Mathematik
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Über Elementarkettenbrüche, lineare Substitutionen und indefinite binäre quadratische Formen : II.
(1921)
Über Elementarkettenbrüche, lineare Substitutionen und indefinite binäre quadratische Formen : I.
(1919)
Gegenstand dieser Arbeit sind Galoisoperationen auf quasiplatonischen Riemannschen Flächen mit einer Automorphismengruppe isomorph zu PSL(2,F(q)). Quasiplatonische Riemannsche Flächen werden durch torsionsfreie Normalteiler N in einer Dreiecksgruppe D uniformisiert, d.h. N ist die universelle Überlagerungsgruppe und die Flächen, die man auch als algebraische Kurven beschreiben kann, sind isomorph zu N\U, wenn U die obere Halbebene bezeichnet. Bzgl. der Größe der Automorphismengruppen bilden die quasiplatonischen Kurven die lokalen Maxima im Modulraum. Die absoluten Maxima liegen bei den Hurwitz-Kurven; hier hat die Automorphismengruppe die maximale Größe von 84(g-1), wenn g>1 das Geschlecht der Kurve ist. Der Normalisator in PSL(2,R) der Überlagerungsgruppe N ist dann die Dreiecksgruppe mit Signatur (2,3,7). Macbeath hat die Bedingungen dafür gefunden, wann PSL(2,F(q)) eine Hurwitz-Gruppe ist. Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, dass q=p eine Primzahl kongruent +-1 mod 7 ist. Hier hat man drei nicht-isomorphe Kurven, die jedoch alle galoiskonjugiert zueinander sind. In der Arbeit werden Bedingungen angegeben, unter denen sich dieses Resultat auf Dreiecksgruppen D mit einer Signatur der Form (2,m_1,m_2) verallgemeinern lässt. Dabei gehen einerseits Ergebnisse von Frye ein, der die Anzahl der verschiedenen torsionsfreien Normalteiler N<D mit Quotienten PSL(2,F(q)) über die Spurtupel der Erzeugenden von D bestimmt hat. Andererseits wird eine Methode von Streit verwendet, mit der man die Galoisoperation auf den Kurven anhand des Verhaltens der Multiplikatoren der Erzeugenden in der Automorphismengruppe nachvollziehen kann. Es zeigt sich, dass sich Spur- und Multiplikatortupel entsprechen, woraus man die Anzahl und Länge der Galois-Orbits erhält. Außerdem lässt sich der Definitionskörper der Kurven bestimmen. Offen bleibt das genaue Verhalten bei Signaturen (m_0,m_1,m_2) mit m_i ungleich 2 für alle i. Hier gibt es zu jedem Multiplikatortupel zwei verschiedene Spurtupel. Kann man die Kurven durch die Multiplikatoren beschreiben, dann erhält man Projektionen D->>PSL(2,F(q)) auch über die Quaternionenalgebra, die die Dreiecksgruppe über ihrem Spurkörper erzeugt. Die Normalteiler erweisen sich dann als Schnitt der Dreiecksgruppe mit einer Hauptkongruenzuntergruppe nach einem Primideal P|char(F(q)) in der Norm-1-Gruppe einer Ordnung der Quaternionenalgebra. Dabei ist das Spurtripel in PSL(2,F(q)) gerade das Spurtripel aus D modulo P. Ändert man P, so erhält man ein anderes Spurtripel in PSL(2,F(q)), also auch einen anderen Normalteiler. Bilden die zugehörigen Kurven eine Bahn unter der Galoisoperation, dann ergeben sich alle Normalteiler auf diese Weise. Die Galoisoperation auf den Tripeln der Multiplikatoren, also die Galoisoperation auf den Kurven, ist verträglich mit der Operation, die die Primideale P|char(F(q)) permutiert. Wir erhalten also eine natürliche Korrespondenz zwischen der Galoisoperation auf den Kurven einerseits und der Operation auf den Primidealen andererseits.
Mixed volumes, mixed Ehrhart theory and applications to tropical geometry and linkage configurations
(2009)
The aim of this thesis is the discussion of mixed volumes, their interplay with algebraic geometry, discrete geometry and tropical geometry and their use in applications such as linkage configuration problems. Namely we present new technical tools for mixed volume computation, a novel approach to Ehrhart theory that links mixed volumes with counting integer points in Minkowski sums, new expressions in terms of mixed volumes of combinatorial quantities in tropical geometry and furthermore we employ mixed volume techniques to obtain bounds in certain graph embedding problems.
Die vorliegende Arbeit untersucht ausgewählte Eigenschaften von Preferential Attachment-Graphen. Darunter verstehen wir eine Klasse komplexer zufälliger Graphen, die mit einer vorgegebenen Konfiguration gestartet werden und anschließend mit jedem Zeitschritt um eine Ecke und m Kanten wachsen. Die Wachstumsregeln sind so gestaltet, dass eine neue Ecke ihre Kanten bevorzugt an Ecken sendet, die bereits mit vielen anderen Ecken verbunden sind, woraus sich die Bezeichnung Preferential Attachment (PA) ableitet. Die Arbeit stellt zunächst heuristisch die Eigenschaft der Skalenfreiheit von PA-Modellen vor und bespricht anschließend einen Beweis zu dieser These. Weiter betrachten wir den Durchmesser von PA-Graphen und untersuchen das Verhalten bei Anwachsen des Graphen. Wir erkennen, dass der Durchmesser bei wachsendem Graphen deutlich langsamer wächst, was wir als Small World-Phänomen bezeichnen. Die zentralen Aussagen und Beweise orientieren sich an den Arbeiten von Remco van der Hofstad, der die bekannten PA-Modelle um einen Parameter erweitert hat. Damit ist es möglich, sowohl logarithmische als auch doppelt-logarithmische Schranken für den Durchmesser zu erhalten.
Local interactions between particles of a collection causes all particles to reorganize in new positions. The purpose of this paper is to construct an energy-based model of self-organizing subgroups, which describes the behavior of singular local moves of a particle. The present paper extends the Hegselmann-Krause model on consensus dynamics, where agents simultaneously move to the barycenter of all agents in an epsilon neighborhood. The Energy-based model presented here is analyzed and simulated on finite metric space. AMS Subject Classifications:81T80; 93A30; 37M05; 68U20
Deformation quantization on symplectic stacks and applications to the moduli of flat connections
(2008)
It is a common problem in mathematical physics to describe and quantize the Poisson algebra on a symplectic quotient [...] given in terms of some moment map [...] on a symplectic manifold [...] with a hamiltonian action by a Lie group G. Among others, problems may arise in two parts of the process: c might be a singular value of the moment map and the quotient might not be well-behaving; in the interesting cases the quotient often is singular. By the famous result of Sjamaar and Lerman ([102]) X is a symplectic stratified space. We are interested in cases for which we can give a deformation quantization of the possibly singular Poisson algebra of X. To that purpose we introduce a Poisson algebra on the associated stack [...] for special cases and consider its deformations and their classification. We dedicate ourselves to use the rather geometric methods introduced by Fedosov for symplectic manifolds in [37]. That leads to the question how to perform differential geometry on a smooth stack. The Lie groupoid atlas of a smooth stack is a nice model for the same space (Tu, Xu and Laurent-Gengoux in [107] and Behrend and Xu in [16]), but both have different topoi. We give a morphism (P,R) that compares the topologies of a smooth stack and its atlas. This yields a method to transport sheaves and their sections between a smooth stack and its Lie groupoid atlas. A symplectic stack is a smooth separated Deligne-Mumford stack with a 2-form which is closed and non-degenerate in an atlas. Via (P,R) a deformation quantization on a symplectic stack can be performed in terms of an atlas. We also give a classification functor for the quantizations in the spirit of Deligne ([35]) based on the geometric interpretation given by Gutt and Rawnsely in [49]. As an application we give a deformation quantization for the moduli stack of flat connections in particular configurations. We use Darboux charts provided by Huebschmann (e.g. in [54]) to construct the corresponding Lie groupoid. This captures the symplectic form arising in the reduction process and differs from other approaches using gerbes of bundles (e.g. Teleman [105]).
In this work, we extend the Hegselmann and Krause (HK) model, presented in [16] to an arbitrary metric space. We also present some theoretical analysis and some numerical results of the condensing of particles in finite and continuous metric spaces. For simulations in a finite metric space, we introduce the notion "random metric" using the split metrics studies by Dress and al. [2, 11, 12].
Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation wurden von F. John und L. Nirenberg in ihrer Arbeit von 1961 eingeführt. Das Konzept der beschränkten mittleren Oszillation findet erste Verwendung beim Beweis der Harnackschen Ungleichung für elliptische partielle Differentialgleichungen durch Moser. In dieser Arbeit wird die Idee der beschränkten mittleren Oszillation auf harmonische Räume (X,H) übertragen. Erstmals wurde dieses Konzept von H. Leutwiler in einem Artikel für allgemeine harmonische Räume entwickelt. Da die Mehrzahl der Ergebnisse in Leutwilers Arbeit nur für Brelotsche Räume oder sogar nur für die Laplacegleichung auf der oberen Halbebene gezeigt werden konnten, sind diese zum Beispiel nicht auf harmonische Räume anwendbar, die durch einen parabolischen Differentialoperator, wie die klassische Wärmeleitungsgleichung, erzeugt wurden. Ziel dieser Arbeit ist es nun die Theorie der harmonischen Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation für allgemeine harmonische Räume zu entwickeln und unter anderem die Leutwilerschen Resultate zu beweisen. Naturgemäß lassen sich die Beweise aus Leutwilers Arbeit im Allgemeinen nicht einfach übertragen. Vielmehr mußten zum Teil neue Beweisideen und Methoden gefunden werden. Insbesondere wird konsequent von Bezugsmaßen Gebrauch gemacht, die eine allgemeine Harnacksche Ungleichung für diesen Rahmen zur Verfügung stellen. Ausgehend von Resultaten von T. Lyons kann im zweiten Kapitel eine Charakterisierung des Raumes BMO(X) gezeigt werden, wie sie bisher nur im klassischen Fall bekannt war. Aufbauend auf eine Arbeit von Bliedtner und Loeb wird im dritten Kapitel zuerst eine abstrakte Integraldarstellung quasibeschränkter Funktionen hergeleitet, die in Theorem 3.1.9 ihren Niederschlag findet. Dieses Theorem erlaubt eine Darstellung der kleinsten harmonischen Majorante gewisser subharmonischer Funktionen in Theorem 3.1.15. Ausgehend von diesen Resultaten werden schließlich in Theorem 3.2.2 und Korollar 3.2.3 Charakterisierungen harmonischer Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation durch ihr Randverhalten erzielt, wie sie bisher nur im klassischen Fall der Laplacegleichung auf der oberen Halbebene in einer späteren Arbeit von Leutwiler gezeigt werden konnten. Im vierten Kapitel werden die harmonischen Räume (X,H) der Laplace- und Wärmeleitungsgleichung als grundlegende Beispiele betrachtet. Im fünften Kapitel wird die Vollständigkeit gewisser Teilmengen des Raumes (BMO(X)/R) untersucht. In Theorem 5.1.10 wird durch Modifikation der Norm gezeigt, daß dieser so modifizierte Raum ein Banachraum ist, allerdings zu dem Preis, daß sämtliche Funktionen in diesem Raum beschränkt sind. Aus Theorem 5.2.4 ergibt sich als Korollar 5.2.6 ein neuer Beweis der Tatsache, daß im Spezialfall Brelotscher harmonischer Räume der Raum (BMO(X)/R) ein Banachraum ist. Schließlich zeigt Theorem 5.2.12, daß gewisse Teilmengen von (BMO(X)/R) vollständig bezüglich der BMO-Norm sind, ohne daß man dabei zusätzliche Bedingungen (wie etwa Brelotscher Raum) an (X,H) stellen muß.
Jeder Investor hat ein Ziel: Er will Gewinne realisieren. Dazu muss er Entscheidungen treffen. Und solche Entscheidungen werden zumeist unterschiedlich getroffen. Was beeinflusst den Investor in seiner Entscheidung und wie lassen sie sich überzeugen? Alle Investoren stellen sich dabei die Frage: Ist das für ein Investment eingegangene Risiko gegenüber der erwarteten Rendite gerechtfertigt? Gibt es eine Möglichkeit, Ertrag und Risiko von zinsbasierten Finanzinstrument bzw. Portfolien zu analysieren? Ein eben solches Verfahren stellt diese Diplomarbeit vor. Über ein Zinsstrukturmodell unter dem empirischen Wahrscheinlichkeitsmaß wird eine P&L Verteilung des entsprechenden Investments berechnet. Welches Zinsmodell eignet sich für diese Berechnung am besten? Eine weit verbreitete Klasse von Zinsstrukturmodellen stellen die Sell-Side Modelle (Pricing Modelle) dar. Diese werden zum arbitragefreien Pricing von Finanzinstrumenten eingesetzt und arbeiten unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß. Zur Simulation realer Zinsszenarien müssen diese Modelle unter dem realen Wahrscheinlichkeitsmaß aufgestellt und geschätzt werden. Als ein Vertreter dieser Modellklasse wird das Cox-Ingersoll-Ross Modell untersucht. Des Weiteren werden das dynamische Nelson-Siegel Modell sowie ein Resampling-/Bootstrapping Modell (RMJBN Modell) vorgestellt und getestet. Die erwähnten Zinsmodelle werden einem Out-of-Sampling-Test unterzogen. Das gewählte Modell muss einem Kriterienkatalog entsprechen, der anhand der Analyseergebnisse der EURIBOR-Zinskurven bezüglich deren Schwankungen und Formen aufgestellt wurde. Es zeigt sich, dass das RMJBN Modell die wesentlichen Merkmale gut abbildet. Unter dem Namen Extended RMJBN Modell folgt eine Erweiterung des Bootstrapping Modells, welche bei der Modellierung der Verteilungen der Zinskurven-Krümmungen ansetzt. Abschließend wird eine Anwendungsmöglichkeit des Extended RMJBN Modells vorgestellt. Es werden dabei Renditeverteilungen von zwei unterschiedlichen Festgeldanlagen betrachtet, um eine reale Investmententscheidung treffen zu können.
Das libor Markt Modell (LMM) ist seit seiner Entwicklung in den Veröffentlichungen von Brace, Gatarek, Musiela (1997), einerseits, und unabhängig von diesen von Miltersen, Sandmann, Sondermann (1997), andererseits, zu dem anerkanntesten Instrument zur Modellierung der Zinsstruktur und der damit verbundenen Preisfindung für relevante Finanzderivate geworden. libor steht dabei für London Inter-Bank Offered Rate, ein täglich in London fixierter Referenz-Zins für kurzfristige Anlagen. Drei- oder sechsmonatige Laufzeiten sind in Verbindung mit dem LMM üblich. Die Forschung zur Verbesserung dieses Modells hat in den letzten Jahren an Zuwachs gewonnen. Beim Versuch den Fehler der Anpassung an die täglich beobachteten Preise von Zinsoptionen wie Caps und Swaptions zu verringern, erhält man in der Folge auch genauere Bewertungen für andere, exotischere, Derivate. Die zugrunde liegende und zentrale Idee des LMM besteht darin, die Forward (Termin) Zinsen direkt als primären (Vektor) Prozess mehrerer libor Sätze zu betrachten und diese simultan zu modellieren, anstatt sie nur herzuleiten aus einem übergeordneten, unendlich dimensionalen Forward Zinsprozess, wie im zeitlich früher entwickelten Heath-Jarrow-Morton Modell. Das überzeugendste Argument für diese Diskretisierung ist, dass die libor Sätze direkt im Markt beobachtbar sind und ihre Volatilitäten auf eine natürliche Weise in Beziehung gebracht werden können zu bereits liquide gehandelten Produkten, eben jenen Caps und Swaptions. Dennoch beinhaltet das Modell eine gravierende Insuffizienz, indem es keine Krümmung der Volatilitätsoberfläche, im Hinblick auf Optionen mit verschiedenen Basiszinsen, abbildet. Wie im einfachen eindimensionalen Black-Scholes Modell prägen sich auch hier die Ungenauigkeiten der Verteilung in fehlenden heavy tails deutlich aus. Smile und Skew Effekte sind erkennbar. Im klassischen liborMarkt Modell wird in Richtung der Basiszinsdimension nur eine affine Struktur erzeugt, welche bestenfalls als Approximation für die erwünschte Oberfläche dienen kann. Die beobachteten Verzerrungen führen naturgemäss zu einer ungenauen Abbildung der Realität und fehlerhaften Reproduktion der Preise in Regionen, die ein wenig entfernt vom Bereich am Geld liegen. Derartig ungewollte Dissonanzen in Gewinn und Verlustzahlen führten z.B. in 1998 zu gravierenden Verlusten im Zinsderivateportfolio der heutigen Royal Bank of Scotland. ...
Der Bolthausen-Sznitman Koaleszent ist ein zeitstetiger Markovprozess mit Werten in der Menge der Partitionen der natürlichen Zahlen. Der Prozess startet in Singletons und seine Dynamik erlaubt lediglich Übergänge in gröbere Partitionen. In dieser Arbeit wird der Bolthausen-Sznitman Koaleszent zum Zeitpunkt seines letzten Übergangs analysiert. Das Hauptresultat ist ein Grenzwertsatz, welcher eine gemeinsame Aussage sowohl über die Blockanzahl als auch über die Blockgrößen des Koaleszenten zu diesem Zeitpunkt macht. Dafür wird der Koaleszent durch ein gewisses Abholzverfahren zufälliger rekursiver Bäume modelliert, wobei diese Bäume wiederum anhand von Yule-Prozessen generiert werden.
