Mathematik
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Eine Billion ist mathematisch leicht darstellbar. Es ist eine Eins mit 12 Nullen: 1 000 000 000 000, mathematisch kurz und prägnant als 10^12 geschrieben. Aber darstellbar heißt nicht unbedingt vorstellbar. Versuchen wir, diese Anzahlen zu veranschaulichen, entstehen teilweise surreale, aber einprägsame Bilder.
Sensitivity of output of a linear operator to its input can be quantified in various ways. In Control Theory, the input is usually interpreted as disturbance and the output is to be minimized in some sense. In stochastic worst-case design settings, the disturbance is considered random with imprecisely known probability distribution. The prior set of probability measures can be chosen so as to quantify how far the disturbance deviates from the white-noise hypothesis of Linear Quadratic Gaussian control. Such deviation can be measured by the minimal Kullback-Leibler informational divergence from the Gaussian distributions with zero mean and scalar covariance matrices. The resulting anisotropy functional is defined for finite power random vectors. Originally, anisotropy was introduced for directionally generic random vectors as the relative entropy of the normalized vector with respect to the uniform distribution on the unit sphere. The associated a-anisotropic norm of a matrix is then its maximum root mean square or average energy gain with respect to finite power or directionally generic inputs whose anisotropy is bounded above by a >= 0. We give a systematic comparison of the anisotropy functionals and the associated norms. These are considered for unboundedly growing fragments of homogeneous Gaussian random fields on multidimensional integer lattice to yield mean anisotropy. Correspondingly, the anisotropic norms of finite matrices are extended to bounded linear translation invariant operators over such fields.
Statistical analysis on various stocks reveals long range dependence behavior of the stock prices that is not consistent with the classical Black and Scholes model. This memory or nondeterministic trend behavior is often seen as a reflection of market sentiments and causes that the historical volatility estimator becomes unreliable in practice. We propose an extension of the Black and Scholes model by adding a term to the original Wiener term involving a smoother process which accounts for these effects. The problem of arbitrage will be discussed. Using a generalized stochastic integration theory [8], we show that it is possible to construct a self financing replicating portfolio for a European option without any further knowledge of the extension and that, as a consequence, the classical concept of volatility needs to be re-interpreted.
AMS subject classifications: 60H05, 60H10, 90A09.
Integral equations for the mean-square estimate are obtained for the linear filtering problem, in which the noise generating the signal is a fractional Brownian motion with Hurst index h∈(3/4,1) and the noise in the observation process includes a fractional Brownian motion as well as a Wiener process. AMS subject classifications: 93E11, 60G20, 60G35.
Within the last twenty years, the contraction method has turned out to be a fruitful approach to distributional convergence of sequences of random variables which obey additive recurrences. It was mainly invented for applications in the real-valued framework; however, in recent years, more complex state spaces such as Hilbert spaces have been under consideration. Based upon the family of Zolotarev metrics which were introduced in the late seventies, we develop the method in the context of Banach spaces and work it out in detail in the case of continuous resp. cadlag functions on the unit interval. We formulate sufficient conditions for both the sequence under consideration and its possible limit which satisfies a stochastic fixed-point equation, that allow to deduce functional limit theorems in applications. As a first application we present a new and considerably short proof of the classical invariance principle due to Donsker. It is based on a recursive decomposition. Moreover, we apply the method in the analysis of the complexity of partial match queries in two-dimensional search trees such as quadtrees and 2-d trees. These important data structures have been under heavy investigation since their invention in the seventies. Our results give answers to problems that have been left open in the pioneering work of Flajolet et al. in the eighties and nineties. We expect that the functional contraction method will significantly contribute to solutions for similar problems involving additive recursions in the following years.
We provide a mathematical framework to model continuous time trading in limit order markets of a small investor whose transactions have no impact on order book dynamics. The investor can continuously place market and limit orders. A market order is executed immediately at the best currently available price, whereas a limit order is stored until it is executed at its limit price or canceled. The limit orders can be chosen from a continuum of limit prices.
