Mathematik
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Jeder Investor hat ein Ziel: Er will Gewinne realisieren. Dazu muss er Entscheidungen treffen. Und solche Entscheidungen werden zumeist unterschiedlich getroffen. Was beeinflusst den Investor in seiner Entscheidung und wie lassen sie sich überzeugen? Alle Investoren stellen sich dabei die Frage: Ist das für ein Investment eingegangene Risiko gegenüber der erwarteten Rendite gerechtfertigt? Gibt es eine Möglichkeit, Ertrag und Risiko von zinsbasierten Finanzinstrument bzw. Portfolien zu analysieren? Ein eben solches Verfahren stellt diese Diplomarbeit vor. Über ein Zinsstrukturmodell unter dem empirischen Wahrscheinlichkeitsmaß wird eine P&L Verteilung des entsprechenden Investments berechnet. Welches Zinsmodell eignet sich für diese Berechnung am besten? Eine weit verbreitete Klasse von Zinsstrukturmodellen stellen die Sell-Side Modelle (Pricing Modelle) dar. Diese werden zum arbitragefreien Pricing von Finanzinstrumenten eingesetzt und arbeiten unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß. Zur Simulation realer Zinsszenarien müssen diese Modelle unter dem realen Wahrscheinlichkeitsmaß aufgestellt und geschätzt werden. Als ein Vertreter dieser Modellklasse wird das Cox-Ingersoll-Ross Modell untersucht. Des Weiteren werden das dynamische Nelson-Siegel Modell sowie ein Resampling-/Bootstrapping Modell (RMJBN Modell) vorgestellt und getestet. Die erwähnten Zinsmodelle werden einem Out-of-Sampling-Test unterzogen. Das gewählte Modell muss einem Kriterienkatalog entsprechen, der anhand der Analyseergebnisse der EURIBOR-Zinskurven bezüglich deren Schwankungen und Formen aufgestellt wurde. Es zeigt sich, dass das RMJBN Modell die wesentlichen Merkmale gut abbildet. Unter dem Namen Extended RMJBN Modell folgt eine Erweiterung des Bootstrapping Modells, welche bei der Modellierung der Verteilungen der Zinskurven-Krümmungen ansetzt. Abschließend wird eine Anwendungsmöglichkeit des Extended RMJBN Modells vorgestellt. Es werden dabei Renditeverteilungen von zwei unterschiedlichen Festgeldanlagen betrachtet, um eine reale Investmententscheidung treffen zu können.
Der Bolthausen-Sznitman Koaleszent ist ein zeitstetiger Markovprozess mit Werten in der Menge der Partitionen der natürlichen Zahlen. Der Prozess startet in Singletons und seine Dynamik erlaubt lediglich Übergänge in gröbere Partitionen. In dieser Arbeit wird der Bolthausen-Sznitman Koaleszent zum Zeitpunkt seines letzten Übergangs analysiert. Das Hauptresultat ist ein Grenzwertsatz, welcher eine gemeinsame Aussage sowohl über die Blockanzahl als auch über die Blockgrößen des Koaleszenten zu diesem Zeitpunkt macht. Dafür wird der Koaleszent durch ein gewisses Abholzverfahren zufälliger rekursiver Bäume modelliert, wobei diese Bäume wiederum anhand von Yule-Prozessen generiert werden.
Mit den Small World Graphen stehen seit Ende der Neunzigerjahre Modelle für soziale und ähnliche Netzwerke, die im Vergleich zu Erdös-Rényi-Graphen stärker Cluster ausbilden, zur Verfügung. Wir betrachten die Konstruktion dieser Graphen und untersuchen zwei der Modelle genauer im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen. Das stetige Modell betrachten wir hinsichtlich dem Abstand zweier Knoten. Der interessanteste Aspekt hierbei ist, dass man bei der Konstruktion des Graphen die entfernten Nachbarn mithilfe der Poissonverteilung wählt und in der Folge einen Yule-Prozess auf dem Graphen erhält. Auf der Bollobás-Chung Small World lassen wir den Kontaktprozess ablaufen und untersuchen diesen bezüglich seiner Überlebenswahrscheinlichkeit. Wir sehen, dass er auf diesem Graphen zwei Phasenübergänge aufweist. Oberhalb des ersten überlebt er für immer mit positiver Wahrscheinlichkeit, oberhalb des zweiten ist zudem der Knoten, auf dem der Kontaktprozess gestartet ist, stets mit positiver Wahrscheinlichkeit infiziert. Schließlich betrachten wir die Zeitdauer, die ein leicht modifizierter, superkritischer Kontaktprozess auf der Small World unter bestimmten Voraussetzungen überlebt. Die wesentliche Dynamik, die wir hierbei ausmachen können, ist, dass auf ein Absinken der Infektionen mit hoher Wahrscheinlichkeit wieder eine Verdopplung der Infektionen folgt.
