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Mit den Small World Graphen stehen seit Ende der Neunzigerjahre Modelle für soziale und ähnliche Netzwerke, die im Vergleich zu Erdös-Rényi-Graphen stärker Cluster ausbilden, zur Verfügung. Wir betrachten die Konstruktion dieser Graphen und untersuchen zwei der Modelle genauer im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen. Das stetige Modell betrachten wir hinsichtlich dem Abstand zweier Knoten. Der interessanteste Aspekt hierbei ist, dass man bei der Konstruktion des Graphen die entfernten Nachbarn mithilfe der Poissonverteilung wählt und in der Folge einen Yule-Prozess auf dem Graphen erhält. Auf der Bollobás-Chung Small World lassen wir den Kontaktprozess ablaufen und untersuchen diesen bezüglich seiner Überlebenswahrscheinlichkeit. Wir sehen, dass er auf diesem Graphen zwei Phasenübergänge aufweist. Oberhalb des ersten überlebt er für immer mit positiver Wahrscheinlichkeit, oberhalb des zweiten ist zudem der Knoten, auf dem der Kontaktprozess gestartet ist, stets mit positiver Wahrscheinlichkeit infiziert. Schließlich betrachten wir die Zeitdauer, die ein leicht modifizierter, superkritischer Kontaktprozess auf der Small World unter bestimmten Voraussetzungen überlebt. Die wesentliche Dynamik, die wir hierbei ausmachen können, ist, dass auf ein Absinken der Infektionen mit hoher Wahrscheinlichkeit wieder eine Verdopplung der Infektionen folgt.
Eine Billion ist mathematisch leicht darstellbar. Es ist eine Eins mit 12 Nullen: 1 000 000 000 000, mathematisch kurz und prägnant als 10^12 geschrieben. Aber darstellbar heißt nicht unbedingt vorstellbar. Versuchen wir, diese Anzahlen zu veranschaulichen, entstehen teilweise surreale, aber einprägsame Bilder.
Martin Möller, Professor für Algebra und Geometrie an der Goethe-Universität, erhält in der dritten Ausschreibungsrunde des European Research Council (ERC) einen »Starting Independent Researcher Grant«. Mit dem 2007 erstmals ausgeschriebenen Programm der ERC-Grants will die Europäische Union (EU) europaweit kreative Wissenschaftler und zukunftsweisende Projekte fördern. Für den Bereich »Physical Sciences and Engineering « waren 1205 Bewerbungen aus der ganzen Welt eingegangen, 2873 für die Ausschreibung insgesamt. Alleiniges Kriterium bei der Begutachtung der Anträge ist wissenschaftliche Exzellenz. Mit den vom ERC bewilligten Mitteln in Höhe von einer Million Euro für die nächsten fünf Jahre will Möller seine Forschergruppe um vier Mitarbeiter erweitern.
In dieser Arbeit werden die mathematischen Grundlagen zur Konstruktion der primären Felder der minimalen Modelle der konformen Quantenfeldtheorie beschrieben. Wir untersuchen Verma und Fock-Moduln der Virasoro-Algebra und klassifizieren diese Moduln bezüglich der Struktur der (ko-) singulären Vektoren. Wir definieren die Vertex-Operatoren zwischen gewissen Fock-Moduln (die eine kanonische Hilbertraumstruktur besitzen) und beweisen verschiedene Eigenschaften dieser Operatoren: Unter bestimmten Voraussetzungen sind Vertex-Operatoren dicht definierte, nicht abschließbare Operatoren zwischen den Fock-Moduln. Radialgeordnete Produkte von Vertex-Operatoren existieren auf einem dichten Teilraum. Wir beweisen Kommutatorrelationen zwischen Vertex-Operatoren und den Generatoren der Virasoro-Algebra. Dann definieren wir die integrierten Vertex-Operatoren und zeigen, daß diese Operatoren im wesentlichen wieder die Eigenschaften der nichtintegrierten Vertex-Operatoren haben. Gewisse integrierte Vertex-Operatoren können mit konformen Felder identifiziert werden. Ein unter den Vertex-Operatoren invarianter Unterraum der Fock-Moduln kann mit dem physikalischen Zustandsraum identifiziert werden.
