510 Mathematik
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Die kognitive Aktivierung ist eine der drei Basisdimensionen der Unterrichtsqualität (Klieme, 2019) und findet mittlerweile Eingang in international angelegte Modelle der Unterrichtsqualität (Bell et al., 2019; Charalambous & Praetorius, 2020). Die Dimension wurde bereits in einer Vielzahl von Studien, in verschiedenen Schulfächern und über verschiedene Schulformen hinweg empirisch untersucht (Praetorius et al., 2018). Dabei wurde die kognitive Aktivierung im Rahmen von Angebots-Nutzungs-Modellen (Fend, 2019) überwiegend als ein angebotsseitiges Potenzial der Lehrperson für die Schüler*innen operationalisiert (Denn et al., 2019). Hingegen ist bislang wenig darüber bekannt, wie kognitive aktivierende Impulse in der Interaktion zwischen Lehrperson und den Schüler*innen hergestellt und bearbeitet werden (Renkl, 2015; Vieluf, 2022).
In dieser Studie werden mithilfe der wissenssoziologisch fundierten Dokumentarischen Methode (Bohnsack, 2021) und ihrer Spezifizierung für die Analyse von Unterrichtsvideographien (Asbrand & Martens, 2018) die im Unterricht kommunizierten und handlungsleitenden, implizierten Wissensbestände rekonstruiert, die die Hervorbringung von kognitiver Aktivierung in der Interaktion bedingen. Es wird danach gefragt, wie kognitive Aktivierung in der Interaktion zwischen Lernenden und Lehrenden hergestellt und prozessiert wird. Als Datengrundlage dienen überwiegend Videos aus dem Mathematikunterricht der neunten Klasse zum Thema quadratische Gleichung aus der TALIS Videostudie Deutschland (Grünkorn et al., 2020).
Als Ergebnis ließen sich drei unterschiedlichen Formen der Aktivierung rekonstruieren. Typ I: Aktivierung zu Reproduktion ist durch ein instruktivistisches Verständnis der Lehrkraft geprägt, in dem aktivierende Impulse die Schüler*innen überwiegend zur Reproduktion von Wissen anregen. Typ II: Aktivierung zu unsystematischem Probieren wird durch ein vermittelndes Verständnis der Lehrperson bestimmt, bei dem die Impulse nicht an das bestehende Wissen der Schüler*innen anschließen und die Bearbeitung im Rahmen eines unsystematischen Probierens erfolgt. Typ III: Aktivierung zu fachlicher Konstruktion ist durch ein konstruktivistisches Unterrichtsverständnis der Lehrkraft gekennzeichnet und Impulse werden in einem ko-konstruktiven Prozess von den Schülern*innen in Zusammenarbeit mit der Lehrkraft bearbeitet.
Komplexität und Zufälligkeit
(1978)
• Zahlen und Maßsysteme sind bereits aus dem antiken Ägypten und aus Mesopotamien belegt. Im 4. Jahrtausend vor unserer Zeitrechnung haben sich mit der hierarchisierten Gesellschaft auch Zahl- und Schriftzeichen entwickelt. Sie dienten vor allem der Zuteilung von Ressourcen.
• Die 13 Bücher der »Elemente« von Euklid (3. Jahrhundert vor unserer Zeit) sind die früheste erhaltene axiomatisch-deduktiv aufgebaute Sammlung mathematischen Wissens. Die Begeisterung für dieses Werk hielt über Jahrhunderte an.
• Die Ordnung von Beobachtungen durch die mathematische Erfassung und Auswertung von Daten ist in Wissenschaft und Alltag selbstverständlich. Mathematische Techniken der Statistik und Kartierung halfen Dr. John Snow im 19. Jahrhundert, die Ausbreitung der Cholera zu erforschen und zu bekämpfen.
• Trotzdem stößt die Mathematik bei der Schaffung von Ordnungen auch an Grenzen: Denn es gibt weder eine Garantie noch eine Anleitung für deren bestmögliche Nutzung. Dies zeigen nicht zuletzt Krisen wie die Coronapandemie oder die Klimakrise.
