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Tropical geometry is the geometry of the tropical semiring \[\mathbb{T}:=(\mathbb{R}\cup\{\infty\},\min,+).\] Classical algebraic structures correspond to tropical structures. If $I\lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ is an ideal in a polynomial ring over a field $K$ with valuation $v$, then the classical algebraic variety correspond to the tropical variety $T(I)$. It is the set of all points $w$, such that the minimum $\min\{v(c_\alpha)+w\cdot\alpha\}$ is achieved twice for all $f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in I$. So tropical geometry relates algebraic geometric problems with discrete geometric problems. In this thesis we obtain a tropical version of the Eisenbud-Evans Theorem which states that every algebraic variety in $\mathbb{R}^n$ is the intersection of $n$ hypersurfaces. We find out that in the tropical setting every tropical variety $T(I)$ can be written as an intersection of only $(n+1)$ tropical hypersurfaces. So we get a finite generating system of $I$ such that the corresponding tropical hypersurfaces intersect to the tropical variety, a so-called tropical basis. Let $I \lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ be a prime ideal generated by the polynomials $f_1, \ldots, f_r$. Then there exist $g_0,\ldots,g_{n} \in I$ such that \[ T(I) \ = \ \bigcap_{i=0}^{n}T(g_i)\] and thus $\mathcal{G} := \{f_1, \ldots, f_r, g_0, \ldots, g_{n}\}$ is a tropical basis for $I$ of cardinality $r+n+1$. Tropical bases are discussed by Bogart, Jensen, Speyer, Sturmfels and Thomas where it is shown that tropical bases of linear polynomials of a linear ideal have to be very large. We do not restrict the tropical basis to consist of linear polynomials and therefore we get a shorter tropical basis. But the degrees of our polynomials can be very large. The main ingredient to get a short tropical basis is the use of projections, in particular geometrically regular projections. Together with the fact that preimages of projections of tropical varieties are themselves tropical varieties of a certain elimination ideal we get the desired result. Let $I \lhd K[x_1, \ldots, x_n]$ be an $m$-dimensional prime ideal and $\pi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{m+1}$ be a rational projection. Then $\pi^{-1}(\pi(T(I)))$ is a tropical variety, namely \[ \pi^{-1}(\pi(T(I))) \ = \ T(J \cap K[x_1, \ldots, x_n]) \,\] Here $J$ is an ideal in $K[x_1,\ldots,x_n,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-m-1}]$ derived from the ideal $I$. We show that this elimination ideal is a principal ideal which yields a polynomial in our tropical basis. The advantage of our method is that we find our polynomials by projections and therefore we can use the results of Gelfand, Kapranov and Zelevinsky , of Esterov and Khovanskii , and of Sturmfels, Tevelev and Yu. With mixed fiber polytopes we get the structure and combinatorics of the image of a tropical variety and therefore the structure of the polynomials in our tropical basis. Let $I=\lhd K[x_1,\ldots,x_n]$ an $m$-dimensional ideal, generated by generic polynomials $f_1,\ldots, f_{n-m}$, $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{m+1}$ a projection and $\psi$ a projection presented by a matrix with a rowspace equal to the kernel of $\pi$. Then up to affine isomorphisms, the cells of the dual subdivision of $\pi^{-1} \pi T(I)$ are of the form \[ \sum_{i=1}^p \Sigma_{\psi} (C_{i1}^{\vee}, \ldots, C_{i{k}}^{\vee}) \] for some $p\in\mathbb{N}$ and faces $F_1, \ldots, F_p$ of $T(f_1)\cap\ldots\cap T(f_k)$ and the dual cell of $F_i\subseteq U = T(f_1)\cup\ldots\cup T(f_k)$ is given by $F_i^\vee=C_{i1}^{\vee}+ \ldots+ C_{ik}^{\vee}$ with faces $C_{i1}, \ldots, C_{i k}$ of $T(f_1), \ldots, T(f_{k})$. In case that we project a tropical curve we want to find the number of $(n-1)$-cells of the above form with $p>1$, i.e. the cells which are dual to vertices of $\pi(T(I))$ which are the intersection of the images of two non-adjacent $1$-cells of $T(I)$. Vertices of this type are called selfintersection points. We show that there exist a tropcal line $L_n\subset\mathbb{R}^n$ and a projection $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^2$, such that $L_n$ has $\sum_{i=1}^{n-2}i$ selfintersection points. Furthermore we find tropical curves $\mathcal{C}\subset\mathbb{R}^n$, which are transversal intersections of $n-1$ tropical hypersurfaces of degrees $d_1,\ldots,d_{n-1}$ and a projection $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^2$, such that $\mathcal{C}$ has at least $(d_1\cdot\ldots\cdot d_{n-1})^2\cdot \sum_{i=1}^{n-2}i) $ selfintersection points. A caterpillar is a certain simple type of a tropical line and for this type we show that it can have at most $\sum_{i=1}^{n-2}i$ selfintersection points.
