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Timo Baumgratz

• Mit den Small World Graphen stehen seit Ende der Neunzigerjahre Modelle für soziale und ähnliche Netzwerke, die im Vergleich zu Erdös-Rényi-Graphen stärker Cluster ausbilden, zur Verfügung. Wir betrachten die Konstruktion dieser Graphen und untersuchen zwei der Modelle genauer im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen. Das stetige Modell betrachten wir hinsichtlich dem Abstand zweier Knoten. Der interessanteste Aspekt hierbei ist, dass man bei der Konstruktion des Graphen die entfernten Nachbarn mithilfe der Poissonverteilung wählt und in der Folge einen Yule-Prozess auf dem Graphen erhält. Auf der Bollobás-Chung Small World lassen wir den Kontaktprozess ablaufen und untersuchen diesen bezüglich seiner Überlebenswahrscheinlichkeit. Wir sehen, dass er auf diesem Graphen zwei Phasenübergänge aufweist. Oberhalb des ersten überlebt er für immer mit positiver Wahrscheinlichkeit, oberhalb des zweiten ist zudem der Knoten, auf dem der Kontaktprozess gestartet ist, stets mit positiver Wahrscheinlichkeit infiziert. Schließlich betrachten wir die Zeitdauer, die ein leicht modifizierter, superkritischer Kontaktprozess auf der Small World unter bestimmten Voraussetzungen überlebt. Die wesentliche Dynamik, die wir hierbei ausmachen können, ist, dass auf ein Absinken der Infektionen mit hoher Wahrscheinlichkeit wieder eine Verdopplung der Infektionen folgt.
• In the late nineties the small world graphs were established as models for social and similar networks. In comparison with the Erdös-Rényi graphs they provide a more clustered structure. We analyse the construction of small world graphs and have a closer look at two of them in conjunction with stochastic processes. We investigate the continuous model in regard to the distance of two nodes. By construction the long range neighbours are chosen with the help of the Poisson distribution. The most interesting aspect at this juncture is that this leads to a Yule process on the graph. On the Bollobás-Chung small world we analyse the contact process concerning its survival probability. We see that it exhibits two phase transitions on this graph. Above the first it survives forever with positive probability. Above the second additionaly the node at which the process started is always infected with positive probability. Finally we look at the time duration which a slightly modified and supercritical contact process on the small world survives unter certain conditions. The essential dynamic we can see here is that a dropping of infected nodes is followed by a doubling of the infected nodes with high probability.