Sammelbesprechung
(2022)
Rezension zu:
Florence Bretelle-Establet and Stéphane Schmitt (eds.) 2018: Pieces and Parts in Scientific Texts (Why the Sciences of the Ancient World Matter, vol. 1). Cham: Springer International Publishing, geb., 355 S., 128.39 €, ISBN: 978-3-319-78466-3.
Christine Proust, and John Steele (eds.) 2019: Scholars and Scholarship in Late Babylonian Uruk (Why the Sciences of the Ancient World Matter, vol. 2). Cham: Springer International Publishing, geb., 274 S., 24 s/w Abb., 128.39 €, ISBN: 978-3-030-04175-5.
Cécile Michel and Karine Chemla (eds.) 2020: Mathematics, Administrative and Economic Activities in Ancient Worlds (Why the Sciences of the Ancient World Matter, vol. 5). Cham: Springer International Publishing, geb., 568 S., 127 s/w Abb., 35 farb. Abb., 117.69 €, ISBN: 978-3-030-48388-3.
Ein Kreis mit unendlich vielen Mittelpunkten : die erstaunliche Welt der p-adischen Geometrie
(2023)
Die Welt, die Annette Werner untersucht, erscheint uns fremd, fast schon absurd: Verschiedene Zahlen haben hier die gleiche Größe, und Kreise besitzen unendlich viele Mittelpunkte. Die Mathematikprofessorin forscht auf dem Gebiet der sogenannten p-adischen Geometrie – einem Bereich der modernen Algebra, der in den letzten Jahrzehnten einen stürmischen Fortschritt erlebt hat.
Ausgangspunkt der Forschungsarbeit ist der Gebrauch von Gesten in mathematischen Interaktionen von Lernenden. Es wird untersucht, inwiefern Gesten Teil des mathematischen Aushandlungsprozesses sind. Damit ist die Rekonstruktion einer potentiell fachlichen Bedeutung des Gestengebrauchs beim Mathematiklernen das zentrale Forschungsanliegen.
Theoretisch gerahmt wird die Arbeit von Erkenntnissen aus der psychologisch-linguistischen Gestenforschung zur systematischen Beschreibung von Gestik im Zusammenspiel mit der gleichzeitig geäußerten Lautsprache (McNeill, 1992; Kendon, 2004). Es werden ebenso ausgewählte Forschungen zur Gestik beim Mathematiklernen beleuchtet (Arzarello, 2006; Wille, 2020; Kiesow, 2016). Die mathematikdidaktische Interaktionstheorie begründet den sozial-konstruktivistischen Lernbegriff (Krummheuer, 1992). Ausgewählte Aspekte der Semiotik nach C. S. Peirce bieten eine theoretische Fundierung des Zeichenbegriffs und des Kerns mathematischen Agierens, verstanden als diagrammatisches Arbeiten (Peirce, 1931, CP 1.54 u. 1932, CP 2.228).
Von besonderer Bedeutung für die vorliegende Forschungsarbeit ist der linguistische Ansatz der Code-Integration und -Manifestation von redebegleitenden Gesten im Sprachsystem nach Fricke (2007, 2012) in Verbindung mit dem Peirce’schen Diagrammbegriff. Diese Perspektive ermöglicht eine theoretische Fundierung der zunächst empirisch beobachtbaren Multimodalität der Ausdrucksweisen von Lernenden beim gemeinsamen Mathematiktreiben. Der Peirce’sche Diagrammbegriff dient hierbei zur Rekonstruktion einer systemischen Relevanz von Gesten für das Betreiben von Mathematik: Bestimmte Gesten sind semiotisch als mathematische Zeichen beschreibbar und haben potentiell konstituierende Funktion für das diagrammatische Arbeiten der Lernenden. Der übergeordnete Forschungsfokus lautet: Wie nutzen Grundschüler*innen Gestik und Lautsprache, insbesondere in deren Zusammenspiel, um ihre mathematischen Ideen in den interaktiven Aushandlungsprozess einzubringen und über den Verlauf der Interaktion aufzugreifen, möglicherweise weiterzuentwickeln oder auch zu verwerfen? In der Ausdifferenzierung wird die Funktion der verwendeten Gesten und die Rekonstruktion von potentiell gemeinsam gebrauchten Gesten der Interagierenden in den Blick genommen.