Mit den Small World Graphen stehen seit Ende der Neunzigerjahre Modelle für soziale und ähnliche Netzwerke, die im Vergleich zu Erdös-Rényi-Graphen stärker Cluster ausbilden, zur Verfügung. Wir betrachten die Konstruktion dieser Graphen und untersuchen zwei der Modelle genauer im Zusammenhang mit stochastischen Prozessen. Das stetige Modell betrachten wir hinsichtlich dem Abstand zweier Knoten. Der interessanteste Aspekt hierbei ist, dass man bei der Konstruktion des Graphen die entfernten Nachbarn mithilfe der Poissonverteilung wählt und in der Folge einen Yule-Prozess auf dem Graphen erhält. Auf der Bollobás-Chung Small World lassen wir den Kontaktprozess ablaufen und untersuchen diesen bezüglich seiner Überlebenswahrscheinlichkeit. Wir sehen, dass er auf diesem Graphen zwei Phasenübergänge aufweist. Oberhalb des ersten überlebt er für immer mit positiver Wahrscheinlichkeit, oberhalb des zweiten ist zudem der Knoten, auf dem der Kontaktprozess gestartet ist, stets mit positiver Wahrscheinlichkeit infiziert. Schließlich betrachten wir die Zeitdauer, die ein leicht modifizierter, superkritischer Kontaktprozess auf der Small World unter bestimmten Voraussetzungen überlebt. Die wesentliche Dynamik, die wir hierbei ausmachen können, ist, dass auf ein Absinken der Infektionen mit hoher Wahrscheinlichkeit wieder eine Verdopplung der Infektionen folgt.
Diese Diplomarbeit behandelt eine Fragestellung aus dem Gebiet der Fuchsschen Gruppen. Das Problem, das hier geklärt werden soll, entspringt einer im Jahre 2005 erschienenen Arbeit über Konjugatoren Fuchsscher Gruppen und quasiplatonische Riemannsche Flächen von Jürgen Wolfart und Ernesto Girondo [GW05]. Es ist dort ein alternativer geometrischer Weg gewählt worden, um es zu umgehen, und es soll nun hier mit den bereits 1970 bereitgestellten Methoden zur Fragestellung der Existenz von Untergruppen Fuchsscher Gruppen von David Singerman [SIN70] gelöst werden. Betrachtet man eine Dreiecksgruppe $Delta_{1}$ als Untergruppe einer Dreiecksgruppe $Delta_{2}$, so kann es vorkommen, dass diese Inklusion eine Verfeinerung durch eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta$ gestattet. In den Fällen, in denen zu einer gegebenen Dreiecksgruppe $Delta_{2}$ voneinander verschiedene Untergruppen gleicher Signatur $Delta_{1},Delta_{1}Apostroph,...$ existieren, ist es nicht a priori klar, dass es eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gleicher Signatur zu jeder dieser verschiedenen Untergruppen gibt. Das Ziel dieser Arbeit ist es nun, dies zu klären, d.h. zu zeigen, dass es für jedes Paar Dreiecksgruppen $Delta_{1}subseteqDelta_{2},Delta_{1}ApostrophsubseteqDelta_{2},...$ eine dazwischenliegende Dreiecksgruppe $Delta,DeltaApostroph,...$ gibt. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine grobe Einleitung in die Theorie der Diskontinuierlichen Gruppen gegeben, die sehr stark auf Fuchssche Gruppen abzielt und mit deren Verbindung zu Riemannschen Flächen abschließt. Sie orientiert sich sehr stark an einem Standardwerk über Diskontinuierliche Gruppen von Joseph Lehner [LEH64]. Im zweiten Teil dieser Arbeit widmen wir uns ganz den Untergruppen Fuchsscher Gruppen und dem von David Singerman [SIN70] bereitgestellten Apparat, der eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür aufzeigt. Wie David Singerman auch zeigt, lassen sich diese Methoden für Normalteiler und Dreiecksgruppen spezialisieren. Wir werden uns dem auch annehmen. Abschließend erarbeiten wir dann eine ausführliche Methode und somit auch einen Beweis zur Erlangung der kompletten Liste von Inklusionen Fuchsscher Dreiecksgruppen, wie sie sich in einer weiteren Arbeit David Singermans befindet [SIN72]. Dies geschieht mit Hilfe zweier Maple-Programme deren Quellcode und Ausgabe sich im Anhang bzw. vierten Teil dieser Arbeit zur Einsicht bendet. Im dritten Teil dieser Arbeit wird schließlich die oben erläuterte Fragestellung geklärt werden. Sie wird zunächst anhand vieler Beispiele und Erläuterungen verdeutlicht, und im Anschluss dessen eine mögliche Verallgemeinerung auf Fuchssche Gruppen diskutiert.
Rezension zu: George G. Szpiro : Mathematik für Sonntagmorgen : 50 Geschichten aus Mathematik und Wissenschaft, NZZ Verlag, Zürich 2006, ISBN 978-3-03823-353-4 ; 240 Seiten, 26 Euro/38 CHF George G. Szpiro : Mathematik für Sonntagnachmittag : Weitere 50 Geschichten aus Mathematik und Wissenschaft, NZZ Verlag, Zürich 2006, ISBN 978-3-03823-225-4 ; 236 Seiten, 26 Euro/38 CHF
Computer haben im Mathematik-Unterricht bisher vor allem die Funktion, Abstraktes bildlich zu veranschaulichen. Neu sind interaktive Programme, mit denen Schüler experimentieren und spielerisch ein Gefühl für Zusammenhänge entwickeln können. Erste Versuche zeigen, dass dieses Angebot, »Mathematik erfahrbar zu machen«, die Schüler stark motiviert. Computer sind wichtige Mittler zwischen der realen Welt und den Abstraktionen ihrer mathematischen Beschreibung. Denn: Mathematik wohnt den Dingen nicht inne, man sieht sie mit dem »mathematischen Blick« in die Dinge hinein. Erst dadurch gliedert sich der Raum um uns in Punkte, Strecken, Ebenen und all die anderen geometrischen Objekte. Diese Objekte selbst sind nicht real, und materielle Modelle, die wir zu ihrer Veranschaulichung heranziehen, unterliegen Einschränkungen, von denen man abstrahieren muss. Wir zeigen anhand zweier aktueller Entwicklungs- und Forschungsprojekte, wie Computer helfen können, diese Kluft zu überbrücken. ...
Finanzderivate gelten als obskur, verwickelt und riskant. Und das nicht zu Unrecht, wie die aktuelle Krise der globalen Finanzmärkte zeigt. Um Finanzderivate richtig bewerten zu können, bedarf es ausgefeilter Methoden der Finanzmathematik. Ausgelöst durch den explosionsartigen Anstieg des Derivatehandels hat sich die Mathematik zu einer Schlüsseltechnologie auf modernen Finanzmärkten entwickelt. Sie stellt den Finanzakteuren das mathematische Werkzeug für ihr Risikomanagement zur Verfügung.
Informationsverarbeitung im Gehirn basiert auf dem koordinierten Zusammenwirken von Milliarden von Nervenzellen. Um diese Codes zu entschlüsseln, sind komplexe Verfahren experimenteller Datenerhebung und theoretischer Datenanalyse notwendig. Denn auch wenn alle Zellen im selben Rhythmus agieren, kann sich jede auf ihre Art am Konzert beteiligen. Die verschiedenen Stimmen äußern sich in zeitlichen Mustern, die sich experimentell kaum vom Rauschen unterscheiden lassen. Erst mithilfe statistischer Verfahren konnten winzige zeitliche Verzögerungen als nicht zufällig identifiziert werden.
Der Zufall – ein Helfer und kein Störenfried : warum die Wissenschaft stochastische Modelle braucht
(2008)
Der Zufall hat in den Wissenschaften weithin einen zweifelhaften Ruf. Für die Philosophie hat Hegel festgestellt: »Die philosophische Betrachtung hat keine andere Absicht, als das Zufällige zu entfernen« (Die Vernunft in der Geschichte, 1822) – und ähnlich denkt man auch in anderen Wissenschaften. Die Auseinandersetzungen der Physik mit dem Zufall sind verschlungen und bis heute von Kontroversen begleitet. Was die Biologie betrifft, so herrscht noch einiger Argwohn gegenüber den modernen Evolutionstheorien, die sich entscheidend auf den Zufall stützen. Und dass derartige Theorien unvereinbar sind mit der Vorstellung von einer göttlichen Schöpfung der Welt, gilt unter manchen ihrer Gegner wie Befürworter als ausgemacht.
