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In der vorliegenden Arbeit beschäftigen wir uns mit der Verallgemeinerung des Satzes von Belyi [B]. Dieser besagt, dass eine Riemannsche Fläche Y genau dann als algebraische Kurve über einem Zahlkörper definiert ist, wenn es auf Y eine nicht-konstante holomorphe Funktion gibt, die über höchstens drei Punkten verzweigt. Die Arbeit gliedert sich in zwei Teile. Wir untersuchen darin jeweils die Verallgemeinerung einer der beiden Implikationen aus dem Satz von Belyi auf Varietäten der Dimension zwei und höher. Im ersten Teil der Arbeit zeigen wir, dass eine n-dimensionale projektive komplex algebraische Varietät über einem Zahlkörper definiert ist, falls sie den Pn (oder eine beliebige projektive über Q definierte Varietät) endlich und höchstens über einem rationalen Divisor verzweigt überlagert. Dazu beschreiben wir im ersten Kapitel den Zusammenhang zwischen Varietäten und komplex analytischen Räumen. Wir zeigen, dass die Kategorie der endlichen algebraischen Überlagerungen einer projektiven komplexen Varietät äquivalent zur Kategorie der endlichen verzweigten analytischen Überlagerungen des assoziierten komplex analytischen Raumes ist. Außerdem erläutern wir den Zusammenhang zwischen topologisch unverzweigten Überlagerungen und deren Algebraisierung, den étalen Morphismen zwischen Varietäten. Im zweiten Kapitel führen wir Definitionskörper und Modulkörper von Varietäten ein. Anschließend untersuchen wir die Operation von Körperautomorphismen s E Aut (C/Q) auf komplexen Varietäten. Im dritten Kapitel zeigen wir zunächst, dass der Modulkörper einer endlichen Überlagerung eines geeigneten Grundraumes ein Zahlkörper ist. Danach stellen wir das Resultat von Derome [D] vor, nachdem es einen Definitionskörper im algebraischen Abschluss des Modulkörpers gibt. Daraus folgern wir die Verallgemeinerung dieser Richtung des Satzes von Belyi. Im zweiten Teil beschäftigen wir uns mit der Frage, wie der Verzweigungsdivisor D im Pn aussehen sollte, damit jede über Q definierte Varietät ein Modell besitzt, dass Pn endlich und nur über D verzweigt überlagert. Im vierten Kapitel stellen eine Heuristik zur Korrespondenz zwischen topologischen Überlagerungen und Körpererweiterungen von Q vor. Daraus leitet sich folgende Vermutung ab: Zu jeder über einem Zahlkörper definierten n-dimensionalen Varietät Y gibt es eine birational äquivalente normale Varietät Y und einen Morphismus f : Y -> Pn, der nur über dem Komplement von M0,n+3 verzweigt. Die Vermutung steht im Einklang mit dem eindimensionalen Satz von Belyi. Alle Modulräume erfüllen die Voraussetzung für die im dritten Kapitel bewiesene Umkehrung. Im letzten Kapitel beschäftigen wir uns mit komplex algebraischen Flächen. Wir zeigen, dass die Vermutung aus dem vierten Kapitel für abelsche Flächen richtig ist. Dieses Ergebnis haben wir gemeinsam mit Horst Hammer (Karlsruhe) erzielt. Anschließend geben wir einen Überblick über weitere Resultate in dieser Richtung. Schließlich beschreiben wir die topologischen Überlagerungen von M0,5 und stellen eine Verallgemeinerung der Dessins d'Enfants vor.
Forschungsbedarf. Wenn man die mathematische Entwicklung in der frühen Kindheit als einen ganzheitlichen Prozess betrachtet, so gilt es, die Forschungsperspektive für unterschiedliche Lernorte zu öffnen. Einer dieser Lernorte ist die Familie, in welchem mathematische Bildungsprozesse der frühen Kindheit entscheidend von elterlichem Support beeinflusst werden. Bei der Untersuchung dieses Lernortes ist in der deutschsprachigen Mathematik-didaktik bisher eine Beschränkung auf Interviewstudien zu beobachten, in denen die Vorstellungen und Überzeugungen der Eltern zum Mathematiklernen und zur Mathematik rekonstruiert werden. Beobachtungsstudien, welche unabhängig von der Perspektive der Eltern Realisierungen von Support untersuchen, liegen bisher nicht vor. Die vorliegende Dissertation liefert einen Beitrag zur Bearbeitung dieses spezifischen Forschungsbedarfs in der deutschsprachigen Mathematikdidaktik.
