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Carsten Rössner

• Wir behandeln Kettenbruchentwicklungen in beliebiger Dimension. Wir geben einen Kettenbruchalgorithmus an, der für beliebige Dimension n simultane diophantische Approximationen berechnet, die bis auf den Faktor 2 exp (n+2)/4 optimal sind. Für einen reellen Eingabevektor x := (x1,...,X n-1, 1) berechnet der Algorithmus eine Folge ganzzahliger Vektoren ....., so daß für i =1, ...., n-1 : | q exp (k) xi -pi exp (k)| <= 2 exp (n+2)/4 sqrt (1 + xi exp 2) / q exp (1/n-1). Nach Sätzen von Dirichlet und Borel ist die Schranke optimal in dem Sinne, als daß der Exponent 1/(n-1) im allgemeinen nicht erhöht werden kann. Der Algorithmus konstruiert eine Folge von Gitterbasen des Zn, welche die Gerade x R approximieren. Für gegebenes E > 0 findet der Algorithmus entweder eine Relation zu x, das heißt einen ganzzahligen zu x orthogonalen Vektor (ungleich Null), mit euklidischer Länge kleiner oder gleich E exp -1, oder er schließt Relationen zu x mit euklidischer Länge kleiner als E exp -1 aus. Der Algorithmus führt in der Dimension n und |log E| polynomial viele arithmetische Operationen auf rellen Zahlen in exakter Arithmetik aus. Für rationale Eingaben x := (p1, ....., pn)/pn, E>0 mit p1,.....,pn Teil von Z besitzt der Algorithmus polynomiale Bitkomplexität in O........ Eine Variante dieses Algorithmus konstruiert für Eingabevektoren x einen (von x nicht notwendigerweise verschiedenen) Nahebeipunkt x' zu x und eine kurze Relation zu x'. Im Falle x<>x können wir die Existenz von Relationen kleiner als (2E)exp -1 für Punkte in einer kleinen offenen Umgebung um x' ausschließen. Wir erhalten in diesem Sinne eine stetige untere Schranke für die Länge der kürzesten Relation zu Punkten in dieser Umgebung. Die für x' berechnete Relation ist bis auf einen in der Dimension n exponentiellen Faktor kürzeste Relation für x'. Zur Implementierung des Kettenbruchalgorithmus stellen wir ein numerisch stabiles Verfahren vor und berichten über experimentelle Ergebnisse. Wir geben untere Schranken für die Approximierbarkeit kürzester Relationen in der Maximum-Norm und minimaler diophantischer Approximationen an: Unter der Annahme, daß die Klasse NP nicht in der deterministischen Zeitklasse O(n exp poly log n) enthalten ist, zeigen wir: Es existiert kein Algorithmus, der für rationale Eingabevektoren x polynomial in der Bitlänge bin(x) von x ist und die in der Maximum-Norm kürzeste Relation bis auf einen Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) approximiert. Dabei ist zeta eine beliebig kleine positive Konstante. Wir übertragen dieses Resultat auf das Problem, zu gegebenen rationalen Zahlen x1,....,xn-1 und einem rationalen E > 0 gute simultane diophantische Approximationen zu finden, das heißt rationale Zahlen p1/q,...; (p n-1/)q mit möglichst kleinem Hauptnenner q zu konstruieren, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| <= E. Wir zeigen unter obiger Annahme, daß kein Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen x1,........,x n-1 und natürlicher Zahl N polynomial-Zeit in der Bitlänge bin(x) von x ist und simultane diophantische Approximationen berechnet, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| für q gehört zu [1, N] bis auf den Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) minimal ist. Hierbei ist zeta wieder eine beliebig kleine positive Konstante.