Kieferorthopäden beschreiben die Anordnung der Zähne und die Stellung der Kiefer üblicherweise mittels Winkel und Strecken in der sagittalen Gesichtsebene. Im vorliegenden Fall werden fünf Winkel betrachtet und jedes Individuum lässt sich als Punkt in einem 5-dimensionalen Raum darstellen. Individuen, die laut Experten ein gut funktionierendes Gebiss und ein harmonisches Äußeres besitzen, formen eine Punktwolke, die im Folgenden als die Norm Population bezeichnet wird. Individuen fern von der Wolke benötigen kieferorthopädische Behandlung. Welche Form sollte dieser Eingriff annehmen? Durch Hilfsmittel der modernen Kieferorthopädie lassen sich die beschriebenen Winkel nahezu nach Belieben ändern. Dies ist natürlich verbunden mit einer unterschiedlichen Menge an Problemen, Arbeitsaufwand und Unannehmlichkeiten, abhängig vom individuellen Patienten. Diese Arbeit präsentiert eine Methode, die auf jedem Computer leicht implementierbar und auf k Variablen verallgemeinerbar ist. Sie ermöglicht Kieferorthopäden eine Visualisierung, wie verschiedene denkbare Anpassungen der Winkel eines Patienten dessen relative Position zur Norm Population verändern. Damit unterstützt sie Kieferorthopäden bei der Entscheidung für einen Behandlungsplan, der die besten Ergebnisse verspricht.
Ein universeller zentraler Grenzwertsatz für den Abstand zweier Kugeln in zufälligen Splitbäumen
(2008)
In der vorliegenden Arbeit wird ein Modell des zufälligen Splitbaumes untersucht. Dies ist ein verallgemeinertes Modell, das bei passender Wahl der zugehörigenParameter viele konkrete Suchbäume umfasst. Das Modell ist in der Arbeit von L. Devroye beschrieben: Nach einem zufallsbasierten Algorithmus werden den Knoten des Baumes Daten in Form von Kugeln hinzugefügt. Tiefe und Höhe sind dabei grundlegende Größen, die die Komplexität von Suchoperationen beschreiben, wenn das Suchbaummodell als Datenstruktur verwendet wird. Das Augenmerk der Arbeit richtet sich auf eine weitere entscheidende Größe: Den Abstand zweier rein zufällig gewählter Kugeln im Baum. Aufbauend auf Devroyes Erkenntnissen zum asymptotischen Verhalten der Tiefe der zuletzt eingefügten Kugel im Splitbaum, wird ein neues Resultat erzielt: Ein universeller Zentraler Grenzwertsatz für den Abstand der Kugeln. Als Anwendungsbeispiel werden zwei vom allgemeinen Modell abgedeckte Suchbäume betrachtet und der jeweilige Grenzwertsatz für die Abstände aus dem universellen Satz abgeleitet.
Das Assignment Problem ist ein bekanntes kombinatorisches Optimierungsproblem, bei dem es darum geht, in einem gewichteten bipartiten Graphen ein Matching mit minimalem Gewicht zu finden. In dieser Arbeit sind die Kantengewichte exponentialverteilt zu speziell gewählten Raten. Damit sind Erwartungswert und Varianz des minimalen Gewichts von besonderem Interesse. Zunächst wird ein Beweis der Parisi Formel und der Coppersmith-Sorkin Formel erläutert. Die Formeln beschreiben den Erwartungswert des minimalen Gewichts im Fall, dass die Raten alle dem Wert 1 entsprechen. Im zweiten Teil wird die Herleitung einer expliziten Formel zur Berechnung der Varianz des zufälligen minimalen Gewichts erklärt, wobei die Raten immer noch mit 1 übereinstimmen. Gleichzeitig wird eine Formel für die höheren Momente geliefert, aus der die Parisi Formel und Coppersmith-Sorkin Formel aus dem ersten Teil folgen und die sogar das bisherige Modell bezüglich der Parameter erweitert. Schließlich kann man das Ergebnis des zweiten Teils zur Beschreibung des asymptotischen Verhaltens der Varianz benutzen.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Gruppen von quasi-Automorphismen von Graphen, genauer gesagt, von gefärbten Graphen. Ein gefärbter Graph ist ein Graph, dessen Kantenmenge in eine disjunkte Vereinigung von Mengen von Kanten einer bestimmten Farbe zerlegt ist. Ein Automorphismus eines solchen Graphen muss insbesondere die Farben der Kanten respektieren. Ein quasi-Automorphismus eines solchen Graphen ist eine Bijektion der Eckenmenge auf sich selbst, die nur endlich oft die Autmomorphismeneigenschaft verletzt, d.h. nur endlich viele Kanten nicht respektiert und nur endlich viele Kanten neu entstehen läßt. Die Menge der quasi-Automorphismen eines Graphen bildet eine Untergruppe in der Gruppe der Permutationen der Eckenmenge. Eine Auswahl interessanter Beispiele solcher Gruppen und manche ihrer Eigenschaften sind neben einigen grundsätzlichen Überlegungen Thema dieser Arbeit. Die erste Klasse von Graphen, die wir untersuchen, sind Cayley-Graphen (endlich erzeugter) Gruppen. Dabei werden wir zeigen, dass die quasi-Automorphismengruppe eines Cayley-Graphen nicht von dem (endlichen) Erzeugendensystem abhängt. Wir werden zeigen, dass für eine einendige Gruppe $G$ die quasi-Automorphismengruppe des Cayley-Graphen stets als semidirektes Produkt der finitären Permutationen von $G$ und der Gruppe $G$ selbst zerfällt. In der Klasse der mehrendigen Gruppen gibt es genau $2$ Gruppen für die das ebenfalls gilt, nämlich die Gruppe der ganzen Zahlen ...Z und die unendliche Diedergruppe $D_infty$. In allen anderen Gruppen ist das oben erwähnte semidirekte Produkt stets eine echte Untergruppe. Trotzdem werden wir im Ausblick eine Konstruktion angeben, die für eine gegebene Gruppe $G$ einen Graphen $Gamma$ liefert, dessen quasi-Automorphismengruppe als semidirektes Produkt von $S_Gamma$ -- so bezeichnen wir die Gruppe der finitären Permutationen der Ecken von $Gamma$ -- und $G$ zerfällt. Des Weiteren werden wir die quasi-Automorphismengruppe des ebenen binären Wurzelbaumes betrachten. Wir werden zeigen, dass diese eine Erweiterung von (Richard) Thompsons Gruppe VV durch die Gruppe der finitären Permutationen ist, eine Präsentierung entwickeln und die Endlichkeitseigenschaften dieser Gruppe und einiger Untergruppen beleuchten. Insbesondere werden wir einen Zellkomplex konstruieren, auf dem die Gruppe der quasi-ordnungserhaltenden quasi-Automorphismen, welche das Urbild der Untergruppe FF von VV unter der kanonischen Projektion ist, mit endlichen Stabilisatoren operiert. Diese Operation erfüllt dabei die Bedingungen, die nötig sind, um mit Hilfe von Browns Kriterium nachzuweisen, dass die Gruppe vom Typ FPunendlich ist. Das co-Wort-Problem einer Gruppe $G$ bezüglich eines unter Inversion abgeschlossenen Erzeugendensystems $X$ ist die Sprache aller Worte aus dem freien Monoid $X^*$, die unter der kanonischen Projektion auf ein Element ungleich der Identität in $G$ abgebildet werden. Wir werden zeigen, dass das co-Wort-Problem der quasi-Automorphismengruppe des ebenen binären Wurzelbaumes eine kontext-freie Sprache bildet. Sei $mathop{coCF}$ die Klasse der Gruppen mit kontextfreiem co-Wort-Problem. Diese Klasse ist abgeschlossen bezüglich Untergruppenbildung und alle Gruppen, deren Zugehörigkeit zu $mathop{coCF}$ bisher nachgewiesen wurde, sind Unterguppen der quasi-Automorphismengruppe des ebenen binären Wurzelbaumes. Die $n$-strahligen Houghton-Gruppen erweisen sich als quasi-Automorphismengruppen von Sterngraphen, d.h. von Graphen, die disjunkte Vereinigungen von $n$ Strahlen verschiedener Farben sind. Wir werden uns mit geometrischen Phänomenen der Cayley-Graphen dieser Gruppen beschäftigen. Insbesondere werden wir nachweisen, dass die $2$-strahlige Houghton-Gruppe Houn[2] beliebig tiefe Sackgassen besitzt. Eine Sackgasse der Tiefe $k$ in einem Cayley-Graphen ist ein Element, dessen Abstand zur Identität mindestens so groß ist, wie der Abstand zur Identität aller Elemente im $k$-Ball um das Element. Sogar in einem stärkeren Sinne, der in dieser Arbeit definiert wird, ist die Tiefe der Sackgassen unbeschränkt. Um dies und verwandte Fragen besser behandlen zu können, entwickeln wir Modelle, die eine Beschreibung der Cayley-Graphen von Houn[n] ermöglichen. Im abschließenden Ausblick thematisieren wir einige Ansätze, in denen wir interessante Anwendungen von quasi-Automorphismengruppen sehen.
