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We present new results on nonlocal Dirichlet problems established by means of suitable spectral theoretic and variational methods, taking care of the nonlocal feature of the operators. We mainly address: First, we estimate the Morse index of radially symmetric sign changing bounded weak solutions to a semilinear Dirichlet problem involving the fractional Laplacian. In particular, we derive a conjecture due to Bañuelos and Kulczycki on the geometric structure of the second Dirichlet eigenfunctions. Secondly, we study a small order asymptotics with respect to the parameter s of the Dirichlet eigenvalues problem for the fractional Laplacian. Thirdly, we deal with the logarithmic Schrödinger operator. In particular, we provide an alternative to derive the singular integral representation corresponding to the associated Fourier symbol and introduce tools and functional analytic framework for variational studies. Finaly, we study nonlocal operators of order strictly below one. In particular, we investigate interior regularity properties of weak solutions to the associated Poisson problem depending on the regularity of the right-hand side.
Der vorliegende Beitrag beschreibt den theoretischen Hintergrund und das Design des Projekts GLUE (Gemeinsame Lern-Umgebungen Entwickeln). Die Konzeption der Gemeinsamen Lern-Umgebungen zielt im Sinne der Prinzipien des ‚Universal Design of Learning‘ (Hall, Meyer & Rose, 2012) darauf ab, den inklusiven Mathematikunterricht von einem gemeinsamen Lerngegenstand aus zu denken, der einerseits Zugänglichkeit für alle Lernenden schafft und andererseits Unterstützungsmaßnahmen auf unterschiedlichen Niveaustufen zulässt.
Das Projekt geht der Frage nach, wie sich die Kompetenzentwicklung von berufserfahrenen Lehrkräften der allgemeinen Schule und für sonderpädagogische Förderung durch Fortbildungsangebote zum inklusiven Mathematikunterricht wirksam unterstützen lässt. Hierzu wurde ein Blended-Learning-Angebot zur Entwicklung gemeinsamer Lernumgebungen für alle Kinder einer Lerngruppe erarbeitet, die sich auch von mehreren Lehrkräften gemeinsam entwickeln lassen.
In diesem Beitrag werden der theoretische Hintergrund, die Konzeption und die methodische Anlage des Projekts vorgestellt. Kapitel 1 befasst sich mit Differenzieren und Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe, Kapitel 2 diskutiert zentrale Befunde zur Wirksamkeit von Lehrerfortbildungsmaßnahmen sowie zu Blended-Learning-Angeboten. Im dritten Kapitel werden auf dieser Grundlage die Ziele des Projekts (Kap. 3.1), die Inhalte und die Struktur des Fortbildungsangebots (Kap., 3.2), die Forschungsfragen (Kap. 3.3) und das Design der Interventionsstudie dargestellt (Kap. 3.4). Die Wirksamkeit wird in einem ausbalancierten Prä-Post-Follow-Up-Test-Design im Vergleich zu unbegleiteten Online-Angeboten evaluiert, die Ergebnisse sollen in einer Folgepublikation kommuniziert werden.
Das Werk der österreichischen Autorin Brigitta Falkner beruht auf einem unerschöpflichen Prozess der Grenzüberschreitung und der Hybridisierung. Daraus folgt u. a. eine Erweiterung der Grenzen des Literarischen: Biologie, Mathematik, Physik und andere Wissenschaften werden überraschende Akteurinnen in der neuen 'Ordnung der Dinge', die Falkner in ihren Produktionen verwirklicht.