Die Studie. Die durchgeführte, längsschnittlich angelegte Videostudie, die der Dissertation zugrunde liegt, ist der rekonstruktiven Sozialforschung und im Speziellen der Interpretativen Forschung in der Mathematikdidaktik zuzuordnen. Es wurden zehn Vorschulkinder und ihre Mütter ein Jahr lang in offenen Vorlese- und Spielsituationen begleitet. Als Grundlage der Analyse dienen Transkripte von ausgewählten Szenen. Die Transkriptanalyse ist durchgehend am Prinzip der Komparation orientiert und erfolgt zweischrittig: In einer Interaktionsanalyse wird zunächst die interaktionale Entwicklung des mathematischen Themas in der jeweiligen Szenen nachgezeichnet; darauf aufbauend wird die Diskursszene in einer Support-Fokussierung im Hinblick auf das hergestellte Support-System ausgedeutet.
Der Forschungsgegenstand. Gemäß der Verortung in der Interpretativen Forschung wird der Forschungsgegenstand aus sozialkonstruktivistisch-interaktionistischer Perspektive betrachtet. Demzufolge ist der Support in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen kein einseitiges Helfen der Mutter, sondern ein von Mutter und Kind gemeinsam in der Interaktion hergestelltes Support-System.
Ergebnisse. Der Support in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen wird in der vorliegenden Dissertation als ein Mathematics Acquisition Support System (MASS) beschrieben und aus zwei unterschiedlichen Perspektiven beleuchtet.
Die erste Perspektive ist eine allgemein sozialisationstheoretische und zeigt, dass das MASS in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen auf unterschiedliche übergeordnete Aufgaben ausgerichtet sein kann: auf ein Mitmachen, auf einen Entwicklungsfortschritt oder auf eine freie Erkundung des Kindes. Diese Typisierung von Support-Jobs verdeutlicht, dass sich Support-Systeme gegenstandsspezifisch unterscheiden. Während das Discourse Acquisition Support System (DASS), welches im Hinblick auf die Entwicklung von Erzählkompetenz beschrieben
wurde (vgl. Hausendorf und Quasthoff 2005), ausschließlich auf eine übergeordnete Aufgabe ausgerichtet ist, kann das MASS über die Arbeit an unterschiedlichen Support-Jobs hergestellt werden. So sind Vorschulkinder im familialen Kontext in mathematische Diskurse eingebunden, die an unterschiedlichen Support-Jobs ausgerichtet sind. Dieses Ergebnis gewinnt dadurch zusätzliche Bedeutung, dass die Support-Jobs in den mathematischen Mutter-Kind-Diskursen als charakterisierend für die jeweiligen Mutter-Kind-Paare rekonstruiert werden konnten. Sowohl in Komparationen über die Zeit als auch in solchen über das Material etablieren und bearbeiten Mutter und Kind mit einer gewissen Stabilität einen spezifischen Support-Job. Die Biographie von Vorschulkindern als Mathematiklerner wird in der Familie also auf spezifische Weise geprägt.
Die zweite Perspektive ist eine genuin mathematikdidaktische und gliedert sich in zwei Teilperspektiven auf. Eine fokussiert auf das Mathematiklernen, die andere auf die Mathematik. In der Perspektive des Mathematiklernens werden Realisierungen von alltagspädagogischen Konzepten typisiert. Dabei zeigt sich, wie unterschiedlich Vorschulkinder als Mathematiklerner in Support-Systeme eingebunden werden: als Sachkundiger, als Wissender und als Denker (vgl. Olson und Bruner 1996). Anhand dieser gebildeten Typen wird das Forschungsfeld dahingehend strukturiert, welchen Konzepten vom Mathematiklernen und -lehren Vorschulkinder im familialen Kontext begegnen. In der Perspektive der Mathematik wird schließlich erarbeitet, wie Vorschulkinder und ihre Mütter in und mit ihrem je spezifischen MASS die Mathematik in den Sinnbereich ihres Alltags einbinden (vgl. Bachmair 2007): als Hilfsmittel, als Lernstoff und als Beschreibungs- und Denkmittel. Damit sind drei Typen mathematischer Sozialisation im familialen Kontext beschrieben.