Im Zentrum dieser Arbeit steht die Operation der Gruppe Gamma:=SL_n(Z[1/m]) auf dem symmetrischen Raum M:=SL_n(R)/SO(n). Allgemeiner betrachten wir die Operation rho:Gamma->Isom(M) einer S-arithmetischen algebraischen Gruppe durch Isometrien auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Die symmetrischen Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtpositiver Krümmung und daher insbesondere CAT(0)-Räume. R. Bieri und R. Geoghegan haben für die Operation rho:G->Isom(M) einer abstrakten Gruppe G auf einem CAT(0)-Raum M die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) als Teilmenge des Randes von M eingeführt (vgl. [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Connectivity properties of group actions on non-positively curved spaces, vol. 161, Memoirs of the AMS, no. 765, American Mathematical Society, 2003]). Die Fokusierung, die durch die geometrischen Invarianten erreicht wird, hat sich in vielen Fällen bewährt, in denen eine Operation durch Translationen auf dem euklidischen Raum zur Verfügung steht. Über die Invarianten von anderen CAT(0)-Operationen ist noch wenig bekannt. In der vorliegenden Arbeit berechnen wir nun die geometrischen Invarianten Sigma^k(rho) für die oben erwähnte Operation rho der S-arithmetischen Gruppe Gamma auf dem zugehörigen symmetrischen Raum M. Wir erhalten für die Gruppe SL_n(Z[1/m]) die folgende Invariante: Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M, falls k kleiner als s(n-1) ist; Sigma^k(rho) ist die Menge aller Randpunkte e von M, die nicht im Rand eines rational definierten flachen Unterraum von M liegen, falls k größer oder gleich s(n-1) ist. Hierbei ist s die Anzahl der verschiedenen Primteiler von m. Die obigen Resultate sind eine Verallgemeinerung derer in [Robert Bieri and Ross Geoghegan, Controlled Connectivity of SL_2(Z[1/m]), Geometriae Dedicata 99 (2003), 137--166]. Der Beweis, den wir geben, besteht aus einer Vereinfachung des Beweises von Bieri und Geoghegan, die dann auf die allgemeinere Situation angepasst werden konnte. Ein interessanter Aspekt ergibt sich, wenn wir für eine Operation rho auf M die Zahlen k betrachten, für die gilt: (*) Sigma^k(rho) ist der ganze Rand von M. Operiert die Gruppe Gamma mit diskreten Bahnen, dann ist (*) äquivalent zur Eigenschaft, daß die Punktstabilisatoren Gamma_a, für a aus M, vom Typ F_k sind. Die Eigenschaft (*) ist auch von Interesse für S-arithmetische Untergruppen einer linearen algebraischen Gruppe über einem Funktionenkörper. Wir zeigen, daß es hier eine naheliegende Operation rho' auf einem Bruhat-Tits Gebäude M' gibt, so daß Gamma' ein Punktstabilisator und damit die Eigenschaft (*) mit der Eigenschaft "Gamma' ist vom Typ F_k" zusammenfällt. Im Zahlkörperfall sind die Verhältnisse ganz anders. Unsere S-arithmetischen Gruppen operieren auf dem symmetrischen Raum M nicht mit diskreten Bahnen und sind durchwegs vom Typ F_k für alle k. Dagegen erlaubt unser Hauptresultat die Bestimmung der Zahlen k mit der Eigenschaft (*) und zeigt eine interessante Abhängigkeit von s=|S| und dem Rang r der algebraischen Gruppen (rho erfüllt (*) <=> k<rs). Das Hauptresultat wird außerdem nicht nur für SL_n(Q), sondern allgemeiner für Chevalley-Guppen über Q oder Q(i) gezeigt, so daß wir damit für eine Reihe von klassischen CAT(0)-Operationen die Invarianten Sigma^k(rho) bestimmt haben.
Die Hilbertsche Grundlegung der Geometrie darf für alle analogen Untersuchungen als vorbildlich gelten. Zwei ihrer Eigenschaften sind es, auf die es hier ankommt. Erstens wird von allen sprachlichen Definitionen der Objekte, mit denen sie operiert, wie Punkt, Gerade, zwischen usw. abgesehen; nur ihre gegenseitigen Beziehungen und deren Grundgesetze werden axiomatisch an die Spitze gestellt. Zweitens werden die Axiome in verschiedene Gruppen gewisser Eigenart und Tragweite gespalten (die des Schneidens und Verbindens, die Axiome der Ordnung, der Kongruenz usw.), und es ist eine wesentliche Aufgabe des axiomatischen Aufbaues, zu prüfen, bis zu welchen Resultaten eine einzelne oder mehrere dieser Gruppen für sich führen. Die gleiche Behandlung eignet sich für die Mengenlehre. Von sprachlicher Einführung der Begriffe Menge, Bereich usw. ist daher ebenso abzusehen , wie von der des Punktes oder Raumes. Ebenso kann man hier gewiisse Axiomgruppen unterscheiden, die Axiome der Aquivalenz, die Axiome der Ordnung usw., und kann die gleichen Fragen stellen, wie im Gebiet der Geometrie. Dies soll im folgenden geschehen und zwar für denjenigen Teii, der nur mit dar Äquivalenz der Mengen, der Mengenteilung und Mengenverbindung, sowie der Mengenvergleichung operiert.....
In dem Artikel ,,Zur Axiomatik der Mengenlehre" habe ich die Axiome, die sich mit den Gebieten der Äquivalenz, der Mengenteilung und Mengenuergleichung beschäftigen, einer Erörterung unterzogen. An zwei Resultate dieses Artikels knüpfe ich hier an. Erstens einmal, da die in ihm durchgeführten Untersuchungen auf die Elemente der Mengen gar nicht eingehen, so stellen sie, allgemein gesprochen, axiomatische Betrachtungen über Größen und Größenbeziehungen dar, an denen die Mengen ja Teil haben; und zweitens hatte eine der dort analysierten Beziehungen den Gedanken nahegelegt, auch Größen entgegengesetzter Art (resp. Mengen von zweierlei Art von Elementen) in Betracht zu ziehen, und auf sie die oben genannten Operationen auszudehnen. Hier nun gebe ich im folgenden einige Ergänzungen. Bereits a. a. O.war bemerkt worden, daß es naturgemäß der Untersuchung bedarf, ob für die so charakterisierten Mengen die weiteren allgemeinen Sätze der Cantorschen Theorie in Kraft bleiben. Inzwischen hat mir Herr A. Fränkel mitgetelt, daß für das von mir konstruierte Beispiel schon ein Teil der in meinem Artikel zugrunde gelegten Axiome versagt; und zwar ein Teil der Axiome über Teilmengen. Über Teilmengen habe ich zwei Axiome an die Spitze gestellt. ......
This thesis exhibits skeins based on the Homfly polynomial and their relations to Schur functions. The closures of skein-theoretic idempotents of the Hecke algebra are shown to be specializations of Schur functions. This result is applied to the calculation of the Homfly polynomial of the decorated Hopf link. A closed formula for these Homfly polynomials is given. Furthermore, the specialization of the variables to roots of unity is considered. The techniques are skein theory on the one side, and the theory of symmetric functions in the formulation of Schur functions on the other side. Many previously known results have been proved here by only using skein theory and without using knowledge about quantum groups.
Euklidische Zerlegungen nicht-kompakter hyperbolischer Mannigfaltigkeiten mit endlichem Volumen
(1998)
Epstein and Penner constructed in [EP88] the Euclidean decomposition of a non-compact hyperbolic n-manifold of finite volume for a choice of cusps, n >= 2. The manifold is cut along geodesic hyperplanes into hyperbolic ideal convex polyhedra. The intersection of the cusps with the Euclidean decomposition determined by them turns out to be rather simple as stated in Theorem 2.2. A dual decomposition resulting from the expansion of the cusps was already mentioned in [EP88]. These two dual hyperbolic decompositions of the manifold induce two dual decompositions in the Euclidean structure of the cusp sections. This observation leads in Theorems 5.1 and 5.2 to easily computable, necessary conditions for an arbitrary ideal polyhedral decomposition of the manifold to be a Euclidean decomposition.