Mathematische Basiskompetenzen gelten als wichtiger Prädiktor für die schulische Mathematikleistung. Ebenso offenbaren Studien eine prädiktive Wirkung des selbstregulierten Lernens auf die akademische Leistung. Die Ergebnisse mehrerer Studien zeigen, dass Kinder mit Migrationshintergrund im deutschen Schulsystem schlechter abschneiden. Schon in der Grundschule weisen diese Kinder im Fach Mathematik schlechtere Leistungen auf als ihre Mitschüler[innen] ohne Migrationshintergrund. Vermutlich kann dieser Umstand mit schlechteren Ausgangsbedingungen im mathematischen Vorwissen begründet werden. Darüber hinaus spielen auch mangelnde Sprachfähigkeiten in der Unterrichtssprache eine wichtige Rolle. Daher sollten die fehlenden Kompetenzen im Anfangsunterricht entwicklungsorientiert aufgebaut werden. Zusätzlich sollten auch Methoden zum selbstregulierten Lernen frühzeitig vermittelt werden, da diese Fähigkeit die Übertragung fachlicher Förderungen auf weiterführende Inhalte erleichtert und eine Voraussetzung für die gelingende Umsetzung verschiedener Unterrichtsmethoden darstellt. In der Praxis werden entsprechende Konzepte bislang allerdings nur vereinzelt umgesetzt.
In der vorliegenden Studie sollten daher die Lernvoraussetzungen von Kindern mit Migrationshintergrund in den mathematischen Basiskompetenzen und im selbstregulierten Lernen überprüft werden. Im Anschluss hieran sollte erprobt werden, ob sich die Kombination aus einem Training zur Förderung mathematischer Basiskompetenzen sowie einem Programm zur Förderung selbstregulierten Lernens als Unterrichtskonzept für den Anfangsunterricht mit Kindern mit Migrationshintergrund eignet und hiermit die Disparitäten in den Lernvoraussetzungen der migrierten Kinder ausgeglichen werden können. Hierfür wurde das ursprünglich für den vorschulischen Einsatz konzipierte Trainingsprogramm „Mengen, zählen, Zahlen“ (MZZ, Krajewski, Nieding & Schneider 2007) sowie ein von Otto (2007) ausgearbeitetes Konzept mit selbstregulativen Inhalten (SRL) für den unterrichtsintegrierten Einsatz im Erstunterricht adaptiert. Für die Teilnahme an der Studie konnten 30 Grundschulklassen rekrutiert werden. 517 Schüler[innen] wurden klassenweise einer von drei Versuchsbedingungen zugeordnet: (1) Der ersten Experimentalgruppe, in der die Trainingskombination in der Reihenfolge erst SRL, dann MZZ durchgeführt wurde (EGSRL+MZZ) oder (2) der zweiten Experimentalgruppe, die die Trainingskombination in der umgekehrten Reihenfolge (EGMZZ+SRL) erhielt oder (3) der Kontrollgruppe (KG), in der der reguläre Mathematikunterricht erfolgte. Die Durchführung der Trainingskombination wurde von den jeweiligen Mathematiklehrkräften vorgenommen. Vor der Implementierung der Trainingsprogramme erfolgte eine Erfassung der mathematischen Basiskompetenzen, der Fähigkeiten im selbstregulierten Lernen sowie der Fähigkeiten im Wortverständnis. Zur Überprüfung der Wirksamkeit wurden im Anschluss an die Durchführung der Trainingskombination diese Fähigkeiten erneut erhoben. Zudem wurde die Transferwirkung auf die Fähigkeiten im Basisrechnen untersucht. Ein halbes Jahr später erfolgte eine Follow-up-Untersuchung, bei der abermals die Fähigkeiten im selbstregulierten Lernen sowie der Transfer auf das Basisrechnen und die curriculare Mathematikleitung erfasst wurden.