Methodisch lässt sich die Forschungsarbeit der qualitativen Sozialforschung (Bohnsack, 2008) bzw. der interpretativen mathematikdidaktischen Unterrichtsforschung zuordnen (Krummheuer & Naujok, 1999). Es werden Beispiele aus mathematischen Interaktionssituationen ausgewertet, in denen sich Paare von Zweitklässler*innen mit einem mathematischen Problem aus der Kombinatorik und der Geometrie beschäftigen. Eine eigens theoriekonform entwickelte Transkriptpartitur dient zur Aufarbeitung der Videodaten. Mit der textbasierten Interaktionsanalyse (Krummheuer, 1992) und der grafisch angelegten Semiotischen Analyse (Schreiber, 2010) in einer Weiterentwicklung der Semiotischen Prozess-Karten (Huth, 2014) werden zwei hierarchisch aufeinander aufbauende Analyseverfahren verwendet.
Zentrale Forschungsergebnisse sind 1) die funktionale und gestalterische Flexibilität des Gestengebrauchs beim diagrammatischen Arbeiten der Lernenden, 2) die Rekonstruktion von Modusschnittstellen der Gesten mit anderen Ausdrucksmodi in Funktion, interaktionaler Bedeutungszuschreibung und Chronologie, und 3) die häufige Verwendung der Gesten als Modus der Wahl der Lernenden in mathematischen Interaktionen. Gesten weisen eine unmittelbare und voraussetzungslose Verfügbarkeit auf, eine funktionale und gestalterische Flexibilität in der mathematischen Auseinandersetzung und die Möglichkeit, Funktionen anderer Modi (vorübergehen) zu übernehmen. Es zeigt sich eine konstitutive und fachliche Bedeutung der Gestik für das mathematisch-diagrammatische Agieren der Lernenden. In der Arbeit wird daraus schließlich das doppelte Kontinuum der Gesten für das Mathematiklernen entwickelt. Es zeigt in der Dimension der Funktion des Gestengebrauchs und der Dimension des Objektbezugs der Gestengestalt die Vielfältigkeit der Gestenfunktionen im gemeinsamen diagrammatischen Arbeiten der Lernenden und gibt Einblick in die verwendeten Gestengestalten.
Die Forschungsarbeit offenbart den Bedarf einer Beachtung von Gesten in der fachdidaktischen Planung und Gestaltung von Mathematikunterricht und in der Erforschung und Diagnostik der mathematischen Entwicklung von Lernenden. Es handelt sich bei Gesten in mathematischen Interaktionen nicht um ein reines Beiwerk der Äußerung, sondern um einen fachlich bedeutsamen Modus in Bezug auf das Mathematiklernen. Der Gebrauch von Gestik ermöglicht die Erzeugung von Diagrammen im Handumdrehen und eröffnet perspektivisch eine Erforschung ihrer Bedeutung für mathematische Lehr-Lern-Prozesse.
Die in dieser Zusammenfassung angegebene Literatur findet sich im Literaturverzeichnis der vorgelegten Forschungsarbeit.
Die Arbeit befasst sich mit einer Vereinfachung des von Devroye (1999) geprägten Begriffs der random split trees und verallgemeinert diesen im Sinne von Janson (2019) auf unbeschränkten Verzweigungsgrad. Diese Verallgemeinerung deckt auch preferential attachment trees mit linearen Gewichten ab, wofür ein Beweis von Janson (2019) aufbereitet wird. Zusätzlich bleiben die von Devroye (1999) nachgewiesenen Eigenschaften über die Tiefe der hinzugefügten Knoten erhalten.
Aus Sicht der Pädagogischen Psychologie ist Lernen ein Prozess, bei dem es zu überdauernden Änderungen im Verhaltenspotenzial als Folge von Erfahrungen kommt. Aus konstruktivistischer Perspektive lässt sich Lernen am besten als eine individuelle Konstruktion von Wissen infolge des Entdeckens, Transformierens und Interpretierens komplexer Informationen durch den Lernenden selbst beschreiben. Erkennt der Lernende den Sinn und übernimmt, erweitert oder verändert ihn für sich selbst, so ist der Grundstein für nachhaltiges Lernen gelegt.