Epstein and Penner constructed in [EP88] the Euclidean decomposition of a non-compact hyperbolic n-manifold of finite volume for a choice of cusps, n >= 2. The manifold is cut along geodesic hyperplanes into hyperbolic ideal convex polyhedra. The intersection of the cusps with the Euclidean decomposition determined by them turns out to be rather simple as stated in Theorem 2.2. A dual decomposition resulting from the expansion of the cusps was already mentioned in [EP88]. These two dual hyperbolic decompositions of the manifold induce two dual decompositions in the Euclidean structure of the cusp sections. This observation leads in Theorems 5.1 and 5.2 to easily computable, necessary conditions for an arbitrary ideal polyhedral decomposition of the manifold to be a Euclidean decomposition.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der BFV-Reduktion von Hamiltonschen Systemen mit erstklassigen Zwangsbedingungen im Rahmen der klassischen Hamiltonschen Mechanik und im Rahmen der Deformationsquantisierung. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei Zwangsbedingungen zuteil, die als Nullfaser singulärer äquivarianter Impulsabbildungen entstehen. Es ist schon länger bekannt, daß für Nullfasern regulärer äquivarianter Impulsabbildungen die in der theoretischen Physik gebräuchliche Methode der BFV-Reduktion zur Phasenraumreduktion nach Marsden/Weinstein äquivalent ist. In [24] konnte gezeigt werden, daß in dieser Situation die BFV-Reduktion sich auch im Rahmen der Deformationsquantisierung natürlich formulieren läßt und erfolgreich zur Konstruktion von Sternprodukten auf Marsden/Weinstein-Quotienten verwendet werden kann. Ein Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit besteht in der Verallgemeinerung der Ergebnisse aus [24] auf den Fall singulärer Impulsabbildungen, deren Komponenten 1.) das Verschwindungsideal der Zwangsfläche erzeugen und 2.) einen vollständigen Durchschnitt bilden. Die Argumentation von [24] wird durch Gebrauch der Störungslemmata aus dem Anhang A.1 systematisiert und vereinfacht. Zum Existenzbeweis von stetigen Homotopien und stetiger Fortsetzungsabbildung für die Koszulauflösung werden der Zerfällungssatz und der Fortsetzungssatz von Bierstone und Schwarz [20] benutzt. Außerdem wird ein ’Jacobisches Kriterium’ für die Überprüfung von Bedingung 2.) angegeben. Basierend auf diesem Kriterium und Techniken aus [3] werden die Bedingungen 1.) und 2.) an einer Reihe von Beispielen getestet. Als Korollar erhält man den Beweis dafür, daß es symplektisch stratifizierte Räume gibt, die keine Orbifaltigkeiten sind und dennoch eine stetige Deformationsquantisierung zulassen. Ferner wird (ähnlich zu [92]) eine konzeptionielle Erklärung dafür gegeben, warum im Fall vollständiger Durchschnitte das Problem der Quantisierung der BRST-Ladung eine so einfache Lösung hat. Bildet die Impulsabbildung eine erstklassige Zwangsbedingung, ist aber kein vollständiger Durchschnitt, dann ist es im allgemeinen nicht bekannt, wie entsprechende Quantenreduktionsresultate zu erzielen sind. Ein Hauptaugenmerk der Untersuchung wird es deshalb sein, in dieser Situation die klassische BFV-Reduktion besser zu verstehen – natürlich in der Hoffnung, Grundlagen für eine etwaige (Deformations-)Quantisierung zu liefern. Wir werden feststellen, daß es zwei Gründe gibt, die Tate-Erzeuger (alias: Antigeister höheren Niveaus) notwendig machen: die Topologie der Zwangsfläche und die Singularitätentheorie der Impulsabbildung. Die Zahl der Tate-Erzeuger kann durch Übergang zu projektiven Tate-Erzeugern, also Vektorbündeln, verringert werden. Allerdings sorgt Halperins Starrheitssatz [57] dafür, daß im wesentlichen alle Fälle, für die die Zwangsfläche kein lokal vollständiger Durchschnitt ist, zu unendlich vielen Tate-Erzeugern führen. Erzeugen die Komponenten einer Impulsabbildung einer linearen symplektischen Gruppenwirkung das Verschwindungsideal der Zwangsfläche, so kann man eine lokal endliche Tate-Auflösung finden. Diese besitzt nach dem Fortsetzungssatz und dem Zerfällungssatz von Bierstone und Schwarz stetige, kontrahierende Homotopien. Ausgehend von einer solchen Tate-Auflösung konstruieren wir, die klassische BFV-Konstruktion für vollständige Durchschnitte verallgemeinernd, eine graduierte superkommutative Algebra. Wir können zeigen, daß diese graduierte Algebra auch im Vektorbündelfall eine graduierte Poissonklammer besitzt, die sogenannte Rothstein-Poissonklammer. Die Existenz einer solchen Poissonklammer war bereits von Rothstein [87] für die einfachere Situation einer symplektischen Supermannigfaltigkeit bewiesen worden. Darüberhinaus werden wir sehen, daß es auch im Vektorbündelfall eine BRST-Ladung gibt. Diese sieht im Fall von Impulsabbildungen etwas einfacher aus als für allgemeine erstklassige Zwangsbedingungen. Insgesamt wird also die klassische BFV-Konstruktion [95] auf den Fall projektiver Tate-Erzeuger verallgemeinert, und als eine Homotopieäquivalenz in der additiven Kategorie der Fréchet-Räume interpretiert.
Ein Mathematiker mit universalem Anspruch : über Max Dehn und sein Wirken am Mathematischen Seminar
(2002)
Für eine erste Blüte der Mathematik in Frankfurt gab Max Dehn (1878 –1952) in den Jahren ab 1921 bis 1935 entscheidende Impulse. Seine völlig neuen Ideen zur Knotentheorie und zur Topologie beeinflussten die Entwicklung der Mathematik weit über Deutschland hinaus. 1935 fand sein Wirken in Frankfurt durch den Terror der Nationalsozialisten ein jähes Ende. Nach einer gefahrvollen Flucht über Norwegen, Finnland, die Sowjetunion und Japan erreichte Dehn schließlich, 62-jährig, die Vereinigten Staaten von Nordamerika. Eine seinen Fähigkeiten entsprechende Stellung konnte er dort nicht mehr erlangen. Sein fünfzigster Todestag in diesem Jahr ist Anlass für diese Rückschau.
Binärsuchbäume sind eine wichtige Datenstruktur, die in der Informatik vielfach Anwendung finden. Ihre Konstruktion ist deterministisch, zur Analyse ihrer Eigenschaften wird aber eine rein zufällige Eingabe zugrundegelegt. Viele Größe, wie z.B. Tiefe, Höhe und Pfadlänge werden seit Jahren viel untersucht. Als besonders interessant hat sich die Analyse des Profils, der Anzahl Knoten einer bestimmten Tiefe herausgestellt. In dieser Arbeit wird ein funktionaler Grenzwertsatz für das am Erwartungswert normierte Profil vorgestellt. Dazu werden unterschiedliche Zugänge gewählt, die hauptsächlich auf dem sogenannten Profil-Polynom beruhen. Zunächst wird ein klassischer Zugang mit Hilfe von Martingalen besprochen. Der diskrete Prozess wird dazu auf kanonische Weise in ein zeitstetiges Modell (Yule-Prozess) eingebettet. Ergebnisse im kontinuierlichen Prozess werden dann durch Stoppen auf den diskreten übertragen. Zudem wird ein neuerer Zugang vorgestellt, der auf der Kontraktionsmethode in Banachräumen unter Verwendung der Zolotarev-Metrik beruht.
Concentration of multivariate random recursive sequences arising in the analysis of algorithms
(2006)
Stochastic analysis of algorithms can be motivated by the analysis of randomized algorithms or by postulating on the sets of inputs of the same length some probability distributions. In both cases implied random quantities are analyzed. Here, the running time is of great concern. Characteristics like expectation, variance, limit law, rates of convergence and tail bounds are studied. For the running time, beside the expectation, upper bounds on the right tail are particularly important, since one wants to know large values of the running time not taking place with possibly high probability. In the first chapter game trees are analyzed. The worst case runnig time of Snir's randomized algorithm is specified and its expectation, asymptotic behavior of the variance, a limit law with uniquely characterized limit and tail bounds are identified. Furthermore, a limit law for the value of the game tree under Pearl's probabilistic modell is proved. In the second chapter upper and lower bounds for the Wiener Index of random binary search trees are identified. In the third chapter tail bounds for the generation size of multitype Galton-Watson processes (with immigration) are derived, depending on their offspring distribution. Therefore, the method used to prove the tail bounds in the first chapter is generalized.