Die Ergebnisse offenbarten für Kinder mit Migrationshintergrund ein schlechteres Vorwissen in den mathematischen Basiskompetenzen. Hinsichtlich der Fähigkeiten im selbstregulierten Lernen konnten keine Unterschiede gefunden werden. Die Ergebnisse des Posttests konnten einen größeren Kompetenzzuwachs in den mathematischen Basiskompetenzen bei den Kindern mit Migrationshintergrund der ersten Experimentalgruppe (EGSRL+MZZ) im Vergleich zu den Kindern mit Migrationshintergrund der Kontrollgruppe nachweisen. Zudem zeigten sich positive Transfereffekte auf das Basisrechnen. Transfereffekte auf die curriculare Mathematikleistung wurden bei den Kindern mit Migrationshintergrund dagegen nicht ersichtlich. Hinsichtlich der Fähigkeiten im selbstregulierten Lernen ließen sich bei den Kindern mit Migrationshintergrund keine Trainingseffekte aufdecken. In Bezug auf die Kompensation der lückenhaften Lernvoraussetzungen in den mathematischen Basiskompetenzen bei Kindern mit Migrationshintergrund konnte für die erste Experimentalgruppe (EGSRL+MZZ) ein höherer Lernzuwachs bei Kindern nicht deutscher Herkunft festgestellt werden. Bei der zweiten Experimentalgruppe (EGMZZ+SRL) zeigten sich zwar keine Unterschiede zwischen Kindern mit und ohne Migrationshintergrund, doch es offenbarte sich, dass Kinder mit deutscher Muttersprache von der Trainingskombination im Hinblick auf ihre mathematischen Basiskompetenzen mehr profitieren. Die Ergebnisse verweisen auf die Bedeutung der sprachlichen Fähigkeiten bei der entwicklungsorientierten Förderung mathematischer Kompetenzen und werden vor dem Hintergrund einer Ausarbeitung zu einem flächendeckend einsetzbaren Unterrichtskonzept diskutiert.
Das Vertrauen vieler Menschen in ihre mathematischen und musikalischen Fähigkeiten ist oftmals sehr niedrig ausgeprägt oder wenig ausdifferenziert. Sie glauben, dass sie in dem einen oder anderen Fach (oder beiden) nicht gut seien. Hinzukommt, dass die Aussage „Ich kann nicht singen“ oder „Mathematik habe ich noch nie verstanden“ durchaus gesellschaftsfähig ist und sie nicht daran hindern muss, eine erfolgreiche Karriere zu durchlaufen, noch wird es die Meinung anderer über sie ändern.
Das Projekt „European Music Portfolio – Sounding Ways into Mathematics“ (EMP-Maths) möchte dieses Verständnis ändern. Jeder kann singen und Musik machen und jeder kann Mathematik treiben. Beide Themen sind integraler Bestandteil unseres Lebens und unserer Gesellschaft. Was geändert werden muss, ist das Bild von diesen beiden Fächern und die Fähigkeit von Lehrpersonen, Lernenden die Gelegenheit zu geben, dieses zu verändern und die beiden Fächer als bereichernd für die Lebensgestaltung einzustufen.
Beispielhaft wird im Arbeitsbuch eine Aktivität vorgestellt, in welcher Mathematik und Musik in einer Unterrichtssequenz miteinander verbunden werden. Weitere Aktivitäten, die in der Schule genutzt werden können, finden sich im Handbuch für Lehrerinnen und Lehrer. Viele weitere Beispiele und Vorschläge sind bereits vorhanden (siehe Web-Seite des Projekts) und wir möchten jeden ermutigen, sie zu nutzen. Die Auswahl im Handbuch deckt einige zentralen Felder der Mathematik und der Musik ab: Singen, Tanzen, Hören, Probleme lösen, Zahlen, Messen, Raum und Form. Mit diesem Ansatz wollen wir das Projekt an die Kerncurricula der beteiligten Länder anbinden: Deutschland, Griechenland, Rumänien, Slowakei, Spanien, Schweiz und Großbritannien. Die Dokumentation der Beispiele erfolgt in einer Art von Didaktischen Design Patterns, deren Struktur an die Anforderungen des Projekts angepasst wurde.
Das Projekt „Sounding Ways into Mathematics“ stellt Aktivitäten mit unterschiedlichen mathematischen und musikalischen Inhalten vor, um Lehrpersonen ein möglichst breites Spektrum an Hilfsmitteln, Ideen und Beispielen anbieten zu können. Diese Aktivitäten sind so aufgebaut, dass sie erweiter- und anpassbar an unterschiedliche Kontexte sowie auf die Bedürfnisse einer jeden Lehrperson und deren Schülerinnen und Schülern sind. Ferner wurden diese Aktivitäten nicht nur entwickelt, um von der Lehrperson instruktiv ausgeführt zu werden, sondern, um sie gemeinsam mit der Lerngruppe zu nutzen und eventuell sogar gemeinsam zu verändern und weiter zu entwickeln.
