Mathematik
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We consider the long-time behaviour of spatially extended random populations with locally dependent branching. We treat two classes of models: 1) Systems of continuous-time random walks on the d-dimensional grid with state dependent branching rate. While there are k particles at a given site, a branching event occurs there at rate s(k), and one of the particles is replaced by a random number of offspring (according to a fixed distribution with mean 1 and finite variance). 2) Discrete-time systems of branching random walks in random environment. Given a space-time i.i.d. field of random offspring distributions, all particles act independently, the offspring law of a given particle depending on its position and generation. The mean number of children per individual, averaged over the random environment, equals one The long-time behaviour is determined by the interplay of the motion and the branching mechanism: In the case of recurrent symmetrised individual motion, systems of the second type become locally extinct. We prove a comparison theorem for convex functionals of systems of type one which implies that these systems also become locally extinct in this case, provided that the branching rate function grows at least linearly. Furthermore, the analysis of a caricature model leads to the conjecture that local extinction prevails generically in this case. In the case of transient symmetrised individual motion the picture is more complex: Branching random walks with state dependent branching rate converge towards a non-trivial equilibrium, which preserves the initial intensity, whenever the branching rate function grows subquadratically. Systems of type 1) and systems of type 2) with quadratic branching rate function show very similar behaviour. They converge towards a non-trivial equilibrium if a conditional exponential moment of the collision time of two random walks of an order that reflects the variability in the branching mechanism is finite almost surely. The equilibrium population has finite variance of the local particle number if the corresponding unconditional exponential moment is finite. These results are proved by means of genealogical representations of the locally size-biased population. Furthermore, we compute the threshold values for existence of conditional exponential moments of the collision time of two random walks in terms of the entropy of the transition functions, using tools from large deviations theory. Our results prove in particular that - in contrast to the classical case of independent branching - there is a regime of equilibria with variance of the local number of particles.
Große Stammbäume
(2003)
Sei T ein kritischer oder subkritischer Galton-Watson Stammbaum (GW-Baum) mit einer Kinderzahlverteilung endlicher oder unendlicher Varianz. Wir sind an der Struktur von T , bedingt darauf, dass T "groß" ist, interessiert. Der klassische sowie naheliegende Zugang ist, T auf eine große Gesamtgröße oder eine große Höhe zu bedingen. In dieser Arbeit werden drei, zum GW-Baum eng verwandte Typen von zufälligen Stammbäumen vorgestellt, deren Analyse aufschlussreiche Einsichten über große GW-Stammbäume liefert. Zur Untersuchung dieser auf große Gesamtgröße bedingten Stammbäume schlagen wir eine Familie von zufälligen, größenverzerrten Bäumen vor, deren auf Größe bedingte Verteilung mit der des, auf gegebener Größe bedingten, Baumes T übereinstimmt. Diese zufälligen Stammbäume besitzen eine einfache probabilistische Struktur, wenn man sie entlang der Ahnenlinien von rein zufällig gezogenen Knoten zerlegt. Die Verwandschaftsstruktur des von den gezogenen Knoten und der Wurzel aufgespannten Teilbaumes hängt im wesentlichen von dem asymptotischen Verhalten der Kinderzahlverteilung ab. Während bei endlicher Varianz diese Teilbäume asymptotisch binär sind, können bei unendlicher Varianz im Limes auch andere Formen auftreten. Wir zeigen, dass diese Teilbäume GW-Bäume bedingt auf ihre Gesamtblätterzahl sind. Mit Hilfe der Zerlegung entlang der Ahnenlinien erhalten wir zudem einen Grenzwertsatz für die reskalierte Gesamtgröße des Baumes mit einer Gamma-Verteilung als Limes. Die Analyse großer Bäume führen wir unter dem Aspekt des Größenverzerrens fort, indem wir eine weitere Familie zufälliger Bäume vorschlagen. Diese erhalten wir durch Größenverzerrung in der n-ten Generationsgröße. Wir werden sehen, dass der dadurch gewonnene zufällige Stammbaum eine ähnliche probabilistische Struktur wie der in der Gesamtgröße größenverzerrte Baum besitzt. Hier beweisen wir mit einfachen Überlegungen Aussagen über die Generation des jüngsten gemeinsamen Vorfahren (MRCA) von uniform aus Generation n gezogenen Knoten, sowie die Struktur des von diesen Knoten aufgespannten Skeletts. Schließlich betrachten wir die in [15] vorgestellte probabilistische Zerlegung des auf Mindesthöhe n bedingten GW-Baumes. Damit werden wir klassische Sätze über die Höhe des MRCA und die Grenzverteilung der reskalierten n-ten Generationsgröße für den Fall einer Kinderzahlverteilung mit unendlicher Varianz auf alternativem und anschaulichem Weg beweisen. Zudem erhalten wir eine Grenzverteilung für die Anzahl der Kinder des MRCA.