Approximating Perpetuities
(2006)
A perpetuity is a real valued random variable which is characterised by a distributional fixed-point equation of the form X=AX+b, where (A,b) is a vector of random variables independent of X, whereas dependencies between A and b are allowed. Conditions for existence and uniqueness of solutions of such fixed-point equations are known, as is the tail behaviour for most cases. In this work, we look at the central area and develop an algorithm to approximate the distribution function and possibly density of a large class of such perpetuities. For one specific example from the probabilistic analysis of algorithms, the algorithm is implemented and explicit error bounds for this approximation are given. At last, we look at some examples, where the densities or at least some properties are known to compare the theoretical error bounds to the actual error of the approximation. The algorithm used here is based on a method which was developed for another class of fixed-point equations. While adapting to this case, a considerable improvement was found, which can be translated to the original method.
Installment Optionen
(2004)
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit Installment Optionen und deren Bewertung und Hedgemöglichkeiten. Installment Optionen werden vor allem im internationalen Treasurymanagement eingesetzt und dienen der Absicherung von Wechselkursrisiken. Die Besonderheit besteht darin, daß ein Konzern die Optionsprämie über mehrere Zeitpunkte aufteilen kann, zu denen er jeweils entscheidet, ob die Absicherung überhaupt noch benötigt wird. Dies könnte unter Umständen nicht mehr der Fall sein, wenn das zugrunde liegende internationale Geschäft des Konzerns wider Erwarten nicht zustande gekommen ist. Der exakte Wert einer Installment Option im Black-Scholes Modell besteht aus einem Ausdruck von Mehrfachintegralen, wohingegen die Anwendung verschiedener Bewertungsmethoden auf diesen approximierte Werte liefert. Die Untersuchung des Verhaltens mehrerer bekannter Methoden und die Entwicklung einer neuen Bewertungsformel für Installment Option ist Inhalt dieser Arbeit. Weiterhin wird die kontinuierliche Version der Installment Option betrachtet und für diese ein neuer Hedge bewiesen.
Gitter sind diskrete additive Untergruppen des Rn. Praktische Bedeutung erlangte die Gittertheorie durch effziente Algorithmen zur Gitterbasenreduktion, mit deren Hilfe Optimierungsprobleme gelöst werden können. Der erste dieser Algorithmen wurde von Lenstra, Lenstra und Lovasz entwickelt. Schnorr und Euchner entwickelten effizientere Algorithmen. Sie untersuchten die Güte der Reduktion anhand von Rucksack-Problemen. Bei einem Rucksack-Problem der Dimension n müssen aus einer gegebenen Menge von n Gewichten diejenigen bestimmt werden, die zusammen einen gegeben Rucksack genau ausfüllen. Die Algorithmen von Schnorr und Euchner lösen fast alle Rucksack-Probleme der Dimensionen 42 bis 66. Meine neuen verbesserten Algorithmen lösen einen noch größeren Anteil der Rucksack-Probleme in kürzerer Rechenzeit. Gleichzeitig sind sie in Dimensionen 103 bis 151. Coster, Joux, LaMacchia. Odlyzko, Schnorr und Stern geben eine untere Schranke für die Größe der Gewichte von Rucksack-Problemen an, die fast immer gelöst werden können. Die Gewichte werden zufällig aus einem Intervall natüurlicher Zahlen gewählt. Dieses Ergebnis erweitere ich auf k-fache Rucksack-Probleme. Weiterhin kann für für die Wahl jedes Gewichtes eine beliebige Menge ganzer Zahlen festgelegt werden. Ebenso sind Mengen mit nur einem Element zulässig.
Wir verallgemeinern die Reduktionstheorie von Gitterbasen für beliebige Normen. Dabei zeigen wir neue Eigenschaften reduzierter Basen für die verallgemeinerten Reduktionsbegriffe. Wir verallgemeinern den Gauß-Algorithmus zur Reduktion zweidimensionaler Gitterbasen für alle Normen und erhalten eine universelle scharfe obere Schranke für die Zahl seiner Iterationen. Wir entwickeln für spezielle lp-Normen eine Variante des Gauß-Algorithmus mit niedriger Bit-Komplexität. Hierzu wird Schönhages schneller Reduktionsalgorithmus für quadratische Formen auf die Reduktion von Gitterbasen im klassischen zentrierten Fall übertragen.
It is commonly agreed that cortical information processing is based on the electric discharges (spikes') of nerve cells. Evidence is accumulating which suggests that the temporal interaction among a large number of neurons can take place with high precision, indicating that the efficiency of cortical processing may depend crucially on the precise spike timing of many cells. This work focuses on two temporal properties of parallel spike trains that attracted growing interest in the recent years: In the first place, specific delays (phase offsets') between the firing times of two spike trains are investigated. In particular, it is studied whether small phase offsets can be identified with confidence between two spike trains that have the tendency to fire almost simultaneously. Second, the temporal relations between multiple spike trains are investigated on the basis of such small offsets between pairs of processes. Since the analysis of all delays among the firing activity of n neurons is extremely complex, a method is required with which this highly dimensional information can be collapsed in a straightforward manner such that the temporal interaction among a large number of neurons can be represented consistently in a single temporal map. Finally, a stochastic model is presented that provides a framework to integrate and explain the observed temporal relations that result from the previous analyses.
Die zentrale Frage dieser Studie lautet: Wann ist eine stetige Funktion auf einem kompakten Raum, welche Werte in einem lokalkonvexen Raum annimmt, (Pettis-)integrierbar?
Im ersten Kapitel wird definiert, was konvexe Kompaktheit ist. Es wird das Pettis-Integral vorgestellt, und der Zusammenhang zwischen der konvexen Kompaktheitseigenschaft (oder ccp) und dem Pettis-Integral wird erläutert. Außerdem stellt dieses Kapitel dar, inwiefern die ccp aus stärkeren Eigenschaften lokalkonvexer Räume folgt oder schwächere impliziert. Das zweite Kapitel beweist hauptsächlich den Satz von Krein, der einen Zusammenhang zwischen Vollständigkeit unter der Mackey-Topologie und der ccp unter der schwachen Topologie herstellt. Das dritte Kapitel erläutert mit Gegenbeispielen, inwiefern die in Kapitel 1 vorgestellten Vollständigkeitseigenschaften lokalkonvexer Räume notwendig gegeneinander abgegrenzt sind. Das vierte Kapitel stellt zuerst das Bochner-Integral und das starke OperatorIntegral vor, um dann die starke konvexe Kompaktheitseigenschaft oder sccp einzufuhren, eine Eigenschaft, welche der ccp verwandt ist. Es wird fur einen Raum beispielhaft bewiesen, daß er diese Eigenschaft besitzt. Zuletzt wird der Zusammenhang von sccp und ccp ausfuhrlicher dargestellt.
Diese Arbeit wendet sich an Leser, denen die Grundlagen der Theorie lokalkonvexer Räume schon vertraut sind. Insbesondere ist Vertrautheit mit den Begriffen tonneliert, ultrabornologisch, bornologisch, polare Topologie unterstellt. Man findet eine kurze und einfach verständliche Einfuhrung im Werk [RR]. Alle über diese Grundlagen hinausgehenden Resultate werden in dieser Arbeit mit Beweis ausgefuhrt, oder es wird mit Angabe der Fundstelle auf die Literatur verwiesen.
The existence of a mean-square continuous strong solution is established for vector-valued Itö stochastic differential equations with a discontinuous drift coefficient, which is an increasing function, and with a Lipschitz continuous diffusion coefficient. A scalar stochastic differential equation with the Heaviside function as its drift coefficient is considered as an example. Upper and lower solutions are used in the proof.
Die Vorstellung, daß ein Quantensystem zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Zustand (aus einem "klassischen" Phasenraum) einnimmt, ist im Formalismus der Quantenmechanik nicht vorgesehen. Man kann eine solche Vorstellung zwar verträglich mit den Regeln der QM unterhalten, jedoch erweisen sich dann ganz verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum als experimentell ununterscheidbar; solche Modelle postulieren sozusagen die Existenz einer "verborgenenen Information" neben den prüfbaren Fakten. Es wird gezeigt, daß dies für alle Modelle gilt, die mit den von der QM für jede Observable vorhergesagten Wahrscheinlichkeitsverteilung im Einklang stehen, selbst wenn sie erlauben, daß nicht jede Verteilung auf dem Phasenraum durch makroskopische Aparaturen präpariert werden kann bzw. daß das Meßergebnis garnicht deterministisch vom Zustand des Quantensystems abhängt, sondern das Meßgerät selbst einem (vom zu messenden System unabhängigen) Zufall unterliegt. Dazu ist eine gründliche Auseinandersetzung mit der Theorie der Wahrscheinlichkeitsmaße auf distributiven und auf nicht-distributiven Verbänden nötig.