Das Projekt „Sounding Ways into Mathematics“ steht in Verbindung zum EMP-Sprachen Projekt „A creative Way into Languages“ (http://emportfolio.eu/emp/).
European Music Portfolio (EMP) – Maths: 'Sounding ways into mathematics' : teacher’s handbook
(2016)
Music and mathematics share an odd character: many people believe that they are not good at one or the other (or both). However, ‘I cannot sing’ or ‘I never understood mathematics’ will probably not keep them from having successful careers, and nor will it change the opinions others have about them.
The project ‘European Music Portfolio – Sounding Ways into Mathematics’ (EMP-Maths) aims towards a different understanding with regards to this character. Everyone can sing and make music, and everyone can do mathematics. Both topics are integral parts of our life and society. What needs to be improved is our ability to give students opportunities to like them.
This teacher’s handbook presents activities with different mathematical and musical content in order to offer teachers resources, ideas and examples. These activities are designed to be expandable, adaptable to different contexts, and adjustable to the needs of each teacher and their students. Furthermore, these activities are not just planned to be carried out individually; a teaching unit could be used to make sense of them, or they could even be developed in connection with each other.
Apart from this teacher’s handbook, the project provides a continuing professional development (CPD) course, a webpage (http://maths.emportfolio.eu) from which all materials can be downloaded, and an online collaboration platform. A general overview of related literature and research is available in separate documents. Additional teacher booklets provide related materials and a brief overview of the theoretical background, and are the basis for the CPD courses. The project ‘Sounding Ways into Mathematics’ is related to the EMP-Languages project ‘A Creative Way into Languages’ (http://emportfolio.eu/emp/).
Musik und Mathematik haben eine Sache gemeinsam: viele Menschen glauben, dass sie in dem einen oder anderen Fach (oder beiden) nicht gut seien. Schlimmer noch, die Aussage „Ich kann nicht singen“ oder „Mathematik habe ich noch nie verstanden“ wird sie sicher nicht von einer erfolgreichen Karriere abhalten, noch wird es die Meinung anderer über sie ändern.
Das Projekt „European Music Portfolio – Sounding Ways into Mathematics“ (EMP-Maths) möchte dieses Verständnis ändern. Jeder kann singen und Musik machen und jeder kann Mathematik treiben. Beide Themen sind integraler Bestandteil unseres Lebens und unserer Gesellschaft. Was geändert werden muss, ist die Fähigkeit von Lehrpersonen, Lernenden die Gelegenheit zu geben, sie zu mögen.
Dieses Handbuch für Lehrpersonen stellt Aktivitäten mit unterschiedlichen mathematischen und musikalischen Inhalten vor, um Lehrpersonen ein möglichst breites Spektrum an Hilfsmitteln, Ideen und Beispielen anbieten zu können. Diese Aktivitäten sind so aufgebaut, dass sie erweiter- und anpassbar an unterschiedliche Kontexte sowie auf die Bedürfnisse einer jeden Lehrperson und deren Schülerinnen und Schülern sind. Ferner wurden diese Aktivitäten nicht nur entwickelt, um von der Lehrperson instruktiv ausgeführt zu werden, sondern, um sie gemeinsam mit der Lerngruppe zu nutzen und eventuell sogar gemeinsam zu verändern und weiter zu entwickeln.