Gegenstand dieser Arbeit sind Galoisoperationen auf quasiplatonischen Riemannschen Flächen mit einer Automorphismengruppe isomorph zu PSL(2,F(q)). Quasiplatonische Riemannsche Flächen werden durch torsionsfreie Normalteiler N in einer Dreiecksgruppe D uniformisiert, d.h. N ist die universelle Überlagerungsgruppe und die Flächen, die man auch als algebraische Kurven beschreiben kann, sind isomorph zu N\U, wenn U die obere Halbebene bezeichnet. Bzgl. der Größe der Automorphismengruppen bilden die quasiplatonischen Kurven die lokalen Maxima im Modulraum. Die absoluten Maxima liegen bei den Hurwitz-Kurven; hier hat die Automorphismengruppe die maximale Größe von 84(g-1), wenn g>1 das Geschlecht der Kurve ist. Der Normalisator in PSL(2,R) der Überlagerungsgruppe N ist dann die Dreiecksgruppe mit Signatur (2,3,7). Macbeath hat die Bedingungen dafür gefunden, wann PSL(2,F(q)) eine Hurwitz-Gruppe ist. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, dass q=p eine Primzahl kongruent +-1 mod 7 ist. Hier hat man drei nicht-isomorphe Kurven, die jedoch alle galoiskonjugiert zueinander sind. In der Arbeit werden Bedingungen angegeben, unter denen sich dieses Resultat auf Dreiecksgruppen D mit einer Signatur der Form (2,m_1,m_2) verallgemeinern lässt. Dabei gehen einerseits Ergebnisse von Frye ein, der die Anzahl der verschiedenen torsionsfreien Normalteiler N<D mit Quotienten PSL(2,F(q)) über die Spurtupel der Erzeugenden von D bestimmt hat. Andererseits wird eine Methode von Streit verwendet, mit der man die Galoisoperation auf den Kurven anhand des Verhaltens der Multiplikatoren der Erzeugenden in der Automorphismengruppe nachvollziehen kann. Es zeigt sich, dass sich Spur- und Multiplikatortupel entsprechen, woraus man die Anzahl und Länge der Galois-Orbits erhält. Außerdem lässt sich der Definitionskörper der Kurven bestimmen. Offen bleibt das genaue Verhalten bei Signaturen (m_0,m_1,m_2) mit m_i ungleich 2 für alle i. Hier gibt es zu jedem Multiplikatortupel zwei verschiedene Spurtupel. Kann man die Kurven durch die Multiplikatoren beschreiben, dann erhält man Projektionen D->>PSL(2,F(q)) auch über die Quaternionenalgebra, die die Dreiecksgruppe über ihrem Spurkörper erzeugt. Die Normalteiler erweisen sich dann als Schnitt der Dreiecksgruppe mit einer Hauptkongruenzuntergruppe nach einem Primideal P|char(F(q)) in der Norm-1-Gruppe einer Ordnung der Quaternionenalgebra. Dabei ist das Spurtripel in PSL(2,F(q)) gerade das Spurtripel aus D modulo P. Ändert man P, so erhält man ein anderes Spurtripel in PSL(2,F(q)), also auch einen anderen Normalteiler. Bilden die zugehörigen Kurven eine Bahn unter der Galoisoperation, dann ergeben sich alle Normalteiler auf diese Weise. Die Galoisoperation auf den Tripeln der Multiplikatoren, also die Galoisoperation auf den Kurven, ist verträglich mit der Operation, die die Primideale P|char(F(q)) permutiert. Wir erhalten also eine natürliche Korrespondenz zwischen der Galoisoperation auf den Kurven einerseits und der Operation auf den Primidealen andererseits.
