer Überlegungen zu führen. Das Lokale Lemma als eine solche Überlegung entstammt dieser Idee.
In Kapitel 2 werden verschiedene Formen des LLL vorgestellt und bewiesen, außerdem wird anhand einiger Anwendungsbeispiele die Vorgehensweise bei der Verwendung des LLL veranschaulicht.
In Kapitel 3 werden algorithmische Herangehensweisen beschrieben, die geeignet sind, von der (mithilfe des LLL gezeigten) Existenz gewisser Objekte zur tatsächlichen Konstruktion derselben zu gelangen.
In Kapitel 4 wird anhand von Beispielen aus dem reichen Schatz neuerer Veröffentlichungen gezeigt, welche Bewegung nach der Arbeit von Moser und Tardos entstanden ist. Dabei beleuchtet die Arbeit nicht nur einen anwendungsorientierten Beitrag von Haeupler, Saha und Srinivasan, sondern auch einen Beitrag Terence Taos, der die Beweistechnik Mosers aus einem anderen Blickwinkel beleuchtet.
Der im Jahr 2004 am IWR Heidelberg entwickelte Neuronen Rekonstruktions-Algorithmus NeuRA extrahiert die Oberflächenmorphologie oder ein Merkmalskelett von Neuronenzellen, die mittels konfokaler oder Zwei-Photon-Mikroskopie als Bildstapel aufgenommen wurden. Hierbei wird zunächst das Signal-zu-Rausch-Verhältnis der Rohdaten durch Anwendung des speziell entwickelten trägheitsbasierten anisotropen Diffusionsfilters verbessert, dann das Bild nach der statistischen Methode von Otsu segmentiert und anschließend das Oberflächengitter der Neuronenzellen durch den Regularisierten Marching-Tetrahedra-Algorithmus rekonstruiert oder das Merkmalskelett mit einer speziellen Thinning-Methode extrahiert. In einschlägigen Vorarbeiten wurde mit Hilfe solcher Rekonstruktionen von Neuronenzellkernen gezeigt, dass diese, entgegen der vorher üblichen Meinung, nicht notwendigerweise rund sind, sondern Einstülpungen, sogenannte Invaginationen, aufweisen können. Der Einfluss der Invaginationen auf die Ausbreitung von Calciumionen innerhalb solcher Zellkerne konnte durch entsprechende numerische Simulationen systematisch untersucht werden.
Um diese Rekonstruktionsmethode auf hochaufgelöste Mikroskopaufnahmen anwenden zu können, wurden im Rahmen der vorliegenden Arbeit, die in NeuRA verwendeten Verfahren auf Basis von Nvidia CUDA auf moderner Grafikhardware parallelisiert und unter dem Namen NeuRA2 optimiert und neu implementiert. Erzielte Beschleunigungen von bis zu einem Faktor 100, bei Verwendung einer Hochleistungsgrafikkarte, zeigen, dass sich die moderne Grafikarchitektur besonders für die Parallelisierung von Bildverarbeitungsoperatoren eignet. Insbesondere das Herzstück des Rekonstruktions-Algorithmus - der sehr rechenintensive trägheitsbasierte anisotrope Diffusionsfilter - wurde durch eine clusterbasierte Implementierung, welche die parallele Verwendung beliebig vieler Grafikkarten ermöglicht, immens beschleunigt.
Darüber hinaus wurde in dieser Arbeit das Konzept von NeuRA verallgemeinert, um nicht nur Neuronenzellen aus konfokalen oder Zwei-Photon-Bildstapeln rekonstruieren zu können, sondern vielmehr die Oberflächenmorphologie oder Merkmalskelette von allgemeinen Objekten aus beliebigen Bildstapeln zu extrahieren. Dabei wird das ursprüngliche Konzept von Rauschreduktion, Bildsegmentierung und Rekonstruktion beibehalten. Für die einzelnen Schritte stehen aber nun eine Vielfalt von Bildverarbeitungs- und Rekonstruktionsmethoden zur Verfügung, die abhängig von der Beschaffenheit der Daten und den Anforderungen an die Rekonstruktion, ausgewählt werden können. Die meisten dieser Verfahren wurden ebenfalls auf Basis moderner Grafikhardware parallelisiert.
