Mathematik
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Wer gern mitzählt, wird vielleicht festgestellt haben, dass im Sommer 2017 die zwanzigste Hessische Schülerakademie stattfand – dreizehn Oberstufenakademien waren es seit 2004, sieben für die Mittelstufe kamen seit 2011 hinzu. Zwanzig erfolgreiche Akademien bieten nicht nur Anlass zur Freude, sie bilden auch die solide Grundlage für einen selbstbewussten Blick in die Zukunft. Im nächsten Frühjahr lädt daher die Akademie Burg Fürsteneck gemeinsam mit dem Hessischen Kultusministerium zu einem interdisziplinären Symposium ein, bei dem die Hessische Schülerakademie und das Programm KulturSchule im Mittelpunkt stehen: Unter dem Titel "Kulturelle Bildung auf dem Weg" beschäftigen sich vom 2. bis zum 4. März 2018 Fachleute aus Wissenschaft und Praxis auf Burg Fürsteneck mit den "Qualitätsbedingungen in der Kulturellen Bildung am Beispiel der Schülerakademien und der Kulturschulen in Hessen".
Das Akademiejahr 2018 hatte neben den beiden Schülerakademien für die Mittelstufe und die Oberstufe noch einen weiteren Höhepunkt: das Symposium "Kulturelle Bildung auf dem Weg" (vom 2. bis 4. März 2018, ausgerichtet von Burg Fürsteneck gemeinsam mit dem Schulentwicklungsprogramm KulturSchule des Hessischen Kultusministeriums und dem Weiterbildungsmaster Kulturelle Bildung an Schulen der Uni Marburg). Es wurde von unserem Schirmherrn, Kultusminister Prof. Dr. R. Alexander Lorz, eröffnet und hatte unter anderem das Ziel, in der Begegnung von Bildungsexpert*innen und -praktiker*innen eine Fachdebatte über "Qualitätsbedingungen in der Kulturellen Bildung am Beispiel der Schülerakademien und der Kulturschulen in Hessen" anzustoßen.
Kaum ein Name ist so eng mit dem "Projekt HSAKA" verbunden wie der von Wolf Aßmus: Seit der ersten Hessischen Schülerakademie für die Oberstufe im Jahre 2004 ist er als Leiter des Physik-Kurses dabei; die Gründung der Mittelstufenakademie 2011 wurde von ihm tatkräftig unterstützt und gefördert; einen Sitz im Kuratorium hat er ebenso übernommen wie das Amt des Ersten Vorsitzenden des Trägervereins von Burg Fürsteneck – der inzwischen pensionierte Professor für Festkörperphysik verkörpert geradezu die Idee vom "Un-Ruhestand". Wer mag es ihm da verübeln, wenn Wolf beschließt, im nächsten Sommer mal mehr Zeit mit seinen Enkeln zu verbringen, statt auf die Burg zu fahren? Weil es daher 2020 zum ersten Mal eine Oberstufenakademie ohne Wolf und ohne Physik-Kurs geben wird (stattdessen Philosophie und Informatik), haben wir auf der vergangenen Akademie die Gelegenheit genutzt, Wolf für 15 Jahre Schülerakademie zu danken. Genauer gesagt: für 15 Jahre, 16 Fachkurse in Physik (15 auf der Oberstufenakademie und einer bei der Mittelstufe), 15 kursübergreifende Naturkunde-Angebote, für die Betreuung Dutzender Studierender und weit über 200 Schüler*innen, für unzählige gemeinsame Aha-Erlebnisse und humorvolle Geschichten, für unermüdliches Engagement und geduldigen Beistand – und nicht zuletzt für viele, viele Liter Speiseeis. Unsere Dankbarkeit wollen wir hier mit allen Leser*innen dieser Dokumentation teilen.
Die Mathematik ist gleichermaßen eine Kulturwissenschaft mit langer Tradition als auch treibende Kraft hinter vielen modernen Technologien und damit Schlüsseldisziplin des Informationszeitalters. Zum einen zielt die Mathematik darauf ab, abstrakte Strukturen und ihre Zusammenhänge zu verstehen; zum anderen entwickelt sie kraftvolle Methoden, um Frage- und Problemstellungen in zahlreichen Wissenschaftsdisziplinen zu behandeln. Moderne Anwendungen der Mathematik liegen beispielsweise in den Bereichen der Datensicherheit und -kompression, der Verkehrssteuerung, der Bewertung und Optimierung von Finanzinstrumenten oder der medizinischen Operationsplanung.
In dieser Broschüre stellen wir Ihnen das Profil der Frankfurter Mathematik in Forschung und Lehre sowie speziell die Studiengänge
• Bachelor Mathematik
• Master Mathematik
vor. An der Goethe-Universität ist es auch möglich, Mathematik auf Lehramt (L1, L2, L3, L5) zu studieren. ...
