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Matthias Birkner

• We consider the long-time behaviour of spatially extended random populations with locally dependent branching. We treat two classes of models: 1) Systems of continuous-time random walks on the d-dimensional grid with state dependent branching rate. While there are k particles at a given site, a branching event occurs there at rate s(k), and one of the particles is replaced by a random number of offspring (according to a fixed distribution with mean 1 and finite variance). 2) Discrete-time systems of branching random walks in random environment. Given a space-time i.i.d. field of random offspring distributions, all particles act independently, the offspring law of a given particle depending on its position and generation. The mean number of children per individual, averaged over the random environment, equals one The long-time behaviour is determined by the interplay of the motion and the branching mechanism: In the case of recurrent symmetrised individual motion, systems of the second type become locally extinct. We prove a comparison theorem for convex functionals of systems of type one which implies that these systems also become locally extinct in this case, provided that the branching rate function grows at least linearly. Furthermore, the analysis of a caricature model leads to the conjecture that local extinction prevails generically in this case. In the case of transient symmetrised individual motion the picture is more complex: Branching random walks with state dependent branching rate converge towards a non-trivial equilibrium, which preserves the initial intensity, whenever the branching rate function grows subquadratically. Systems of type 1) and systems of type 2) with quadratic branching rate function show very similar behaviour. They converge towards a non-trivial equilibrium if a conditional exponential moment of the collision time of two random walks of an order that reflects the variability in the branching mechanism is finite almost surely. The equilibrium population has finite variance of the local particle number if the corresponding unconditional exponential moment is finite. These results are proved by means of genealogical representations of the locally size-biased population. Furthermore, we compute the threshold values for existence of conditional exponential moments of the collision time of two random walks in terms of the entropy of the transition functions, using tools from large deviations theory. Our results prove in particular that - in contrast to the classical case of independent branching - there is a regime of equilibria with variance of the local number of particles.
• Wir betrachten das Langzeitverhalten von zufälligen, räumlich ausgebreiteten Populationen mit lokal abhängiger Verzweigung, speziell werden zwei Klassen von Modellen untersucht: 1) Zeitkontinuierliche Systeme von Irrfahrten auf dem d-dimensionalen Gitter mit zustandsabhängiger Verzweigungsrate. Wenn an einem Ort gerade k Teilchen sind, findet dort ein Verzweigungsereignis mit Rate s(k) statt, und eines der Teilchen wird durch eine zufällige Anzahl Nachkommen (gemäß einer vorgegebenen Verteilung mit Mittelwert 1 und endlicher Varianz) ersetzt. 2) Zeitdiskrete Systeme von verzweigenden Irrfahrten in zufälliger Umgebung. Wir betrachten ein Raum-Zeit-Feld von unabhängigen Kinderzahlverteilungen, gegeben dieses Feld verhalten sich alle Teilchen unabhängig, die Verteilung der Anzahl Nachkommen eines Teilchens hängt von seiner Position und seiner Generation ab. Die mittlere Anzahl Nachkommen pro Individuum, gemittelt über die zufällige Umgebung, ist exakt eins. Das Langzeitverhalten wird durch das Zusammenspiel von Bewegungs- und Verzweigungsmechanismus bestimmt: Bei rekurrenter symmetrisierter Individualbewegung sterben Systeme vom zweiten Typ stets aus. Wir beweisen ein Vergleichresultat für konvexe Funktionale von Systemen vom Typ 1, das impliziert, dass auch dort im rekurrenten Fall lokales Aussterben vorherrscht, sofern die Verzweigungsratenfunktion mindestens linear wächst. Darüberhinaus erhärten wir anhand eines Karikaturmodells die Vermutung, dass lokales Aussterben generisch vorliegt. Im Fall transienter symmetrisierter Individualbewegung bietet sich ein reichhaltigeres Bild: Verzweigende Irrfahrten mit zustandsabhängiger Verzweigung konvergieren gegen ein nicht-triviales Gleichgewicht, das die Anfangsintensität erhält, sofern die Verzweigungsratenfunktion subquadratisch wächst. Wir zeigen eine Parallele zwischen Systemen vom Typ 2 und Systemen vom Typ 1 mit quadratischer Verzweigungsratenfunktion. Wenn ein bedingtes exponentielles Moment der Kollisionszeit zweier unabhängiger Irrfahrten von einer Ordnung, die von der Variabilität im Verzweigungsmechanismus abhängt, fast sicher endlich bleibt, so konvergieren die Systeme gegen nichttriviale Gleichgewichte. Die zweiten Momente der lokalen Teilchenanzahlen im Gleichgewicht sind genau dann endlich, wenn auch das entsprechende unbedingte Moment endlich ist. Wir erzielen diese Resultate mittels genealogischer Darstellungen der lokal größenverzerrten Populationen. Darüberhinaus berechnen wir unter Verwendung von Hilfsmitteln aus der Theorie der großen Abweichungen die Schwellwerte für die Existenz der bedingten exponentiellen Momente der Kollisionszeit in Termen der Entropie der Übergangsmatrizen der Irrfahrt. Dies zeigt insbesondere, dass - im Gegensatz zum klassischen Fall unabhängiger Verzweigung - ein Regime von Gleichgewichten mit unendlicher Varianz der lokalen Anzahl existiert.