Lernen ist ein sehr individueller Prozess. Schule muss also individuelles Lernen auch im Klassenverband ermöglichen und der Lehrende muss zum Lerncoach werden, da sonst kein individuelles und eigenaktives Lernen möglich ist. Das Unterrichtskonzept des forschend-entdeckenden Lernens bietet genau diese Möglichkeit. Es erlaubt die Erfüllung der drei Grundbedürfnisse eines Menschen nach Kompetenz, Autonomie und sozialer Eingebundenheit und ermöglicht damit Motivation, Leistung und Wohlbefinden (Ryan & Deci, 2004).
Forschend-entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht ist schrittweise geprägt von folgenden Merkmalen:
- eine problemorientierte Organisation
- selbstständiges, eigenaktives und eigenverantwortliches Lernen der Schülerinnen und Schüler
- individuelle Lernwege und Lernprozesse
- Entwicklung eigener Fragestellungen und Vorgehensweisen der Lernenden
- eigenes Aufstellen von Hypothesen und Vermutungen; Überprüfung der Vermutungen; Dokumentation, Interpretation und Präsentation der Ergebnisse
- eine fördernde Atmosphäre, in der die Lernenden nach und nach forschende Arbeitstechniken vermitteln bekommen
- kooperative Lernformen und damit Förderung von Team- und Kommunikationsfähigkeit
- Unterrichtsinhalte mit hohem Realitäts- und Sinnbezug, gesellschaftlicher Relevanz, Möglichkeiten der Interdisziplinarität
- Stetige Angebote der Unterstützung
Das entdeckende Lernen kann als Vorstufe des forschenden Lernens gesehen werden, da hier der wissenschaftliche Fokus noch nicht so stark ausgeprägt ist. Um alle Phasen auf dem Weg zu annähernd wissenschaftlichen forschenden Lernens anzusprechen, verwenden wir den Begriff des forschend-entdeckenden Lernens.
Voraussetzung ist, dass die Lehrkräfte das forschende Lernen als aktiven, produktiven und selbstbestimmten Lernprozess selbst zuvor erlebt haben müssen. Unter anderem können die Lehrkräfte Unterrichtsprozesse danach besser planen und währenddessen unterstützen, da sie selbst forschend-entdeckendem Lernen „ausgesetzt“ waren und vergleichbare Prozesse durchlebt haben.
Hiermit wird deutlich, dass forschendes Lernen nicht bedeuten kann, dass die Schülerinnen und Schüler auf sich gestellt sind. Die gezielte Unterstützung der Lernenden beim Entdecken und Forschen durch die Lehrkraft ist für einen ertragreichen Lernerfolg unverzichtbar und muss Teil der Vorbereitung und des Prozesses sein.
Internationale Studien zeigen, dass forschend-entdeckende Unterrichtsansätze (inquiry-based learning IBL) im Mathematikunterricht bei geeigneter Umsetzung Lernen verbessern, Lernerfolg und Lernleistung steigern und Freude gegenüber Mathematikunterricht erhöhen können. Die Implementierung dieses Unterrichtsansatzes ist trotz der positiven Ergebnisse nicht alltäglich.
Um neue Unterrichtskonzepte in den Schulalltag zu bringen beziehungsweise um bestehende Unterrichtskonzepte neu in den Schulalltag zu bringen bedarf es Fortbildungen zur Professionalisierung von Lehrerinnen und Lehrern.
Eine Woche lang präsentieren Wissenschaftler*innen Ergebnisse aus der mathematikdidaktischen Forschung und Lehr-Lern-Konzepte für mathematisches Lernen von Schüler*innen sowie für das mathematische und mathematikdidaktische Lernen in den verschiedenen Phasen der Lehrer*innenbildung. Der UniReport sprach mit den Organisatorinnen der Tagung – Prof.in Dr. Susanne Schnell, Prof.in Dr. Rose Vogel und Prof.in Dr. Jessica Hoth – über das Programm der Tagung und über die künftige Ausrichtung des Faches Mathematik.