Gleichungen mit mehreren Unbekannten zu lösen, üben Schüler schon in der Mittelstufe. Für die einen ist es eine spannende mathematische Knobelei, für die anderen eher Quälerei. Doch den wenigsten ist bewusst, wie viele Leben dadurch jeden Tag gerettet werden. Die moderne medizinische Bildgebung beruht darauf, sehr viele Gleichungen nach sehr vielen Unbekannten aufzulösen.
Frühe mathematische Bildung – Ziele und Gelingensbedingungen für den Elementar- und Primarbereich
(2017)
Im Rahmen der Schriftenreihe "Wissenschaftliche Untersuchungen zur Arbeit der Stiftung 'Haus der kleinen Forscher'" werden regelmäßig wissenschaftliche Beiträge von renommierten Expertinnen und Experten aus dem Bereich der frühen Bildung veröffentlicht. Diese Schriftenreihe dient einem fachlichen Dialog zwischen Stiftung, Wissenschaft und Praxis, mit dem Ziel, allen Kitas, Horten und Grundschulen in Deutschland fundierte Unterstützung für ihren frühkindlichen Bildungsauftrag zu geben.
Der vorliegende achte Band der Reihe mit einem Geleitwort von Kristina Reiss stellt die Ziele und Gelingensbedingungen mathematischer Bildung im Elementar- und Primarbereich in den Fokus.
Christiane Benz, Meike Grüßing, Jens Holger Lorenz, Christoph Selter und Bernd Wollring spezifizieren in ihrer Expertise pädagogisch-inhaltliche Zieldimensionen mathematischer Bildung im Kita- und Grundschulalter. Neben einer theoretischen Fundierung verschiedener Zielbereiche werden Instrumente für deren Messung aufgeführt. Des Weiteren erörtern die Autorinnen und Autoren Gelingensbedingungen für eine effektive und wirkungsvolle frühe mathematische Bildung in der Praxis. Sie geben zudem Empfehlungen für die Weiterentwicklung der Stiftungsangebote und die wissenschaftliche Begleitung der Stiftungsarbeit im Bereich Mathematik.
Das Schlusskapitel des Bandes beschreibt die Umsetzung dieser fachlichen Empfehlungen in den inhaltlichen Angeboten der Stiftung "Haus der kleinen Forscher".
Für balancierte, irreduzible Pólya-Urnen-Modelle sind Grenzwertsätze für die normalisierte Anzahl von Kugeln einer Farbe bekannt. Für eine spezielle Urne, deren Dynamik mit "Randomised-Play-the-Winner Rule" bezeichnet wird, werden im Rahmen der bekannten Grenzwertsätze Konvergenzraten in Wasserstein-Metriken und in der Kolmogorov-Metrik im Falle eines nicht-normalverteilten Grenzwerts hergeleitet.
Die letzten Jahrzehnte brachten einen enormen Zuwachs des Wissens und Verständnisses über die molekularen Prozesse des Lebens.Möglich wurde dieser Zuwachs durch die Entwicklung diverser Methoden, mit denen beispielsweise gezielt die Konzentration einzelner Stoffe gemessen werden kann oder gar alle anwesenden Metaboliten eines biologischen Systems erfasst werden können. Die großflächige Anwendung dieser Methoden führte zur Ansammlung vieler unterschiedlicher -om-Daten, wie zum Beispiel Metabolom-, Proteom- oder Transkriptoms-Datensätzen. Die Systembiologie greift auf solche Daten zurück, um mathematische Modelle biologischer Systeme zu erstellen, und ermöglicht so ein Studium biologischer Systeme auch außerhalb des Labors.
Für größere biologische Systeme stehen jedoch meistens nicht alle Informationen über Stoffkonzentrationen oder Reaktionsgeschwindigkeiten zur Verfügung, um eine quantitative Modellierung, also die Beschreibung von Änderungsraten kontinuierlicher Variablen, durchführen zu können. In einem solchen Fall wird auf Methoden der qualitativen Modellierung zurückgegriffen. Eine dieser Methoden sind die Petrinetze (PN), welche in den 1960er Jahren von Carl Adam Petri entwickelt wurden, um nebenläufige Prozesse im technischen Umfeld zu beschreiben. Seit Anfang der 1990er Jahre finden PN auch Anwendung in der Systembiologie, um zum Beispiel metabolische Systeme oder Signaltransduktionswege zu modellieren. Einer der Vorteile dieser Methode ist zudem, dass Modelle als qualitative Beschreibung des Systems begonnen werden können und im Laufe der Zeit um quantitative Beschreibungen ergänzt werden können.