We present a method for the construction of a Krein space completion for spaces of test functions, equipped with an indefinite inner product induced by a kernel which is more singular than a distribution of finite order. This generalizes a regularization method for infrared singularities in quantum field theory, introduced by G. Morchio and F. Strocchi, to the case of singularites of infinite order. We give conditions for the possibility of this procedure in terms of local differential operators and the Gelfand-Shilov test function spaces, as well as an abstract sufficient condition. As a model case we construct a maximally positive definite state space for the Heisenberg algebra in the presence of an infinite infrared singularity. See the corresponding paper: Schmidt, Andreas U.: "Mathematical Problems of Gauge Quantum Field Theory: A Survey of the Schwinger Model" and the presentation "Infinite Infrared Regularization in Krein Spaces"
Wir führen eine neue Unterklasse der Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen ein mit dem Ziel, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen studieren zu wollen, wie sie für gewisse Distributionenklassen bekannt sind. Wir entwickeln zuerst die Theorie analytischer Funktionale auf Räumen integrabler Funktionen bezüglich Maßen mit Wachstum O(|Re z|^gamma), wobei gamma in R ist, im Unendlichen. Ein an das berühmte Phragmén-Lindelöf-Prinzip erinnerndes, einfaches analytisches Resultat bildet die Basis der Dualitätstheorie dieser Räume zu Funktionen mit festgelegtem Wachstumstyp. Wir studieren diese Dualität analytischer Funktionale mit Wachstumsbedingungen und unbeschränkten Trägern gründlich in einer Dimension unter Verwendung des von den Fourier Hyperfunktionen her bekannten exponentiell abfallenden Cauchy-Hilbert-Kerns. Daraus ergeben sich Analoga zu den Theoremen von Runge und Mittag-Leffler, die die Grundlage für die Garbentheorie der Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen sind, die wir sodann entwickeln. Die für uns wichtigsten neuen Klassen von Fourier Hyperfunktionen sind die von unendlichem Typ, das heißt solche, die wie eine beliebige Potenz wachsen beziehungsweise schneller als jede Potenz abfallen. In n Dimensionen benutzen wir die Fouriertransformation und Dualität um das Verhältnis dieser temperierten beziehungsweise asymptotischen Hyperfunktionen zu bekannten Distributionenräumen zu studieren. Wir leiten Theoreme vom Paley-Wiener-Typ her, die es uns erlauben, unsere Hyperfunktionen in ein Schema zu ordnen, das Wachstumsordnung und Singularität gegenüberstellt. Wir zeigen, daß dieses Schema eine sinvolle Erweiterung des von Gelfand und Shilow zur Charakterisierung von Testfunktionenräumen eingeführten Schemas der Räume S(alpha,beta) um verallgemeinerte Funktionen ist. Schließlich zeigen wir die Nuklearität der temperierten und asymptotischen Hyperfunktionen. Wir zeigen, daß die asymptotischen Hyperfunktionen genau die Klasse bilden, die Moment-asymptotische Entwicklungen erlauben, wie sie von Estrada et al. für Distributionen betrachtet wurden. Estradas Theorie ist damit ein Spezialfall der unsrigen. Für Hyperfunktionen lassen sich aber dank des Konzeptes der standard definierenden Funktionen die Moment-asymptotischen Entwicklungen als klassische asymptotische Entwicklungen von analytischen Funktionen verstehen. Wir zeigen die einfache Beziehung zwischen der Moment-asymptotischen Entwicklung