Mathematik
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ranching Processes in Random Environment (BPREs) $(Z_n:n\geq0)$ are the generalization of Galton-Watson processes where \lq in each generation' the reproduction law is picked randomly in an i.i.d. manner. The associated random walk of the environment has increments distributed like the logarithmic mean of the offspring distributions. This random walk plays a key role in the asymptotic behavior. In this paper, we study the upper large deviations of the BPRE $Z$ when the reproduction law may have heavy tails. More precisely, we obtain an expression for the limit of $-\log \mathbb{P}(Z_n\geq \exp(\theta n))/n$ when $n\rightarrow \infty$. It depends on the rate function of the associated random walk of the environment, the logarithmic cost of survival $\gamma:=-\lim_{n\rightarrow\infty} \log \mathbb{P}(Z_n>0)/n$ and the polynomial rate of decay $\beta$ of the tail distribution of $Z_1$. This rate function can be interpreted as the optimal way to reach a given "large" value. We then compute the rate function when the reproduction law does not have heavy tails. Our results generalize the results of B\"oinghoff $\&$ Kersting (2009) and Bansaye $\&$ Berestycki (2008) for upper large deviations. Finally, we derive the upper large deviations for the Galton-Watson processes with heavy tails.
From Brownian motion with a local time drift to Feller's branching diffusion with logistic growth
(2011)
We give a new proof for a Ray-Knight representation of Feller's branching diffusion with logistic growth in terms of the local times of a reflected Brownian motion H with a drift that is affine linear in the local time accumulated by H
at its current level. In Le et al. (2011) such a representation was obtained by an approximation through Harris paths that code the genealogies of particle systems. The present proof is purely in terms of stochastic analysis, and is inspired by previous work of Norris, Rogers and Williams (1988).
We study empirically and analytically growth and fluctuation of firm size distribution. An empirical analysis is carried out on a US data set on firm size, with emphasis on one-time distribution as well as growth-rate probability distribution. Both Pareto's law and Gibrat's law are often used to study firm size distribution. Their theoretical relationship is discussed, and it is shown how they are complementable with a bimodal distribution of firm size. We introduce economic mechanisms that suggest a bimodal distribution of firm size in the long run. The mechanisms we study have been known in the economic literature since long. Yet, they have not been studied in the context of a dynamic decision problem of the firm. Allowing for these mechanism thus will give rise to heterogeneity of firms with respect to certain characteristics. We then present different types of tests on US data on firm size which indicate a bimodal distribution of firm size.
Forschungsbedarf. Wenn man die mathematische Entwicklung in der frühen Kindheit als einen ganzheitlichen Prozess betrachtet, so gilt es, die Forschungsperspektive für unterschiedliche Lernorte zu öffnen. Einer dieser Lernorte ist die Familie, in welchem mathematische Bildungsprozesse der frühen Kindheit entscheidend von elterlichem Support beeinflusst werden. Bei der Untersuchung dieses Lernortes ist in der deutschsprachigen Mathematik-didaktik bisher eine Beschränkung auf Interviewstudien zu beobachten, in denen die Vorstellungen und Überzeugungen der Eltern zum Mathematiklernen und zur Mathematik rekonstruiert werden. Beobachtungsstudien, welche unabhängig von der Perspektive der Eltern Realisierungen von Support untersuchen, liegen bisher nicht vor. Die vorliegende Dissertation liefert einen Beitrag zur Bearbeitung dieses spezifischen Forschungsbedarfs in der deutschsprachigen Mathematikdidaktik.
Die Studie. Die durchgeführte, längsschnittlich angelegte Videostudie, die der Dissertation zugrunde liegt, ist der rekonstruktiven Sozialforschung und im Speziellen der Interpretativen Forschung in der Mathematikdidaktik zuzuordnen. Es wurden zehn Vorschulkinder und ihre Mütter ein Jahr lang in offenen Vorlese- und Spielsituationen begleitet. Als Grundlage der Analyse dienen Transkripte von ausgewählten Szenen. Die Transkriptanalyse ist durchgehend am Prinzip der Komparation orientiert und erfolgt zweischrittig: In einer Interaktionsanalyse wird zunächst die interaktionale Entwicklung des mathematischen Themas in der jeweiligen Szenen nachgezeichnet; darauf aufbauend wird die Diskursszene in einer Support-Fokussierung im Hinblick auf das hergestellte Support-System ausgedeutet.