Zur Modellierung und Analyse von PN existieren bereits viele Anwendungen. Da das Konzept der PN jedoch ursprünglich nicht für die Systembiologie entwickelt wurde und meist im technischen Bereich verwendet wird, existierten kaum Anwendungen, die für den Einsatz in der Systembiologie entwickelt wurden. Daher ist auch die Durchführung der für die Systembiologie entwickelten Analysemethoden für PN nicht mit diesen Anwendungen möglich. Die Motivation des ersten Teiles dieser Arbeit war daher, eine Anwendung zu schaffen, die speziell für die PN-Modellierung und Analyse in der Systembiologie gedacht ist, also in ihren Analysemethoden und ihrer Terminologie sich an den Bedürfnissen der Systembiologie orientiert. Zudem sollte die Anwendung den Anwender bei der Auswertung der Resultate der Analysemethoden visuell unterstützen, indem diese direkt visuell im Kontext des PN gesetzt werden. Da bei komplexeren PN die Resultate der Analysemethoden in ihrer Zahl drastisch anwachsen, wird eine solche Auswertung dieser notwendig. Aus dieser Motivation heraus entstand die Anwendung MonaLisa, dessen Implementierung und Funktionen im ersten Teil der vorliegenden Arbeit beschrieben werden. Neben den klassischen Analysemethoden für PN, wie den Transitions- und Platz-Invarianten, mit denen grundlegende funktionale Module innerhalb eines PN gefunden werden können, wurden weitere, meist durch die Systembiologie entwickelte, Analysemethoden implementiert. Dazu zählen zum Beispiel die Minimal Cut Sets, die Maximal Common Transitions Sets oder Knock-out-Analysen. Mit MonaLisa ist aber auch die Simulation des dynamischen Verhaltens des modellierten biologischen Systems möglich. Hierzu stehen sowohl deterministische als auch stochastische Verfahren, beispielsweise der Algorithmus von Gillespie zur Simulation chemischer Systeme, zur Verfügung. Für alle zur Verfügung gestellten Analysemethoden wird ebenfalls eine visuelle Repräsentation ihrer Resultate bereitgestellt. Im Falle der Invarianten werden deren Elemente beispielsweise in der Visualisierung des PN eingefärbt. Die Resultate der Simulationen oder der topologischen Analyse können durch verschiedene Graphen ausgewertet werden. Um eine Schnittstelle zu anderen Anwendungen zu schaffen, wurde für MonaLisa eine Unterstützung einiger gängiger Dateiformate der Systembiologie geschaffen, so z.B. für SBML und KGML.
Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der topologischen Analyse eines Datensatzes von 2641 Gesamtgenom Modellen aus der path2models-Datenbank. Diese Modelle wurden automatisiert aus dem vorhandenen Wissen der KEGG- und der MetaCyc-Datenbank erstellt. Die Analyse der topologischen Eigenschaften eines Graphen ermöglicht es, grundlegende Aussagen über die globalen Eigenschaften des modellierten Systems und dessen Entstehungsprozesses zu treffen. Daher ist eine solche Analyse oft der erste Schritt für das Verständnis eines komplexen biologischen Systems. Für die Analyse der Knotengrade aller Reaktionen und Metaboliten dieser Modelle wurden sie in einem ersten Schritt in PN transformiert. Die topologischen Eigenschaften von metabolischen Systemen werden in der Literatur schon sehr gut beschrieben, wobei die Untersuchungen meist auf einem Netzwerk der Metaboliten oder der Reaktionen basieren. Durch die Verwendung von PN wird es möglich, die topologischen Eigenschaften von Metaboliten und Reaktionen in einem gemeinsamen Netzwerk zu untersuchen. Die Motivation hinter diesen Untersuchungen war, zu überprüfen, ob die schon beschriebenen Eigenschaften auch für eine Darstellung als PN zutreffen und welche neuen Eigenschaften gefunden werden können. Untersucht wurden der Knotengrad und der Clusterkoeffizient der Modelle. Es wird gezeigt, dass einige wenige Metaboliten mit sehr hohem Knotengrad für eine ganze Reihe von Effekten verantwortlich sind, wie beispielsweise dass die Verteilung des Knotengrades und des Clusterkoeffizienten, im Bezug auf Metaboliten, skalenfrei sind und dass sie für die Vernetzung der Nachbarschaft von Reaktionen verantwortlich sind. Weiter wird gezeigt, dass die Größe eines Modelles Einfluss auf dessen topologische Eigenschaften hat. So steigt die Vernetzung der Nachbarschaft eines Metaboliten, je mehr Metaboliten in einem biologischen System vorhanden sind, gleiches gilt für den durchschnittlichen Knotengrad der Metaboliten.