Gitter sind diskrete additive Untergruppen des Rn. Praktische Bedeutung erlangte die Gittertheorie durch effziente Algorithmen zur Gitterbasenreduktion, mit deren Hilfe Optimierungsprobleme gelöst werden können. Der erste dieser Algorithmen wurde von Lenstra, Lenstra und Lovasz entwickelt. Schnorr und Euchner entwickelten effizientere Algorithmen. Sie untersuchten die Güte der Reduktion anhand von Rucksack-Problemen. Bei einem Rucksack-Problem der Dimension n müssen aus einer gegebenen Menge von n Gewichten diejenigen bestimmt werden, die zusammen einen gegeben Rucksack genau ausfüllen. Die Algorithmen von Schnorr und Euchner lösen fast alle Rucksack-Probleme der Dimensionen 42 bis 66. Meine neuen verbesserten Algorithmen lösen einen noch größeren Anteil der Rucksack-Probleme in kürzerer Rechenzeit. Gleichzeitig sind sie in Dimensionen 103 bis 151. Coster, Joux, LaMacchia. Odlyzko, Schnorr und Stern geben eine untere Schranke für die Größe der Gewichte von Rucksack-Problemen an, die fast immer gelöst werden können. Die Gewichte werden zufällig aus einem Intervall natüurlicher Zahlen gewählt. Dieses Ergebnis erweitere ich auf k-fache Rucksack-Probleme. Weiterhin kann für für die Wahl jedes Gewichtes eine beliebige Menge ganzer Zahlen festgelegt werden. Ebenso sind Mengen mit nur einem Element zulässig.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der BFV-Reduktion von Hamiltonschen Systemen mit erstklassigen Zwangsbedingungen im Rahmen der klassischen Hamiltonschen Mechanik und im Rahmen der Deformationsquantisierung. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei Zwangsbedingungen zuteil, die als Nullfaser singulärer äquivarianter Impulsabbildungen entstehen. Es ist schon länger bekannt, daß für Nullfasern regulärer äquivarianter Impulsabbildungen die in der theoretischen Physik gebräuchliche Methode der BFV-Reduktion zur Phasenraumreduktion nach Marsden/Weinstein äquivalent ist. In [24] konnte gezeigt werden, daß in dieser Situation die BFV-Reduktion sich auch im Rahmen der Deformationsquantisierung natürlich formulieren läßt und erfolgreich zur Konstruktion von Sternprodukten auf Marsden/Weinstein-Quotienten verwendet werden kann. Ein Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit besteht in der Verallgemeinerung der Ergebnisse aus [24] auf den Fall singulärer Impulsabbildungen, deren Komponenten 1.) das Verschwindungsideal der Zwangsfläche erzeugen und 2.) einen vollständigen Durchschnitt bilden. Die Argumentation von [24] wird durch Gebrauch der Störungslemmata aus dem Anhang A.1 systematisiert und vereinfacht. Zum Existenzbeweis von stetigen Homotopien und stetiger Fortsetzungsabbildung für die Koszulauflösung werden der Zerfällungssatz und der Fortsetzungssatz von Bierstone und Schwarz [20] benutzt. Außerdem wird ein ’Jacobisches Kriterium’ für die Überprüfung von Bedingung 2.) angegeben. Basierend auf diesem Kriterium und Techniken aus [3] werden die Bedingungen 1.) und 2.) an einer Reihe von Beispielen getestet. Als Korollar erhält man den Beweis dafür, daß es symplektisch stratifizierte Räume gibt, die keine Orbifaltigkeiten sind und dennoch eine stetige Deformationsquantisierung zulassen. Ferner wird (ähnlich zu [92]) eine konzeptionielle Erklärung dafür gegeben, warum im Fall vollständiger Durchschnitte das Problem der Quantisierung der BRST-Ladung eine so einfache Lösung hat. Bildet die Impulsabbildung eine erstklassige