Neben diesem Handbuch stellt das Projekt Weiterbildungsangebote zur Verfügung, eine Web-Seite (http://maths.emportfolio.eu), von der Materialien heruntergeladen werden können sowie eine Online Plattform zur interaktiven Zusammenarbeit. Ein Überblick über relevante Literatur und Forschung ist in einem separaten Dokument zusammengestellt. Zusätzliche Arbeitsbücher für Lehrpersonen enthalten weitere Aktivitäten sowie ausgewählte Aspekte aus dem hier zusammengestellten theoretischen Hintergrund. Diese Arbeitsbücher bilden die Grundlage der Weiterbildungskurse. Das Projekt „Sounding Ways into Mathematics“ steht in Verbindung zum EMP-Sprachen Projekt „A creative Way into Languages“ (http://emportfolio.eu/emp/).
"Wellenformen" : die Leistung mathematischer Modellbildung für Akustik, Physiologie und Musiktheorie
(2016)
Im Jahr 1857 hält Hermann von Helmholtz einen Vortrag 'Ueber die physiologischen Ursachen der musikalischen Harmonien', in dem er erstmals Ergebnisse seiner akustischen und hörphysiologischen Forschungen einer akademischen Öffentlichkeit vorstellt. Dabei bilden die Untersuchungen und Experimente, die Helmholtz im Rahmen seiner Tätigkeit als Professor für Anatomie und Physiologie an der Universität Bonn durchgeführt hat, Grundlage und Ausgangspunkt einer umfassenden Neukonstitution von Wissenszusammenhängen, in deren Zuge ältere Wissensbestände arrondiert, im Lichte neuer Erkenntnisse bewertet, erweitert, neu gefasst und in ausgearbeiteter Form sechs Jahre später unter dem Titel 'Die Lehre von den Tonempfindungen' veröffentlicht werden. In den einleitenden Worten seines Vortrages aus dem Jahr 1857 verweist Helmholtz in diesem Kontext auf einen Aspekt, der ihm offenkundig von großer Signifikanz zu sein scheint:
"Es hat mich immer als ein wunderbares und besonders interessantes Geheimnis angezogen, dass gerade in der Lehre von den Tönen, in den physikalischen und technischen Fundamenten der Musik, die unter allen Künsten in ihrer Wirkung auf das Gemüth als die stoffloseste, flüchtigste und zarteste Urheberin unberechenbarer und unbeschreiblicher Stimmungen erscheint, die Wissenschaft des reinsten und consequentesten Denkens, die Mathematik, sich so fruchtbar erwies."
Bemerkenswert an dieser Aussage ist nicht, dass Musik und Mathematik in eine enge Beziehung zueinander gesetzt werden - hier kann Helmholtz auf eine über zweitausendjährige Tradition der wechselseitigen Elaboration beider Bereiche verweisen -, sondern dass Darlegungen, die auf die systematische Durchdringung der Zusammenhänge zwischen akustischen, physiologischen, psychischen, musiktheoretischen und ästhetischen Phänomenbereichen zielen, ihren Ausgangspunkt in der Mathematik nehmen. Diesen Leistungen, die mathematisches Denken für die Untersuchung und Explikation dieser Zusammenhänge erbringt, möchte der folgende Beitrag nachgehen. Es wird sich zeigen, dass eine spezifische mathematische Operation für das Verständnis von akustischen und physiologischen Prozessen modellbildend wirkt und über verschiedene Applikationswege hinweg neue Impulse der Systematisierung von Wissensbeständen setzt.