und der Taylorentwicklung der Fouriertransformierten und benutzen dann ein Resultat von Estrada, um die Vollständigkeit unseres Moment-asymptotischen Schemas abzuleiten. Wir geben genaue Bedingungen für die Moment-Folgen von Hyperfunktionen mit kompaktem Träger an, die kürzlich von Kim et al. gefunden wurden. Die asymptotischen Entwicklungen übertragen wir auf den höherdimensionalen Fall, indem wir die von Kaneko und Takiguchi eingeführte Radontransformation für Hyperfunktionen verwenden. Die wohlbekannte Beziehung zwischen Radon- und Fouriertransformation zeigt wiederum das enge Verhältnis von asymptotischer Entwicklung zur Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Wir benutzen Kims Resultate, um die Moment-Folgen von Hyperfunktionen zu charakterisieren, die von Kugeln mit endlichem Radius getragen werden. Schließlich verwenden wir das Träger-Theorem der Radontransformation, um ein Resultat über das Singularitätenspektrum aus Bedingungen an die Radontransformierte abzuleiten.
We enhance the security of Schnorr blind signatures against the novel one-more-forgery of Schnorr [Sc01] andWagner [W02] which is possible even if the discrete logarithm is hard to compute. We show two limitations of this attack. Firstly, replacing the group G by the s-fold direct product G exp(×s) increases the work of the attack, for a given number of signer interactions, to the s-power while increasing the work of the blind signature protocol merely by a factor s. Secondly, we bound the number of additional signatures per signer interaction that can be forged effectively. That fraction of the additional forged signatures can be made arbitrarily small.
Gleichgewichte auf Überschussmärkten : Theorie und Anwendbarkeit auf die Regelenergiezone der RWE
(2003)
Diese Version entspricht im wesentlichen der begutachteten Version bis auf die Kürzung von Satz 3.3.1 um einen für den Rest unbedeutenden Teil. Das Ziel folgender Arbeit ist es, mit einem intuitiven Ansatz eine spezielle Wettbewerbsform zweier interagierender Märkte zu modellieren und anschließend zu analysieren. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse mit den Beobachtungen an einem existierenden Markt - dem deutschen Energiemarkt - verglichen. In dieser behandelten Wettbewerbsform wird ein nicht lagerbares Gut an zwei aneinander gekoppelten Märkten gehandelt. Während Handel und Preisfindung am ersten Markt den üblichen Gepflogenheiten folgen, müssen alle Teilnehmer sämtliche Güter, welche nicht unmittelbar nach Lieferung verbraucht werden, am zweiten Marktplatz (dem Überschussmarkt) gegen ein gewisses Entgelt zur Verfügung stellen. Alle Teilnehmer, welche nicht genügend Güter am ersten Markt geordert haben, werden auf dem Überschussmarkt zu einem gewissen Preis mit der noch benötigten Menge versorgt. Einem Marketmaker auf dem zweiten Marktplatz fällt die Aufgabe zu, einen Preis festzustellen, zu dem diejenigen entschädigt werden, welche ihre Überschüsse zur Verfügung stellen müssen bzw. den diejenigen zu bezahlen haben, deren Gütermangel ausgeglichen wird. Weiterhin stellt dieser sicher, dass zu jedem Zeitpunkt genügend Güter vorhanden sind, so dass der Bedarf aller Teilnehmer zu jedem Zeitpunkt sichergestellt ist. Ziel ist es nun herauszufinden, welche gewinnmaximierenden Einkaufsstrategien die Marktteilnehmer verfolgen sollten und welche Konsequenzen sich daraus auf den deutschen Energiemarkt ableiten lassen.
