Mathematik
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Komplexität von Gitterproblemen : Nicht-Approximierbarkeit und Grenzen der Nicht-Approximierbarkeit
(2000)
Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P <> NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO exp(1/log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n/ sqrt(log n) unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q >= N, so daß maxi minp2Z |q alpha i - p| minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen. Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P 6= NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO(1= log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=plog n unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q <= N, so daß maxi ...... minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen alpha1,......, alphan und eine Hauptnennerschranke N einen Nenner ~q mit 1 <= ~q <= f(n)N berechnet, so daß ~q bis auf einen Faktor f(n) = nO(1= log0:5+epsilon n) ein Best Approximations Nenner ist, wobei epsilon > 0 eine beliebige Konstante ist. Wir zeigen, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=log n unter plausiblen Annahmen nicht mölich ist. Wir untersuchen die Konsequenzen dieser Resultate zur Konstruktion von im Durchschnitt schwierigen Gitterproblemen.
Es steht außer Zweifel, daß digitale Signaturen schon bald zu unserem Alltag gehören wer- den. Spätestens mit dem Inkrafttreten des Gesetzes zur digitalen Signatur (siehe [BMB]) sind sie zu einem wichtigen Instrument in der Telekommunikation geworden. Dabei kommt der Verwendung von Chipkarten eine wichtige Bedeutung zu: In ihnen lassen sich die sensiblen Daten (z.B. der geheime Schlüssel) auslesesicher aufbewahren; gleichzeitig können sie bequem mitgeführt werden. Aus diesen Gründen erlebt die Verwendung von Chipkarten zur Erzeugung von digitalen Signaturen zur Zeit einen enormen Aufschwung. Problematisch ist jedoch der oft unverhältnismäßig große Berechnungsaufwand für die Erzeugung von digitalen Signaturen. Ziel dieser Arbeit ist es, Methoden zu entwickeln und/oder zu untersuchen, welche die Berechnung digitaler Unterschriften wesentlich beschleunigen. Dabei spiegelt sich die Zweiteilung der in der Praxis hauptsächlich verwendeten Typen von Signaturverfahren in der Struktur der Arbeit wider. Der erste Teil dieser Arbeit untersucht Verfahren zur effizienten Berechnung von RSA-Unterschriften. Dabei entstanden die Untersuchungen in den Abschnitten 3.2.3 und 3.2.4 in Zusammenarbeit mit R. Werchner und der Inhalt der Abschnitte 3.1 - 3.2.4 ist bereits in [MW98] veröffentlicht. Im zweiten Teil entwickeln wir Verfahren zur effizienteren Generierung von Unterschriften, die auf dem diskreten Logarithmus basieren, und untersuchen deren Sicherheit. Dabei entstanden die Untersuchungen in den Abschnitten 4.2 (bis auf 4.2.2) und 4.3.1 in Zusammenarbeit mit C. P. Schnorr und sind teilweise in [MS98] zusammengefaßt. Obwohl diese Arbeit eine mathematische Abhandlung darstellt, versuchen wir, die praktische Anwendung nicht aus den Augen zu verlieren. So orientieren sich die betrachteten Verfahren stets an den durch die verfügbare Technologie gegebenen Rahmenbedingungen. Darüber hinaus richten wir unser Augenmerk weniger auf das asymptotische Verhalten der betrachteten Verfahren, als vielmehr auf konkrete, für die Anwendung relevante Beispiele.
Gitter
(2000)