Insgesamt macht die Verbindung aus einer allgemein sozialisationstheoretischen und einer mathematikdidaktischen Perspektive umfassend beschreibbar, wie Kinder im familialen Kontext in Support-Systeme zum Mathematiklernen eingebunden sind. Die Bildung unterschiedlicher Typen konnte sowohl im Hinblick auf die allgemeine Fokussierung des MASS als auch im Hinblick auf die damit realisierten Konzepte von Mathematiklernen und Mathematik vor-genommen werden. Damit ist der Lernort der Familie für die frühe mathematische Bildung und den Forschungsgegenstand des Supports strukturiert und anhand von Fallstudien beschrieben. Dieses Forschungsergebnis ist eine neue Einsicht über den bisher nur wenig erforschten Lernort der Familie und gleichzeitig eine Herausforderung für den Mathematikunterricht der Grundschule. Denn im Sinne einer Passung zwischen Familie und Schule gilt es, an die jeweiligen Interaktionserfahrungen der Kinder anzuknüpfen.
Die vorliegende Dissertation analysiert Großinvestorhandelsstrategien in illiquiden Finanzmärkten. Ein Großinvestor beeinflusst die Preise der Wertpapiere, die er handelt, so dass der daraus resultierende Feedbackeffekt berücksichtigt werden muss. Der Preisprozess wird durch eine Familie von cadlag Semimartingalen modelliert, die in dem zusätzlichen Parameter stetig differenzierbar ist. Ziel ist es, eine möglichst allgemeine Strategiemenge zu bestimmen, für die eine Vermögensdynamik definiert werden kann. Es sind dies vorhersehbare Prozesse von wohldefinierter quadratischer Variation entlang Stoppzeiten. Sie erweisen sich als laglad. Die Vermögensdynamikzerlegung zeigt, dass bei stetigen adaptierten Strategien von endlicher Variation (zahme Strategien) die quadratischen Transaktionskostenterme verschwinden und der Gewinnprozess nur noch aus einem nichtlinearen stochastischen Integral besteht. Es wird gezeigt, unter welchen Bedingungen gewisse Approximationen vorhersehbarer laglad Strategien durch adaptierte stetige Strategien von endlicher Variation möglich sind. Im Fall, dass der Approximationsfehler für die Risikoeinstellung des Großinvestors erträglich ist, kann er seine Investmentziele durch Verwendung dieser zahmen Strategien, Liquiditätskosten vermeidend, erreichen. In diesem Fall ist der Gewinnprozess durch das nicht-lineare stochastische Integral gegeben.
Komplexität von Gitterproblemen : Nicht-Approximierbarkeit und Grenzen der Nicht-Approximierbarkeit
(2000)
Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P <> NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO exp(1/log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n/ sqrt(log n) unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q >= N, so daß maxi minp2Z |q alpha i - p| minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen. Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P 6= NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO(1= log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=plog n unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q <= N, so daß maxi ...... minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen alpha1,......, alphan und eine Hauptnennerschranke N einen Nenner ~q mit 1 <= ~q <= f(n)N berechnet, so daß ~q bis auf einen Faktor f(n) = nO(1= log0:5+epsilon n) ein Best Approximations Nenner ist, wobei epsilon > 0 eine beliebige Konstante ist. Wir zeigen, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=log n unter plausiblen Annahmen nicht mölich ist. Wir untersuchen die Konsequenzen dieser Resultate zur Konstruktion von im Durchschnitt schwierigen Gitterproblemen.
Wir führen eine neue Unterklasse der Fourier Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen ein mit dem Ziel, asymptotische Entwicklungen von Hyperfunktionen studieren zu wollen, wie sie für gewisse Distributionenklassen bekannt sind. Wir entwickeln zuerst die Theorie analytischer Funktionale auf Räumen integrabler Funktionen bezüglich Maßen mit Wachstum O(|Re z|^gamma), wobei gamma in R ist, im Unendlichen. Ein an das berühmte Phragmén-Lindelöf-Prinzip erinnerndes, einfaches analytisches Resultat bildet die Basis der Dualitätstheorie dieser Räume zu Funktionen mit festgelegtem Wachstumstyp. Wir studieren diese Dualität analytischer Funktionale mit Wachstumsbedingungen und unbeschränkten Trägern gründlich in einer Dimension unter Verwendung des von den Fourier Hyperfunktionen her bekannten exponentiell abfallenden Cauchy-Hilbert-Kerns. Daraus ergeben sich Analoga zu den Theoremen von Runge und Mittag-Leffler, die die Grundlage für die Garbentheorie der Hyperfunktionen mit polynomialen Wachstumsbedingungen sind, die wir sodann entwickeln. Die für uns wichtigsten neuen Klassen von Fourier Hyperfunktionen sind die von unendlichem Typ, das heißt solche, die wie eine beliebige Potenz wachsen beziehungsweise schneller als jede Potenz abfallen. In n Dimensionen benutzen wir die Fouriertransformation und Dualität um das Verhältnis dieser temperierten beziehungsweise asymptotischen Hyperfunktionen zu bekannten Distributionenräumen zu studieren. Wir leiten Theoreme vom Paley-Wiener-Typ her, die es uns erlauben, unsere Hyperfunktionen in ein Schema zu ordnen, das Wachstumsordnung und Singularität