Kieferorthopäden beschreiben die Anordnung der Zähne und die Stellung der Kiefer üblicherweise mittels Winkel und Strecken in der sagittalen Gesichtsebene. Im vorliegenden Fall werden fünf Winkel betrachtet und jedes Individuum lässt sich als Punkt in einem 5-dimensionalen Raum darstellen. Individuen, die laut Experten ein gut funktionierendes Gebiss und ein harmonisches Äußeres besitzen, formen eine Punktwolke, die im Folgenden als die Norm Population bezeichnet wird. Individuen fern von der Wolke benötigen kieferorthopädische Behandlung. Welche Form sollte dieser Eingriff annehmen? Durch Hilfsmittel der modernen Kieferorthopädie lassen sich die beschriebenen Winkel nahezu nach Belieben ändern. Dies ist natürlich verbunden mit einer unterschiedlichen Menge an Problemen, Arbeitsaufwand und Unannehmlichkeiten, abhängig vom individuellen Patienten. Diese Arbeit präsentiert eine Methode, die auf jedem Computer leicht implementierbar und auf k Variablen verallgemeinerbar ist. Sie ermöglicht Kieferorthopäden eine Visualisierung, wie verschiedene denkbare Anpassungen der Winkel eines Patienten dessen relative Position zur Norm Population verändern. Damit unterstützt sie Kieferorthopäden bei der Entscheidung für einen Behandlungsplan, der die besten Ergebnisse verspricht.
Ein universeller zentraler Grenzwertsatz für den Abstand zweier Kugeln in zufälligen Splitbäumen
(2008)
In der vorliegenden Arbeit wird ein Modell des zufälligen Splitbaumes untersucht. Dies ist ein verallgemeinertes Modell, das bei passender Wahl der zugehörigenParameter viele konkrete Suchbäume umfasst. Das Modell ist in der Arbeit von L. Devroye beschrieben: Nach einem zufallsbasierten Algorithmus werden den Knoten des Baumes Daten in Form von Kugeln hinzugefügt. Tiefe und Höhe sind dabei grundlegende Größen, die die Komplexität von Suchoperationen beschreiben, wenn das Suchbaummodell als Datenstruktur verwendet wird. Das Augenmerk der Arbeit richtet sich auf eine weitere entscheidende Größe: Den Abstand zweier rein zufällig gewählter Kugeln im Baum. Aufbauend auf Devroyes Erkenntnissen zum asymptotischen Verhalten der Tiefe der zuletzt eingefügten Kugel im Splitbaum, wird ein neues Resultat erzielt: Ein universeller Zentraler Grenzwertsatz für den Abstand der Kugeln. Als Anwendungsbeispiel werden zwei vom allgemeinen Modell abgedeckte Suchbäume betrachtet und der jeweilige Grenzwertsatz für die Abstände aus dem universellen Satz abgeleitet.
Das Assignment Problem ist ein bekanntes kombinatorisches Optimierungsproblem, bei dem es darum geht, in einem gewichteten bipartiten Graphen ein Matching mit minimalem Gewicht zu finden. In dieser Arbeit sind die Kantengewichte exponentialverteilt zu speziell gewählten Raten. Damit sind Erwartungswert und Varianz des minimalen Gewichts von besonderem Interesse. Zunächst wird ein Beweis der Parisi Formel und der Coppersmith-Sorkin Formel erläutert. Die Formeln beschreiben den Erwartungswert des minimalen Gewichts im Fall, dass die Raten alle dem Wert 1 entsprechen. Im zweiten Teil wird die Herleitung einer expliziten Formel zur Berechnung der Varianz des zufälligen minimalen Gewichts erklärt, wobei die Raten immer noch mit 1 übereinstimmen. Gleichzeitig wird eine Formel für die höheren Momente geliefert, aus der die Parisi Formel und Coppersmith-Sorkin Formel aus dem ersten Teil folgen und die sogar das bisherige Modell bezüglich der Parameter erweitert. Schließlich kann man das Ergebnis des zweiten Teils zur Beschreibung des asymptotischen Verhaltens der Varianz benutzen.