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Background: Bipolar disorder is associated with circadian disruption and a high risk of suicidal behavior. In a previous exploratory study of patients with bipolar I disorder, we found that a history of suicide attempts was associated with differences between winter and summer levels of solar insolation. The purpose of this study was to confirm this finding using international data from 42% more collection sites and 25% more countries. Methods: Data analyzed were from 71 prior and new collection sites in 40 countries at a wide range of latitudes. The analysis included 4876 patients with bipolar I disorder, 45% more data than previously analyzed. Of the patients, 1496 (30.7%) had a history of suicide attempt. Solar insolation data, the amount of the sun’s electromagnetic energy striking the surface of the earth, was obtained for each onset location (479 locations in 64 countries). Results: This analysis confirmed the results of the exploratory study with the same best model and slightly better statistical significance. There was a significant inverse association between a history of suicide attempts and the ratio of mean winter insolation to mean summer insolation (mean winter insolation/mean summer insolation). This ratio is largest near the equator which has little change in solar insolation over the year, and smallest near the poles where the winter insolation is very small compared to the summer insolation. Other variables in the model associated with an increased risk of suicide attempts were a history of alcohol or substance abuse, female gender, and younger birth cohort. The winter/summer insolation ratio was also replaced with the ratio of minimum mean monthly insolation to the maximum mean monthly insolation to accommodate insolation patterns in the tropics, and nearly identical results were found. All estimated coefficients were significant at p < 0.01. Conclusion: A large change in solar insolation, both between winter and summer and between the minimum and maximum monthly values, may increase the risk of suicide attempts in bipolar I disorder. With frequent circadian rhythm dysfunction and suicidal behavior in bipolar disorder, greater understanding of the optimal roles of daylight and electric lighting in circadian entrainment is needed.
In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die Verteilung der Nullstellen Dirichletscher L-Reihen auf oder in der Nähe der kritischen Geraden. Diese Funktionen und ihre Nullstellen stehen im Mittelpunkt des Interesses bei einer Vielzahl klassischer zahlentheoretischer Fragestellungen; beispielsweise besagt die Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung, daß sämtliche Nullstellen dieser Funktionen auf der kritischen Geraden liegen. Unsere Ergebnisse gehen unter anderem über die besten bislang bekannten Abschätzungen - für den Anteil der Nullstellen der Dirichletschen L-Reihen, die auf der kritischen Geraden liegen, - für den Anteil einfacher beziehungsweise m-facher Nullstellen sowie - über Nullstellen in der Nähe der kritischen Geraden hinaus. Wir setzen hiermit Arbeiten von A. Selberg, N. Levinson, J. B. Conrey und anderen fort und verallgemeinern Ergebnisse, die für die Riemannsche #-Funktion gültig sind, auf alle Dirichletschen LReihen beziehungsweise verbessern bisherige Resultate. Nach einer ausführlicheren Darstellung der Hintergründe zeigen wir einen Satz über Mittelwerte "geglätteter" L-Reihen, d.h. mit einem geeigneten Dirichlet-Polynom multiplizierte L-Reihen. Solche Mittelwertsätze stellen ein wesentliches Hilfsmittel zur Untersuchung der Nullstellenverteilung dar. Die in unserem Hauptsatz gegebene asymptotische Darstellung dieses Mittelwertes können wir dann nutzen, um die genannten Ergebnisse herzuleiten.
Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit stehen die Nullstellen der nach Bernhard Riemann benannten Riemannschen Zetafunktion ..(s). Diese Funktion kann für komplexes s mit Res > 1 durch ...(s) = 1 X n=1 1 ns (1.1.1) dargestellt werden. Für andere Werte von s ist ...(s) durch die analytische Fortsetzung der Dirichlet-Reihe in (1.1.1) gegeben. Die ...-Funktion ist in der ganzen komplexen Ebene holomorph, mit Ausnahme des Punktes s = 1, wo sie einen einfachen Pol besitzt. Diese und weitere Eigenschaften von ...(s) setzen wir in dieser Arbeit als bekannt voraus, näheres findet man beispielsweise in [Tit51] oder [Ivi85]. Bereits Euler betrachtete, beispielsweise in [Eul48, Caput XV], die Summe in (1.1.1), allerdings vor allem für ganzzahlige s ... 2. Von ihm stammt die Gleichung 1 X n=1 1 ns =.... die für alle komplexen s mit Res > 1 gültig ist. Dieser Zusammenhang zwischen der ...-Funktion und den Primzahlen war Ausgangspunkt für Riemanns einzige zahlentheoretische, aber dennoch wegweisende Arbeit \ Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." ([Rie59]). In dieser 1859 erschienenen Arbeit erkannte Riemann als erster die Bedeutung der Nullstellen der ...-Funktion für die Verteilung der Primzahlen. Bezüglich dieser Nullstellen sei jetzt nur so viel gesagt, daß ...(s) einfache Nullstellen an den negativen geraden Zahlen .... besitzt, und, daß alle weiteren, die sogenannten nicht-trivialen Nullstellen, im kritischen Streifen 0 < Res < 1 liegen. Diese letzteren | unendlich vielen | Nullstellen sind gerade für den Primzahlsatz, also für die Beziehung ...(x) ... li(x);