gegenüberstellt. Wir zeigen, daß dieses Schema eine sinvolle Erweiterung des von Gelfand und Shilow zur Charakterisierung von Testfunktionenräumen eingeführten Schemas der Räume S(alpha,beta) um verallgemeinerte Funktionen ist. Schließlich zeigen wir die Nuklearität der temperierten und asymptotischen Hyperfunktionen. Wir zeigen, daß die asymptotischen Hyperfunktionen genau die Klasse bilden, die Moment-asymptotische Entwicklungen erlauben, wie sie von Estrada et al. für Distributionen betrachtet wurden. Estradas Theorie ist damit ein Spezialfall der unsrigen. Für Hyperfunktionen lassen sich aber dank des Konzeptes der standard definierenden Funktionen die Moment-asymptotischen Entwicklungen als klassische asymptotische Entwicklungen von analytischen Funktionen verstehen. Wir zeigen die einfache Beziehung zwischen der Moment-asymptotischen Entwicklung und der Taylorentwicklung der Fouriertransformierten und benutzen dann ein Resultat von Estrada, um die Vollständigkeit unseres Moment-asymptotischen Schemas abzuleiten. Wir geben genaue Bedingungen für die Moment-Folgen von Hyperfunktionen mit kompaktem Träger an, die kürzlich von Kim et al. gefunden wurden. Die asymptotischen Entwicklungen übertragen wir auf den höherdimensionalen Fall, indem wir die von Kaneko und Takiguchi eingeführte Radontransformation für Hyperfunktionen verwenden. Die wohlbekannte Beziehung zwischen Radon- und Fouriertransformation zeigt wiederum das enge Verhältnis von asymptotischer Entwicklung zur Taylorentwicklung der Fouriertransformierten. Wir benutzen Kims Resultate, um die Moment-Folgen von Hyperfunktionen zu charakterisieren, die von Kugeln mit endlichem Radius getragen werden. Schließlich verwenden wir das Träger-Theorem der Radontransformation, um ein Resultat über das Singularitätenspektrum aus Bedingungen an die Radontransformierte abzuleiten.
Wir behandeln Kettenbruchentwicklungen in beliebiger Dimension. Wir geben einen Kettenbruchalgorithmus an, der für beliebige Dimension n simultane diophantische Approximationen berechnet, die bis auf den Faktor 2 exp (n+2)/4 optimal sind. Für einen reellen Eingabevektor x := (x1,...,X n-1, 1) berechnet der Algorithmus eine Folge ganzzahliger Vektoren ....., so daß für i =1, ...., n-1 : | q exp (k) xi -pi exp (k)| <= 2 exp (n+2)/4 sqrt (1 + xi exp 2) / q exp (1/n-1). Nach Sätzen von Dirichlet und Borel ist die Schranke optimal in dem Sinne, als daß der Exponent 1/(n-1) im allgemeinen nicht erhöht werden kann. Der Algorithmus konstruiert eine Folge von Gitterbasen des Zn, welche die Gerade x R approximieren. Für gegebenes E > 0 findet der Algorithmus entweder eine Relation zu x, das heißt einen ganzzahligen zu x orthogonalen Vektor (ungleich Null), mit euklidischer Länge kleiner oder gleich E exp -1, oder er schließt Relationen zu x mit euklidischer Länge kleiner als E exp -1 aus. Der Algorithmus führt in der Dimension n und |log E| polynomial viele arithmetische Operationen auf rellen Zahlen in exakter Arithmetik aus. Für rationale Eingaben x := (p1, ....., pn)/pn, E>0 mit p1,.....,pn Teil von Z besitzt der Algorithmus polynomiale Bitkomplexität in O........ Eine Variante dieses Algorithmus konstruiert für Eingabevektoren x einen (von x nicht notwendigerweise verschiedenen) Nahebeipunkt x' zu x und eine kurze Relation zu x'. Im Falle x<>x können wir die Existenz von Relationen kleiner als (2E)exp -1 für Punkte in einer kleinen offenen Umgebung um x' ausschließen. Wir erhalten in diesem Sinne eine stetige untere Schranke für die Länge der kürzesten Relation zu Punkten in dieser Umgebung. Die für x' berechnete Relation ist bis auf einen in der Dimension n exponentiellen Faktor kürzeste Relation für x'. Zur Implementierung des Kettenbruchalgorithmus stellen wir ein numerisch stabiles Verfahren vor und berichten über experimentelle Ergebnisse. Wir geben untere Schranken für die Approximierbarkeit kürzester Relationen in der Maximum-Norm und minimaler diophantischer Approximationen an: Unter der Annahme, daß die Klasse NP nicht in der deterministischen Zeitklasse O(n exp poly log n) enthalten ist, zeigen wir: Es existiert kein Algorithmus, der für rationale Eingabevektoren x polynomial in der Bitlänge bin(x) von x ist und die in der Maximum-Norm kürzeste Relation bis auf einen Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) approximiert. Dabei ist zeta eine beliebig kleine positive Konstante. Wir übertragen dieses Resultat auf das Problem, zu gegebenen rationalen Zahlen x1,....,xn-1 und einem rationalen E > 0 gute simultane diophantische Approximationen zu finden, das heißt rationale Zahlen p1/q,...; (p n-1/)q mit möglichst kleinem Hauptnenner q zu konstruieren, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| <= E. Wir zeigen unter obiger Annahme, daß kein Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen x1,........,x n-1 und natürlicher Zahl N polynomial-Zeit in der Bitlänge bin(x) von x ist und simultane diophantische Approximationen berechnet, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| für q gehört zu [1, N] bis auf den Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) minimal ist. Hierbei ist zeta wieder eine beliebig kleine positive Konstante.