Der Forschungsgegenstand. Gemäß der Verortung in der Interpretativen Forschung wird der Forschungsgegenstand aus sozialkonstruktivistisch-interaktionistischer Perspektive betrachtet. Demzufolge ist der Support in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen kein einseitiges Helfen der Mutter, sondern ein von Mutter und Kind gemeinsam in der Interaktion hergestelltes Support-System.
Ergebnisse. Der Support in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen wird in der vorliegenden Dissertation als ein Mathematics Acquisition Support System (MASS) beschrieben und aus zwei unterschiedlichen Perspektiven beleuchtet.
Die erste Perspektive ist eine allgemein sozialisationstheoretische und zeigt, dass das MASS in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen auf unterschiedliche übergeordnete Aufgaben ausgerichtet sein kann: auf ein Mitmachen, auf einen Entwicklungsfortschritt oder auf eine freie Erkundung des Kindes. Diese Typisierung von Support-Jobs verdeutlicht, dass sich Support-Systeme gegenstandsspezifisch unterscheiden. Während das Discourse Acquisition Support System (DASS), welches im Hinblick auf die Entwicklung von Erzählkompetenz beschrieben
wurde (vgl. Hausendorf und Quasthoff 2005), ausschließlich auf eine übergeordnete Aufgabe ausgerichtet ist, kann das MASS über die Arbeit an unterschiedlichen Support-Jobs hergestellt werden. So sind Vorschulkinder im familialen Kontext in mathematische Diskurse eingebunden, die an unterschiedlichen Support-Jobs ausgerichtet sind. Dieses Ergebnis gewinnt dadurch zusätzliche Bedeutung, dass die Support-Jobs in den mathematischen Mutter-Kind-Diskursen als charakterisierend für die jeweiligen Mutter-Kind-Paare rekonstruiert werden konnten. Sowohl in Komparationen über die Zeit als auch in solchen über das Material etablieren und bearbeiten Mutter und Kind mit einer gewissen Stabilität einen spezifischen Support-Job. Die Biographie von Vorschulkindern als Mathematiklerner wird in der Familie also auf spezifische Weise geprägt.
Die zweite Perspektive ist eine genuin mathematikdidaktische und gliedert sich in zwei Teilperspektiven auf. Eine fokussiert auf das Mathematiklernen, die andere auf die Mathematik. In der Perspektive des Mathematiklernens werden Realisierungen von alltagspädagogischen Konzepten typisiert. Dabei zeigt sich, wie unterschiedlich Vorschulkinder als Mathematiklerner in Support-Systeme eingebunden werden: als Sachkundiger, als Wissender und als Denker (vgl. Olson und Bruner 1996). Anhand dieser gebildeten Typen wird das Forschungsfeld dahingehend strukturiert, welchen Konzepten vom Mathematiklernen und -lehren Vorschulkinder im familialen Kontext begegnen. In der Perspektive der Mathematik wird schließlich erarbeitet, wie Vorschulkinder und ihre Mütter in und mit ihrem je spezifischen MASS die Mathematik in den Sinnbereich ihres Alltags einbinden (vgl. Bachmair 2007): als Hilfsmittel, als Lernstoff und als Beschreibungs- und Denkmittel. Damit sind drei Typen mathematischer Sozialisation im familialen Kontext beschrieben.
Insgesamt macht die Verbindung aus einer allgemein sozialisationstheoretischen und einer mathematikdidaktischen Perspektive umfassend beschreibbar, wie Kinder im familialen Kontext in Support-Systeme zum Mathematiklernen eingebunden sind. Die Bildung unterschiedlicher Typen konnte sowohl im Hinblick auf die allgemeine Fokussierung des MASS als auch im Hinblick auf die damit realisierten Konzepte von Mathematiklernen und Mathematik vor-genommen werden. Damit ist der Lernort der Familie für die frühe mathematische Bildung und den Forschungsgegenstand des Supports strukturiert und anhand von Fallstudien beschrieben. Dieses Forschungsergebnis ist eine neue Einsicht über den bisher nur wenig erforschten Lernort der Familie und gleichzeitig eine Herausforderung für den Mathematikunterricht der Grundschule. Denn im Sinne einer Passung zwischen Familie und Schule gilt es, an die jeweiligen Interaktionserfahrungen der Kinder anzuknüpfen.
In recent years using symmetry has proven to be a very useful tool to simplify computations in semidefinite programming. This dissertation examines the possibilities of exploiting discrete symmetries in three contexts: In SDP-based relaxations for polynomial optimization, in testing positivity of symmetric polynomials, and combinatorial optimization. In these contexts the thesis provides new ways for exploiting symmetries and thus deeper insight in the paradigms behind the techniques and studies a concrete combinatorial optimization question.