Das Ziel des Beitrags besteht darin, jene Formelideale in der Mathematik und in der Ökonomik zu identifizieren, um anschließend Überlegungen darüber anzustellen, auf welche Art und Weise diese Ideale den logischen Spielraum der Problemlösung erweitern oder einengen. Ganz entscheidend hierfür ist das Verhältnis von Internalitäten und Externalitäten; also ob bzw. welche Umweltbezüge in der Formelsprache eingeschlossen oder ausgeschlossen werden. Die Analyse erfolgt aus wissenssoziologischer Perspektive, die die mathematische, mit Blick auf die Ökonomik vorsichtiger formuliert: die pseudo-mathematische Formelsprache als eine spezifische Semantik versteht. Hierbei handelt es sich nicht nur um eine Semantik, die sich der durch die gesellschaftliche Differenzierung ausgelösten Komplexitätssteigerung anpasst. Die Evolution der mathematischen und wirtschaftswissenschaftlichen Semantik befolgt zudem, so meine These, paradigmatische Ideale, die in den spezifischen Disziplinen angelegt sind. Dies spiegelt sich in der Art und Weise wider, wie in den jeweiligen Disziplinen auf mathematisch-kalkulatorischer Modellebene einerseits eine Geschlossenheit und Binnenreferenzialität des Formelhorizonts und andererseits eine Projektionsfläche für die Entdeckung von Zusammenhängen und das Auffinden formaler Muster generiert wird. Die Ausgangsannahme im Hinblick auf die Ökonomik ist, dass auch die Operationsweise ökonomischer Modelle, insofern sie auf mathematischer Grundlage gebildet werden, auf einer Binnenreferenzialität beruht. Die Stringenz solcher Modellierungen wird gerade deswegen zum vorherrschenden Gütekriterium, weil sie nicht nur jegliche Externalitäten im Sinne einer Irritation des formalen Modells ausschließt, sondern zugleich Beobachtungseffekte durch Sinnüberschüsse ermöglicht, die durch eine Entdeckung formaler Muster aktualisiert werden. Im ersten Schritt wird hierzu das Formelideal der reinen Mathematik auf der Grundlage wissenssoziologischer Überlegungen und mathematischer Selbstreflexionen herausgearbeitet. Daran anschließend wird das Formelideal pseudo-mathematischer Modelle in der Ökonomik untersucht. Die Basis bilden vor allem William Stanley Jevons' und Alfred Marshalls wegweisende Überlegungen zur Mathematisierung der Ökonomik. Die Beobachtungen werden abschließend auf den Aspekt des Erweiterns oder Einengens des logischen Spielraums zur Problemlösung in der Mathematik und der Ökonomik hin zugespitzt.
Simulationsmodelle
(2016)
Mit der Entwicklung elektronischer Computer in den 1940er Jahren und höheren Programmiersprachen in den 1950er Jahren hält ein neuer Modelltyp Einzug in die Wissenschaften: Simulationsmodelle. Bekannteste Vertreter sind wohl Klima- und Wettermodelle, die mittlerweile Teil der Alltagskultur geworden sind. Kaum eine Natur- oder Technikwissenschaft kommt heute noch ohne Simulationsmodelle aus und neben der traditionellen Einteilung in Theorie und Empirie fügt sich die Simulation als 'dritte Methode' im Rahmen von 'Computational Departments' in die Wissenschaftslandschaft ein. Dabei ist der Begriff des Simulierens durchaus nicht eindeutig definiert. In einem weiten Sinne kann er im wissenschaftlichen Kontext für jegliche Form des Nachahmens und Imitierens verwendet werden: ein Crashtest im Labor simuliert einen Autounfall, ein Schiffsmodell im Strömungskanal bildet maßstabsgerecht ein Containerschiff nach und ein Ball-Stick-Model imitiert ein Molekül. Dennoch hat sich im wissenschaftlichen Kontext der Begriff des Simulierens auf die Computersimulation zentriert und in unterschiedliche Subkategorien ausdifferenziert:
– deterministische Simulationen basierend auf Differentialgleichungen
– stochastische Simulationen basierend auf stochastischen Differentialgleichungen oder
Zufallsläufeerzeugungsmethoden wie der Monte-Carlo-Simulation
– ereignisbasierte Simulationen, in denen bestimmte Ereignisse andere Ereignisse auslösen
– sogenannte 'Soft Computing'-Methoden wie Agentenbasierte Simulationen, Genetische
Programmierung, Evolutionäre Algorithmen oder Neuronale Netze.
Im vorliegenden Zusammenhang soll der Begriff des Simulierens jedoch einzig auf deterministische Simulationen bezogen werden. Diese Simulationsart ist nicht nur die weitest verbreitete in den Natur- oder Technikwissenschaften, sie ist auch die älteste und damit klassische Form der Simulation.