Zwangsbedingung, ist aber kein vollständiger Durchschnitt, dann ist es im allgemeinen nicht bekannt, wie entsprechende Quantenreduktionsresultate zu erzielen sind. Ein Hauptaugenmerk der Untersuchung wird es deshalb sein, in dieser Situation die klassische BFV-Reduktion besser zu verstehen – natürlich in der Hoffnung, Grundlagen für eine etwaige (Deformations-)Quantisierung zu liefern. Wir werden feststellen, daß es zwei Gründe gibt, die Tate-Erzeuger (alias: Antigeister höheren Niveaus) notwendig machen: die Topologie der Zwangsfläche und die Singularitätentheorie der Impulsabbildung. Die Zahl der Tate-Erzeuger kann durch Übergang zu projektiven Tate-Erzeugern, also Vektorbündeln, verringert werden. Allerdings sorgt Halperins Starrheitssatz [57] dafür, daß im wesentlichen alle Fälle, für die die Zwangsfläche kein lokal vollständiger Durchschnitt ist, zu unendlich vielen Tate-Erzeugern führen. Erzeugen die Komponenten einer Impulsabbildung einer linearen symplektischen Gruppenwirkung das Verschwindungsideal der Zwangsfläche, so kann man eine lokal endliche Tate-Auflösung finden. Diese besitzt nach dem Fortsetzungssatz und dem Zerfällungssatz von Bierstone und Schwarz stetige, kontrahierende Homotopien. Ausgehend von einer solchen Tate-Auflösung konstruieren wir, die klassische BFV-Konstruktion für vollständige Durchschnitte verallgemeinernd, eine graduierte superkommutative Algebra. Wir können zeigen, daß diese graduierte Algebra auch im Vektorbündelfall eine graduierte Poissonklammer besitzt, die sogenannte Rothstein-Poissonklammer. Die Existenz einer solchen Poissonklammer war bereits von Rothstein [87] für die einfachere Situation einer symplektischen Supermannigfaltigkeit bewiesen worden. Darüberhinaus werden wir sehen, daß es auch im Vektorbündelfall eine BRST-Ladung gibt. Diese sieht im Fall von Impulsabbildungen etwas einfacher aus als für allgemeine erstklassige Zwangsbedingungen. Insgesamt wird also die klassische BFV-Konstruktion [95] auf den Fall projektiver Tate-Erzeuger verallgemeinert, und als eine Homotopieäquivalenz in der additiven Kategorie der Fréchet-Räume interpretiert.
ranching Processes in Random Environment (BPREs) $(Z_n:n\geq0)$ are the generalization of Galton-Watson processes where \lq in each generation' the reproduction law is picked randomly in an i.i.d. manner. The associated random walk of the environment has increments distributed like the logarithmic mean of the offspring distributions. This random walk plays a key role in the asymptotic behavior. In this paper, we study the upper large deviations of the BPRE $Z$ when the reproduction law may have heavy tails. More precisely, we obtain an expression for the limit of $-\log \mathbb{P}(Z_n\geq \exp(\theta n))/n$ when $n\rightarrow \infty$. It depends on the rate function of the associated random walk of the environment, the logarithmic cost of survival $\gamma:=-\lim_{n\rightarrow\infty} \log \mathbb{P}(Z_n>0)/n$ and the polynomial rate of decay $\beta$ of the tail distribution of $Z_1$. This rate function can be interpreted as the optimal way to reach a given "large" value. We then compute the rate function when the reproduction law does not have heavy tails. Our results generalize the results of B\"oinghoff $\&$ Kersting (2009) and Bansaye $\&$ Berestycki (2008) for upper large deviations. Finally, we derive the upper large deviations for the Galton-Watson processes with heavy tails.