In this framework we show how elementary strategies (hold limit orders with only finitely many different limit prices and rebalance at most finitely often) can be extended in a suitable
way to general continuous time strategies containing orders with infinitely many different limit prices. The general limit buy order strategies are predictable processes with values in the set of nonincreasing demand functions (not necessarily left- or right-continuous in the price variable). It turns out that this family of strategies is closed and any element can be approximated by a sequence of elementary strategies.
Furthermore, we study Merton’s portfolio optimization problem in a specific instance of this framework. Assuming that the risky asset evolves according to a geometric Brownian
motion, a proportional bid-ask spread, and Poisson execution times for the limit orders of the small investor, we show that the optimal strategy consists in using market orders to keep the
proportion of wealth invested in the risky asset within certain boundaries, similar to the result for proportional transaction costs, while within these boundaries limit orders are used to profit from the bid-ask spread.
Forschungsbedarf. Wenn man die mathematische Entwicklung in der frühen Kindheit als einen ganzheitlichen Prozess betrachtet, so gilt es, die Forschungsperspektive für unterschiedliche Lernorte zu öffnen. Einer dieser Lernorte ist die Familie, in welchem mathematische Bildungsprozesse der frühen Kindheit entscheidend von elterlichem Support beeinflusst werden. Bei der Untersuchung dieses Lernortes ist in der deutschsprachigen Mathematik-didaktik bisher eine Beschränkung auf Interviewstudien zu beobachten, in denen die Vorstellungen und Überzeugungen der Eltern zum Mathematiklernen und zur Mathematik rekonstruiert werden. Beobachtungsstudien, welche unabhängig von der Perspektive der Eltern Realisierungen von Support untersuchen, liegen bisher nicht vor. Die vorliegende Dissertation liefert einen Beitrag zur Bearbeitung dieses spezifischen Forschungsbedarfs in der deutschsprachigen Mathematikdidaktik.
Die Studie. Die durchgeführte, längsschnittlich angelegte Videostudie, die der Dissertation zugrunde liegt, ist der rekonstruktiven Sozialforschung und im Speziellen der Interpretativen Forschung in der Mathematikdidaktik zuzuordnen. Es wurden zehn Vorschulkinder und ihre Mütter ein Jahr lang in offenen Vorlese- und Spielsituationen begleitet. Als Grundlage der Analyse dienen Transkripte von ausgewählten Szenen. Die Transkriptanalyse ist durchgehend am Prinzip der Komparation orientiert und erfolgt zweischrittig: In einer Interaktionsanalyse wird zunächst die interaktionale Entwicklung des mathematischen Themas in der jeweiligen Szenen nachgezeichnet; darauf aufbauend wird die Diskursszene in einer Support-Fokussierung im Hinblick auf das hergestellte Support-System ausgedeutet.
Der Forschungsgegenstand. Gemäß der Verortung in der Interpretativen Forschung wird der Forschungsgegenstand aus sozialkonstruktivistisch-interaktionistischer Perspektive betrachtet. Demzufolge ist der Support in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen kein einseitiges Helfen der Mutter, sondern ein von Mutter und Kind gemeinsam in der Interaktion hergestelltes Support-System.
Ergebnisse. Der Support in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen wird in der vorliegenden Dissertation als ein Mathematics Acquisition Support System (MASS) beschrieben und aus zwei unterschiedlichen Perspektiven beleuchtet.
Die erste Perspektive ist eine allgemein sozialisationstheoretische und zeigt, dass das MASS in mathematischen Mutter-Kind-Diskursen auf unterschiedliche übergeordnete Aufgaben ausgerichtet sein kann: auf ein Mitmachen, auf einen Entwicklungsfortschritt oder auf eine freie Erkundung des Kindes. Diese Typisierung von Support-Jobs verdeutlicht, dass sich Support-Systeme gegenstandsspezifisch unterscheiden. Während das Discourse Acquisition Support System (DASS), welches im Hinblick auf die Entwicklung von Erzählkompetenz beschrieben
wurde (vgl. Hausendorf und Quasthoff 2005), ausschließlich auf eine übergeordnete Aufgabe ausgerichtet ist, kann das MASS über die Arbeit an unterschiedlichen Support-Jobs hergestellt werden. So sind Vorschulkinder im familialen Kontext in mathematische Diskurse eingebunden, die an unterschiedlichen Support-Jobs ausgerichtet sind. Dieses Ergebnis gewinnt dadurch zusätzliche Bedeutung, dass die Support-Jobs in den mathematischen Mutter-Kind-Diskursen als charakterisierend für die jeweiligen Mutter-Kind-Paare rekonstruiert werden konnten. Sowohl in Komparationen über die Zeit als auch in solchen über das Material etablieren und bearbeiten Mutter und Kind mit einer gewissen Stabilität einen spezifischen Support-Job. Die Biographie von Vorschulkindern als Mathematiklerner wird in der Familie also auf spezifische Weise geprägt.
