Mathematik
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Installment Optionen
(2004)
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit Installment Optionen und deren Bewertung und Hedgemöglichkeiten. Installment Optionen werden vor allem im internationalen Treasurymanagement eingesetzt und dienen der Absicherung von Wechselkursrisiken. Die Besonderheit besteht darin, daß ein Konzern die Optionsprämie über mehrere Zeitpunkte aufteilen kann, zu denen er jeweils entscheidet, ob die Absicherung überhaupt noch benötigt wird. Dies könnte unter Umständen nicht mehr der Fall sein, wenn das zugrunde liegende internationale Geschäft des Konzerns wider Erwarten nicht zustande gekommen ist. Der exakte Wert einer Installment Option im Black-Scholes Modell besteht aus einem Ausdruck von Mehrfachintegralen, wohingegen die Anwendung verschiedener Bewertungsmethoden auf diesen approximierte Werte liefert. Die Untersuchung des Verhaltens mehrerer bekannter Methoden und die Entwicklung einer neuen Bewertungsformel für Installment Option ist Inhalt dieser Arbeit. Weiterhin wird die kontinuierliche Version der Installment Option betrachtet und für diese ein neuer Hedge bewiesen.
Gitter sind diskrete additive Untergruppen des Rn. Praktische Bedeutung erlangte die Gittertheorie durch effziente Algorithmen zur Gitterbasenreduktion, mit deren Hilfe Optimierungsprobleme gelöst werden können. Der erste dieser Algorithmen wurde von Lenstra, Lenstra und Lovasz entwickelt. Schnorr und Euchner entwickelten effizientere Algorithmen. Sie untersuchten die Güte der Reduktion anhand von Rucksack-Problemen. Bei einem Rucksack-Problem der Dimension n müssen aus einer gegebenen Menge von n Gewichten diejenigen bestimmt werden, die zusammen einen gegeben Rucksack genau ausfüllen. Die Algorithmen von Schnorr und Euchner lösen fast alle Rucksack-Probleme der Dimensionen 42 bis 66. Meine neuen verbesserten Algorithmen lösen einen noch größeren Anteil der Rucksack-Probleme in kürzerer Rechenzeit. Gleichzeitig sind sie in Dimensionen 103 bis 151. Coster, Joux, LaMacchia. Odlyzko, Schnorr und Stern geben eine untere Schranke für die Größe der Gewichte von Rucksack-Problemen an, die fast immer gelöst werden können. Die Gewichte werden zufällig aus einem Intervall natüurlicher Zahlen gewählt. Dieses Ergebnis erweitere ich auf k-fache Rucksack-Probleme. Weiterhin kann für für die Wahl jedes Gewichtes eine beliebige Menge ganzer Zahlen festgelegt werden. Ebenso sind Mengen mit nur einem Element zulässig.
Wir verallgemeinern die Reduktionstheorie von Gitterbasen für beliebige Normen. Dabei zeigen wir neue Eigenschaften reduzierter Basen für die verallgemeinerten Reduktionsbegriffe. Wir verallgemeinern den Gauß-Algorithmus zur Reduktion zweidimensionaler Gitterbasen für alle Normen und erhalten eine universelle scharfe obere Schranke für die Zahl seiner Iterationen. Wir entwickeln für spezielle lp-Normen eine Variante des Gauß-Algorithmus mit niedriger Bit-Komplexität. Hierzu wird Schönhages schneller Reduktionsalgorithmus für quadratische Formen auf die Reduktion von Gitterbasen im klassischen zentrierten Fall übertragen.
It is commonly agreed that cortical information processing is based on the electric discharges (spikes') of nerve cells. Evidence is accumulating which suggests that the temporal interaction among a large number of neurons can take place with high precision, indicating that the efficiency of cortical processing may depend crucially on the precise spike timing of many cells. This work focuses on two temporal properties of parallel spike trains that attracted growing interest in the recent years: In the first place, specific delays (phase offsets') between the firing times of two spike trains are investigated. In particular, it is studied whether small phase offsets can be identified with confidence between two spike trains that have the tendency to fire almost simultaneously. Second, the temporal relations between multiple spike trains are investigated on the basis of such small offsets between pairs of processes. Since the analysis of all delays among the firing activity of n neurons is extremely complex, a method is required with which this highly dimensional information can be collapsed in a straightforward manner such that the temporal interaction among a large number of neurons can be represented consistently in a single temporal map. Finally, a stochastic model is presented that provides a framework to integrate and explain the observed temporal relations that result from the previous analyses.
Die zentrale Frage dieser Studie lautet: Wann ist eine stetige Funktion auf einem kompakten Raum, welche Werte in einem lokalkonvexen Raum annimmt, (Pettis-)integrierbar?
Im ersten Kapitel wird definiert, was konvexe Kompaktheit ist. Es wird das Pettis-Integral vorgestellt, und der Zusammenhang zwischen der konvexen Kompaktheitseigenschaft (oder ccp) und dem Pettis-Integral wird erläutert. Außerdem stellt dieses Kapitel dar, inwiefern die ccp aus stärkeren Eigenschaften lokalkonvexer Räume folgt oder schwächere impliziert. Das zweite Kapitel beweist hauptsächlich den Satz von Krein, der einen Zusammenhang zwischen Vollständigkeit unter der Mackey-Topologie und der ccp unter der schwachen Topologie herstellt. Das dritte Kapitel erläutert mit Gegenbeispielen, inwiefern die in Kapitel 1 vorgestellten Vollständigkeitseigenschaften lokalkonvexer Räume notwendig gegeneinander abgegrenzt sind. Das vierte Kapitel stellt zuerst das Bochner-Integral und das starke OperatorIntegral vor, um dann die starke konvexe Kompaktheitseigenschaft oder sccp einzufuhren, eine Eigenschaft, welche der ccp verwandt ist. Es wird fur einen Raum beispielhaft bewiesen, daß er diese Eigenschaft besitzt. Zuletzt wird der Zusammenhang von sccp und ccp ausfuhrlicher dargestellt.
Diese Arbeit wendet sich an Leser, denen die Grundlagen der Theorie lokalkonvexer Räume schon vertraut sind. Insbesondere ist Vertrautheit mit den Begriffen tonneliert, ultrabornologisch, bornologisch, polare Topologie unterstellt. Man findet eine kurze und einfach verständliche Einfuhrung im Werk [RR]. Alle über diese Grundlagen hinausgehenden Resultate werden in dieser Arbeit mit Beweis ausgefuhrt, oder es wird mit Angabe der Fundstelle auf die Literatur verwiesen.
The existence of a mean-square continuous strong solution is established for vector-valued Itö stochastic differential equations with a discontinuous drift coefficient, which is an increasing function, and with a Lipschitz continuous diffusion coefficient. A scalar stochastic differential equation with the Heaviside function as its drift coefficient is considered as an example. Upper and lower solutions are used in the proof.