Die weiterentwickelten Rekonstruktionsverfahren wurden in mehreren Anwendungen eingesetzt: Einerseits wurden Oberflächen- und Volumengitter aus konfokalen Bildstapeln und Computertomographie-Aufnahmen generiert, die für verschiedene numerische Simulationen eingesetzt wurden oder eingesetzt werden sollen. Des Weiteren wurden über zwanzig antike Keramikgefäße und Fragmente anderer antiker Keramiken rekonstruiert. Hierbei wurde jeweils die Rohdichte und bei den komplett erhaltenen Gefäßen das Füllvolumen berechnet. Es konnte gezeigt werden, dass dieses Verfahren exakter ist als die in der Archäologie üblichen Methoden zur Volumenbestimmung von Gefäßen. Außerdem zeigt sich eine Abhängigkeit der Rohdichte der rekonstruierten Objekte vom jeweils verwendeten Keramiktyp. Eine Analyse, wie genau die Krümmung von Objekten durch die Approximation von Dreiecksgittern dargestellt werden kann, wurde ebenfalls durchgeführt.
Zusätzlich wurde ein Verfahren zur Rekonstruktion der Merkmalskelette lebender Neuronenzellen oder Teilen von Neuronenzellen entwickelt. Bei den damit rekonstruierten Daten wurden einzelne dendritische Dornfortsätze, auch Spines genannt, hochaufgelöst mikroskopiert. Auf Basis dieser Rekonstruktionen kann die Länge von Dendriten oder einzelner Spines, der Winkel zwischen Dendritenverzweigungen, sowie das Volumen einzelner Spines automatisch berechnet werden. Mit Hilfe dieser Daten kann der Einfluss pharmakologischer Präparate und mechanischer Eingriffe in das Nervensystem von lebenden Versuchstieren systematisch untersucht werden.
Eine Adaption der beschriebenen Rekonstruktionsverfahren ist aufgrund deren einfacher Erweiterbarkeit und flexibler Verwendbarkeit für zukünftige Anwendungen leicht möglich.
Die anaerobe Fermentation beschreibt den Abbau organischen Materials unter Ausschluss von Sauerstoff und setzt sich aus vier Prozessphasen (Hydrolyse, Acidogenese, Acetogenese und Methanogenese) zusammen. Im Rahmen dieser Arbeit konnte die Aufteilung dieser vier Prozessphasen auf die beiden Stufen eines zweistufigen zweiphasigen Biogas-Reaktors genau bestimmt werden. Die Aufteilung ist von entscheidender Bedeutung für zukünftige Arbeiten, da dadurch genau festgelegt werden kann, welche Stoffe bei den Messungen und bei der Modellierung berücksichtigt werden müssen.
Im Jahre 2002 wurde von der IWA Taskgroup das ADM1-Modell, welches alle vier Prozessphasen der anaeroben Fermentation berücksichtigt, veröffentlicht. In der vorliegenden Arbeit wird ein räumlich aufgelöstes Modell für die anaerobe Fermentation erarbeitet, in dem das ADM1-Modell mit einem Strömungsmodell gekoppelt wird. Anschließend wird ein reduziertes Simulationsmodell für acetoklastische Methanogenese in einem zweistufigen zweiphasigen Biogasreaktor erstellt. Anhand von Messdaten wird gezeigt, dass der Abbau von Essigsäure zu Methan innerhalb des Reaktors durch das Simulationsmodell gut wiedergegeben werden kann.
Anschließend wird das validierte Modell verwendet um Regeln für eine optimale Steuerung des Reaktors herzuleiten und weiterhin wird mit Hilfe der lokalen Methanproduktion die Effektivität des Reaktors bestimmt. Die erlangten Informationen können verwendet werden, um den Biogas-Reaktor zu optimieren.
Eine Billion ist mathematisch leicht darstellbar. Es ist eine Eins mit 12 Nullen: 1 000 000 000 000, mathematisch kurz und prägnant als 10^12 geschrieben. Aber darstellbar heißt nicht unbedingt vorstellbar. Versuchen wir, diese Anzahlen zu veranschaulichen, entstehen teilweise surreale, aber einprägsame Bilder.
Der Hoppe-Baum ist eine zufällig wachsende, diskrete Baumstuktur, wobei die stochastische Dynamik durch die Entwicklung der Hoppe Urne wie folgt gegeben ist: Die ausgezeichnete Kugel mit der die Hoppe Urne startet entspricht der Wurzel des Hoppe Baumes. In der Hoppe Urne wird diese Kugel mit Wahrscheinlichkeit proportional zu einem Parameter theta>0 gezogen, alle anderen Kugeln werden mit Wahrscheinlichkeit proportional zu 1 gezogen. Wann immer eine Kugel gezogen wird, wird sie zusammen mit einer neuen Kugel in die Urne zurückgelegt, was in unserem Baum dem Einfügen eines neuen Kindes an den gezogenen Knoten entspricht. Im Spezialfall theta=1 erhält man einen zufälligen rekursiven Baum.
In der Arbeit werden Erwartungswerte, Varianzen und Grenzwertsätze für Tiefe, Höhe, Pfadlänge und die Anzahl der Blätter gegeben.