Presentation at the Università di Pisa, Pisa, Itlay 3 July 2002, the conference on Irreversible Quantum Dynamics', the Abdus Salam ICTP, Trieste, Italy, 29 July - 2 August 2002, and the University of Natal, Pietermaritzburg, South Africa, 14 May 2003. Version of 24 April 2003: examples added; 16 December 2002: revised; 12 Sptember 2002. See the corresponding papers "Zeno Dynamics of von Neumann Algebras", "Zeno Dynamics in Quantum Statistical Mechanics" and "Mathematics of the Quantum Zeno Effect"
Diese Arbeit beschäaftigt sich mit den Eigenschaften dynamischer Systeme, die in Form von autonomen Differentialgleichungen vorliegen. Genauer: Das Langzeitverhalten dieser dynamischen Systeme soll untersucht werden. Es läßtt sich beschreiben durch für das jeweilige System charakteristische Mengen, die attrahierenden Mengen und deren Einzugsbereiche. Attrahierende Mengen sind bezüglich eines dynamischen Systems invariante Mengen, die Trajektorien des dynamischen Systems, die in ihrer Umgebung starten, anziehen. Der Einzugsbereich einer attrahierenden Menge ist die Menge aller Punkte, die von der attrahierenden Menge angezogen werden. Betrachtet werden Systeme, die von einer Eingangsfunktion abhängen. Diese Eingangsfunktion kann je nach Zusammenhang eine Störung des dynamischen Systems oder eine Kontrolle desselben darstellen. Werden Störungen betrachtet, so sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die für alle Eingangsfunktionen gelten, zu untersuchen. Diese werden in dieser Arbeit als starke Eigenschaften bezeichnet. Werden Kontrollen betrachtet, sind Eigenschaften des dynamischen Systems, die nur für mindestens eine Eingangsfunktion erfüllt sind, zu untersuchen. Sie werden hier als schwache Eigenschaften bezeichnet. Man betrachte beispielsweise einen Punkt, der zu einer invarianten Menge gehört. Zu jeder Eingangsfunktion gibt es eine zugehörige Trajektorie, die an diesem Punkt startet. Starke Invarianz bedeutet, daß keine dieser Trajektorien jemals die invariante Menge verläßt, schwache Invarianz, da mindestens eine dieser Trajektorien niemals die invariante Menge verläßt. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der Untersuchung der schwachen Einzugsbereiche. Sie lassen sich nur in Ausnahmefällen durch theoretische Überlegungen finden. Daher ist es von Nutzen, diese Mengen numerisch zu berechnen. Hier soll deshalb die benötigte Theorie bereitgestellt werden, um schwache Einzugsbereiche mit einem Unterteilungsalgorithmus anzunähern. Ein Unterteilungsalgorithmus dient allgemein dazu, innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge eine Menge, die eine bestimmte Eigenschaft hat, zu finden. Die Idee eines solchen Algorithmus ist es einfach, die Grundmenge in "Zellen" zu unterteilen und für jede dieser Zellen zu prüfen, ob sie ganz, gar nicht oder teilweise zur gesuchten Menge gehört. Gehört eine Zelle nur teilweise zur gesuchten Menge, so wird sie weiter unterteilt und für die "Teilzellen" erneut entschieden, ob sie zur gesuchten Menge gehören. Für die Berechnung eines schwachen Einzugsbereiches bedeutet dies, daß für jede Zelle überprüft werden muß, ob es eine Kontrollfunktion gibt, mit deren Hilfe Trajektorien der betrachteten Differentialgleichung, die innerhalb der Zelle starten, in eine gegebene schwach attrahierende Menge (bzw. eine passend gewählte Umgebung dieser Menge) gesteuert werden können.