Mixed volumes, mixed Ehrhart theory and applications to tropical geometry and linkage configurations
(2009)
The aim of this thesis is the discussion of mixed volumes, their interplay with algebraic geometry, discrete geometry and tropical geometry and their use in applications such as linkage configuration problems. Namely we present new technical tools for mixed volume computation, a novel approach to Ehrhart theory that links mixed volumes with counting integer points in Minkowski sums, new expressions in terms of mixed volumes of combinatorial quantities in tropical geometry and furthermore we employ mixed volume techniques to obtain bounds in certain graph embedding problems.
In this work, we extend the Hegselmann and Krause (HK) model, presented in [16] to an arbitrary metric space. We also present some theoretical analysis and some numerical results of the condensing of particles in finite and continuous metric spaces. For simulations in a finite metric space, we introduce the notion "random metric" using the split metrics studies by Dress and al. [2, 11, 12].
Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation wurden von F. John und L. Nirenberg in ihrer Arbeit von 1961 eingeführt. Das Konzept der beschränkten mittleren Oszillation findet erste Verwendung beim Beweis der Harnackschen Ungleichung für elliptische partielle Differentialgleichungen durch Moser. In dieser Arbeit wird die Idee der beschränkten mittleren Oszillation auf harmonische Räume (X,H) übertragen. Erstmals wurde dieses Konzept von H. Leutwiler in einem Artikel für allgemeine harmonische Räume entwickelt. Da die Mehrzahl der Ergebnisse in Leutwilers Arbeit nur für Brelotsche Räume oder sogar nur für die Laplacegleichung auf der oberen Halbebene gezeigt werden konnten, sind diese zum Beispiel nicht auf harmonische Räume anwendbar, die durch einen parabolischen Differentialoperator, wie die klassische Wärmeleitungsgleichung, erzeugt wurden. Ziel dieser Arbeit ist es nun die Theorie der harmonischen Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation für allgemeine harmonische Räume zu entwickeln und unter anderem die Leutwilerschen Resultate zu beweisen. Naturgemäß lassen sich die Beweise aus Leutwilers Arbeit im Allgemeinen nicht einfach übertragen. Vielmehr mußten zum Teil neue Beweisideen und Methoden gefunden werden. Insbesondere wird konsequent von Bezugsmaßen Gebrauch gemacht, die eine allgemeine Harnacksche Ungleichung für diesen Rahmen zur Verfügung stellen. Ausgehend von Resultaten von T. Lyons kann im zweiten Kapitel eine Charakterisierung des Raumes BMO(X) gezeigt werden, wie sie bisher nur im klassischen Fall bekannt war. Aufbauend auf eine Arbeit von Bliedtner und Loeb wird im dritten Kapitel zuerst eine abstrakte Integraldarstellung quasibeschränkter Funktionen hergeleitet, die in Theorem 3.1.9 ihren Niederschlag findet. Dieses Theorem erlaubt eine Darstellung der kleinsten harmonischen Majorante gewisser subharmonischer Funktionen in Theorem 3.1.15. Ausgehend von diesen Resultaten werden schließlich in Theorem 3.2.2 und Korollar 3.2.3 Charakterisierungen harmonischer Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation durch ihr Randverhalten erzielt, wie sie bisher nur im klassischen Fall der Laplacegleichung auf der oberen