Im Zentrum dieser Arbeit steht die Operation der Gruppe Gamma:=SL_n(Z[1/m]) auf dem symmetrischen Raum M:=SL_n(R)/SO(n). Allgemeiner betrachten wir die Operation rho:Gamma->Isom(M) einer S-arithmetischen algebraischen Gruppe durch Isometrien auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Die symmetrischen Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Krümmung und daher insbesondere CAT(0)-Räume. R. Bieri und R. Geoghegan haben für die Operation rho:G->Isom(M) einer abstrakten Gruppe G auf einem CAT(0)-Raum M die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) als Teilmenge des Randes von M eingeführt (vgl. [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003]). Die Fokusierung, die durch die geometrischen Invarianten erreicht wird, hat sich in vielen Fällen bewährt, in denen eine Operation durch Translationen auf dem euklidischen Raum zur Verfügung steht. Über die Invarianten von anderen CAT(0)-Operationen ist noch wenig bekannt. In der vorliegenden Arbeit berechnen wir nun die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) für die oben erwähnte Operation rho der S-arithmetischen Gruppe Gamma auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Wir erhalten für die Gruppe SL_n(Z[1/m]) die folgende Invariante: Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M, falls k kleiner als s(n-1) ist; Sigma^k(rho) ist die Menge aller Randpunkte e von M, die nicht im Rand eines rational definierten flachen Unterraum von M liegen, falls k größer oder gleich s(n-1) ist. Hierbei ist s die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. Die obigen Resultate sind eine Verallgemeinerung derer in [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Controlled Connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. Der Beweis, den wir geben, besteht aus einer Vereinfachung des Beweises von Bieri und Geoghegan, die dann auf die allgemeinere Situation angepasst werden konnte. Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn wir für eine Operation rho auf M die Zahlen k betrachten, für die gilt: (*) Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M. Operiert die Gruppe Gamma mit diskreten Bahnen, dann ist (*) äquivalent zur Eigenschaft, daß die Punktstabilisatoren Gamma_a, für a aus M, vom Typ F_k sind. Die Eigenschaft (*) ist auch von Interesse für S-arithmetische Untergruppen einer linearen algebraischen Gruppe über einem Funktionenkörper. Wir zeigen, daß es hier eine naheliegende Operation rho' auf einem Bruhat-Tits Gebäude M' gibt, so daß Gamma' ein Punktstabilisator und damit die Eigenschaft (*) mit der Eigenschaft "Gamma' ist vom Typ F_k" zusammenfällt. Im Zahlkörperfall sind die Verhältnisse ganz anders. Unsere S-arithmetischen Gruppen operieren auf dem symmetrischen Raum M nicht mit diskreten Bahnen und sind durchwegs vom Typ F_k für alle k. Dagegen erlaubt unser Hauptresultat die Bestimmung der Zahlen k mit der Eigenschaft (*) und zeigt eine interessante Abhängigkeit von s=|S| und dem Rang r der algebraischen Gruppen (rho erfüllt (*) <=> k<rs). Das Hauptresultat wird außerdem nicht nur für SL_n(Q), sondern allgemeiner für Chevalley-Guppen über Q oder Q(i) gezeigt, so daß wir damit für eine Reihe von klassischen CAT(0)-Operationen die Invarianten Sigma^k(rho) bestimmt haben.