Die zweite Perspektive ist eine genuin mathematikdidaktische und gliedert sich in zwei Teilperspektiven auf. Eine fokussiert auf das Mathematiklernen, die andere auf die Mathematik. In der Perspektive des Mathematiklernens werden Realisierungen von alltagspädagogischen Konzepten typisiert. Dabei zeigt sich, wie unterschiedlich Vorschulkinder als Mathematiklerner in Support-Systeme eingebunden werden: als Sachkundiger, als Wissender und als Denker (vgl. Olson und Bruner 1996). Anhand dieser gebildeten Typen wird das Forschungsfeld dahingehend strukturiert, welchen Konzepten vom Mathematiklernen und -lehren Vorschulkinder im familialen Kontext begegnen. In der Perspektive der Mathematik wird schließlich erarbeitet, wie Vorschulkinder und ihre Mütter in und mit ihrem je spezifischen MASS die Mathematik in den Sinnbereich ihres Alltags einbinden (vgl. Bachmair 2007): als Hilfsmittel, als Lernstoff und als Beschreibungs- und Denkmittel. Damit sind drei Typen mathematischer Sozialisation im familialen Kontext beschrieben.
Insgesamt macht die Verbindung aus einer allgemein sozialisationstheoretischen und einer mathematikdidaktischen Perspektive umfassend beschreibbar, wie Kinder im familialen Kontext in Support-Systeme zum Mathematiklernen eingebunden sind. Die Bildung unterschiedlicher Typen konnte sowohl im Hinblick auf die allgemeine Fokussierung des MASS als auch im Hinblick auf die damit realisierten Konzepte von Mathematiklernen und Mathematik vor-genommen werden. Damit ist der Lernort der Familie für die frühe mathematische Bildung und den Forschungsgegenstand des Supports strukturiert und anhand von Fallstudien beschrieben. Dieses Forschungsergebnis ist eine neue Einsicht über den bisher nur wenig erforschten Lernort der Familie und gleichzeitig eine Herausforderung für den Mathematikunterricht der Grundschule. Denn im Sinne einer Passung zwischen Familie und Schule gilt es, an die jeweiligen Interaktionserfahrungen der Kinder anzuknüpfen.
Der Hoppe-Baum ist eine zufällig wachsende, diskrete Baumstuktur, wobei die stochastische Dynamik durch die Entwicklung der Hoppe Urne wie folgt gegeben ist: Die ausgezeichnete Kugel mit der die Hoppe Urne startet entspricht der Wurzel des Hoppe Baumes. In der Hoppe Urne wird diese Kugel mit Wahrscheinlichkeit proportional zu einem Parameter theta>0 gezogen, alle anderen Kugeln werden mit Wahrscheinlichkeit proportional zu 1 gezogen. Wann immer eine Kugel gezogen wird, wird sie zusammen mit einer neuen Kugel in die Urne zurückgelegt, was in unserem Baum dem Einfügen eines neuen Kindes an den gezogenen Knoten entspricht. Im Spezialfall theta=1 erhält man einen zufälligen rekursiven Baum.
In der Arbeit werden Erwartungswerte, Varianzen und Grenzwertsätze für Tiefe, Höhe, Pfadlänge und die Anzahl der Blätter gegeben.
In recent years using symmetry has proven to be a very useful tool to simplify computations in semidefinite programming. This dissertation examines the possibilities of exploiting discrete symmetries in three contexts: In SDP-based relaxations for polynomial optimization, in testing positivity of symmetric polynomials, and combinatorial optimization. In these contexts the thesis provides new ways for exploiting symmetries and thus deeper insight in the paradigms behind the techniques and studies a concrete combinatorial optimization question.