Halbebene in einer späteren Arbeit von Leutwiler gezeigt werden konnten. Im vierten Kapitel werden die harmonischen Räume (X,H) der Laplace- und Wärmeleitungsgleichung als grundlegende Beispiele betrachtet. Im fünften Kapitel wird die Vollständigkeit gewisser Teilmengen des Raumes (BMO(X)/R) untersucht. In Theorem 5.1.10 wird durch Modifikation der Norm gezeigt, daß dieser so modifizierte Raum ein Banachraum ist, allerdings zu dem Preis, daß sämtliche Funktionen in diesem Raum beschränkt sind. Aus Theorem 5.2.4 ergibt sich als Korollar 5.2.6 ein neuer Beweis der Tatsache, daß im Spezialfall Brelotscher harmonischer Räume der Raum (BMO(X)/R) ein Banachraum ist. Schließlich zeigt Theorem 5.2.12, daß gewisse Teilmengen von (BMO(X)/R) vollständig bezüglich der BMO-Norm sind, ohne daß man dabei zusätzliche Bedingungen (wie etwa Brelotscher Raum) an (X,H) stellen muß.
Das libor Markt Modell (LMM) ist seit seiner Entwicklung in den Veröffentlichungen von Brace, Gatarek, Musiela (1997), einerseits, und unabhängig von diesen von Miltersen, Sandmann, Sondermann (1997), andererseits, zu dem anerkanntesten Instrument zur Modellierung der Zinsstruktur und der damit verbundenen Preisfindung für relevante Finanzderivate geworden. libor steht dabei für London Inter-Bank Offered Rate, ein täglich in London fixierter Referenz-Zins für kurzfristige Anlagen. Drei- oder sechsmonatige Laufzeiten sind in Verbindung mit dem LMM üblich. Die Forschung zur Verbesserung dieses Modells hat in den letzten Jahren an Zuwachs gewonnen. Beim Versuch den Fehler der Anpassung an die täglich beobachteten Preise von Zinsoptionen wie Caps und Swaptions zu verringern, erhält man in der Folge auch genauere Bewertungen für andere, exotischere, Derivate. Die zugrunde liegende und zentrale Idee des LMM besteht darin, die Forward (Termin) Zinsen direkt als primären (Vektor) Prozess mehrerer libor Sätze zu betrachten und diese simultan zu modellieren, anstatt sie nur herzuleiten aus einem übergeordneten, unendlich dimensionalen Forward Zinsprozess, wie im zeitlich früher entwickelten Heath-Jarrow-Morton Modell. Das überzeugendste Argument für diese Diskretisierung ist, dass die libor Sätze direkt im Markt beobachtbar sind und ihre Volatilitäten auf eine natürliche Weise in Beziehung gebracht werden können zu bereits liquide gehandelten Produkten, eben jenen Caps und Swaptions. Dennoch beinhaltet das Modell eine gravierende Insuffizienz, indem es keine Krümmung der Volatilitätsoberfläche, im Hinblick auf Optionen mit verschiedenen Basiszinsen, abbildet. Wie im einfachen eindimensionalen Black-Scholes Modell prägen sich auch hier die Ungenauigkeiten der Verteilung in fehlenden heavy tails deutlich aus. Smile und Skew Effekte sind erkennbar. Im klassischen liborMarkt Modell wird in Richtung der Basiszinsdimension nur eine affine Struktur erzeugt, welche bestenfalls als Approximation für die erwünschte Oberfläche dienen kann. Die beobachteten Verzerrungen führen naturgemäss zu einer ungenauen Abbildung der Realität und fehlerhaften Reproduktion der Preise in Regionen, die ein wenig entfernt vom Bereich am Geld liegen. Derartig ungewollte Dissonanzen in Gewinn und Verlustzahlen führten z.B. in 1998 zu gravierenden Verlusten im Zinsderivateportfolio der heutigen Royal Bank of Scotland. ...