Im Rahmen dieser Arbeit möchte ich nun aufzeigen, dass ein Projekt zu Glücksspielen eine „reichhaltige Lernsituation“ darstellen kann, in der die Schüler Raum, Gelegenheit und Anlass haben, Grunderfahrungen mit zufälligen Vorgängen zu machen, darauf aufbauend wichtige Begriffe zu bilden und schließlich wesentliche stochastische Zusammenhänge zu erkennen. Der Projektmethode entsprechend lag ein Großteil meiner Tätigkeiten im Vorfeld in vorbereitenden und planenden Tätigkeiten. Während der Projektdurchführung trat ich als beratender „Hintergrundlehrer“ auf. Die Schüler arbeiteten weitgehend selbstständig. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt daher auf meinen didaktischen und methodischen Überlegungen zur Vorbereitung des Projekts.
Wir werden uns in dieser Arbeit vorwiegend mit einem Modell befassen, das Y. Peres, C. Kenyon, W. Evans und L.J. Schulman 1998 in ihrem Artikel \Broadcasting on trees and the Ising-Modell" eingeführt haben.
In diesem Modell wird ein Signal, das die Werte +1 oder -1 annehmen kann, von der Wurzel eines Baumes aus entlang der Äste eines unendlichgroßen Baumes übertragen. Die Kanten des Baumes agieren dabei als Übertragungskanäle zwischen den Knoten. Jede Kante kann das Signal korrekt übertragen oder es flippen, das heißt, das Vorzeichen des Signals umkehren.
Das Übertragungsverhalten der Kanten ist zufällig. Mit einer festen Wahrscheinlichkeit ϵ, mit 0 < ϵ <= 1/2 , verfälscht eine Kante das Signal. Dies geschieht an allen Kanten unabhängig mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Es stellt sich nun die Frage, wie groß diese Fehlerwahrscheinlichkeit höchstens sein darf, damit das, was in der Krone des Baumes ankommt, noch etwas zu tun hat mit dem, was in der Wurzel eingespeist wird. Mit anderen Worte: Sind die Signale auf Knoten, die einen Abstand >= n von der Wurzel haben, für n -> ∞ asymptotisch unabhängig vom Signal in der Wurzel? Eine Möglichkeit, den Grad der Abhängigkeit zu messen, ist die sogenannte Information, der Kullback-Leibler-Abstand von gemeinsamer Verteilung zur Produkt-Verteilung, die in Definition 16 eingeführt wird.
Wir werden sehen, daß es eine kritische Schwelle ϵc;I für Informationsübertragung gibt. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit größer als ϵc;I , so ist die Information, die zwischen Wurzel und Krone übertragen wird, 0. Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als ϵc;I , so wird Information übertragen. Dieser kritische Wert ϵc;I hängt nur von der Branching-Number, einer Art mittleren Verzweigungszahl, des Baumes (vgl. Definition 1) ab.
Wir werden sehen, daß das Broadcasting-Modell eine elegante Formulierung eines wohlbekannten Modells, des Ising-Modells, mit freien Randbedingungen, ist.
Im Ising-Modell hat jeder Knoten des Baumes einen "magnetischen" Spin, der entweder +1 oder -1 sein kann. Spins direkt benachbarter Knoten beeinflussen sich, in dem sie versuchen, den gleichen Wert anzunehmen. Diesem Effekt wirkt ein thermischer Einfluß entgegen, der mittels eines als Temperatur bezeichneten Parameters modelliert wird.
Die klassische Frage im Ising-Modell ist, ob Phasenübergang stattfindet. Wir wollen Phasenübergang als das Phänomen verstehen, daß die Wurzel des Baumes die Vorgabe von Randbedingungen auf der Krone des Baumes spürt. Ist dies der Fall, so sagen wir, daß Phasenübergang stattfindet. Auch dies ist eine
Form der gegenseitigen Beeinflussung zwischen Wurzel und Krone des Baumes. Russel Lyons hat 1989 in seinem Artikel \The Ising-Model on trees and treelike Graphs" das Ising-Modell auf Bäumen untersucht und gezeigt, daß es eine kritische Temperatur tc für Phasenübergang gibt. Ist die Temperatur höher als tc, so spürt die Wurzel nichts von den Randbedingungen der Krone; ist die Temperatur geringer als tc, so haben die Randbedingungen Einfluß auf die Wurzel. Auch hier hängt die kritische Temperatur nur von der Branching-Number des Baumes ab.
In der Broadcasting-Formulierung des Modells ist der Fluß von Information ein naheliegendes Werkzeug, um die Beeinflussung von Wurzel und Krone zu messen, in der Ising-Formulierung ist die Existenz von Phasenübergang ein ebenso naheliegendes Werkzeug, ebendiesen Einfluß zu messen.
Wir werden die beiden Arten der Beeinflussung miteinander vergleichen und können zeigen, daß für die Übertragung von Information stets eine stärkere Interaktion zwischen den Knoten notwendig ist, als für den Einfluß der Randbedingungen aus der Krone.
Als letztes Phänomen werden wir untersuchen, ob es einen Pfad im Baum gibt, der in der Wurzel startend nur Knoten gleichen Spins besucht und die unendlich weit entfernte Krone erreicht. Wir bezeichnen dieses Phänomen als Spinperkolation.
Wir werden die Berechnung der kritischen Interaktion für Spinperkolation in einem Bernoulli-Feld auf den Kanten rekapitulieren und dann zeigen, daß die Existenz eines Perkolationspfades nur von der Interaktionsstärke des Modells und nicht von etwaigen Randbedingungen abhängt. Dabei kombinieren wir Ergebnisse aus zwei Arbeiten von Lyons und die Erkenntnis, daß Broadcasting- Modell und freies Ising-Modell identisch sind. Wir erhalten so einen neuen, einfachen Beweis über die kritische Interaktion für Spinperkolation in der Plus-Phase des Ising-Modells, die Lyons bereits in [7] berechnet hat.
The synchronization of neuronal firing activity is considered an important mechanism in cortical information processing. The tendency of multiple neurons to synchronize their joint firing activity can be investigated with the 'unitary event' analysis (Grün, 1996). This method is based on the nullhypothesis of independent Bernoulli processes and can therefore not tell whether coincidences observed between more than two processes can be considered "genuine" higher- order coincidences or whether they might be caused by coincidences of lower order that coincide by chance ("chance coincidences"). In order to distinguish between genuine and chance coincidences, a parametric model of independent interaction processes (MIIP) is presented. In the framework of this model, Maximum-Likelihood estimates are derived for the firing rates of n single processes and for the rates with which genuine higher order correlations occur. The asymptotic normality of these estimates is used to derive their asymptotic variance and in order to investigate whether higher order coincidences can be considered genuine or whether they can be explained by chance coincidences. The empirical test power of this procedure for n=2 and n=3 processes and for finite analysis windows is derived with simulations and compared to the asymptotic values. Finally, the model is extended in order to allow for the analysis of correlations that are caused by jittered coincidences.
In dieser Arbeit werden die mathematischen Grundlagen zur Konstruktion der primären Felder der minimalen Modelle der konformen Quantenfeldtheorie beschrieben. Wir untersuchen Verma und Fock-Moduln der Virasoro-Algebra und klassifizieren diese Moduln bezüglich der Struktur der (ko-) singulären Vektoren. Wir definieren die Vertex-Operatoren zwischen gewissen Fock-Moduln (die eine kanonische Hilbertraumstruktur besitzen) und beweisen verschiedene Eigenschaften dieser Operatoren: Unter bestimmten Voraussetzungen sind Vertex-Operatoren dicht definierte, nicht abschließbare Operatoren zwischen den Fock-Moduln. Radialgeordnete Produkte von Vertex-Operatoren existieren auf einem dichten Teilraum. Wir beweisen Kommutatorrelationen zwischen Vertex-Operatoren und den Generatoren der Virasoro-Algebra. Dann definieren wir die integrierten Vertex-Operatoren und zeigen, daß diese Operatoren im wesentlichen wieder die Eigenschaften der nichtintegrierten Vertex-Operatoren haben. Gewisse integrierte Vertex-Operatoren können mit konformen Felder identifiziert werden. Ein unter den Vertex-Operatoren invarianter Unterraum der Fock-Moduln kann mit dem physikalischen Zustandsraum identifiziert werden.
Über die Anzahlfunktion π(x)
(1999)
Bereits Euklid wusste, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Euler zeigte die qualitative Aussage ¼(x) x ! 0 bei x ! 1. Legendre definierte als erster die Anzahlfunktion ¼(x) als die Anzahl aller Primzahlen · x, (x 2 R) und vermutete irrtümlicherweise, dass ¼(x) = x log(x)¡B; wobei lim x!1 B(x) = 1; 083 66 : : : ist. Gauss vermutete, dass die Funktionen ¼(x) und li(x) := lim "!0 ">0 0@ u=1¡" Z u=0 du log(u) + u=x Z u=1+" du log(u)1A asymptotisch Äquivalent sind. Tschebyschew konnte die Legendresche Vermutung widerlegen; außerdem bewies er: Wenn der Grenzwert lim x!1 ¼(x) x log(x) existiert, so muss dieser gleich 1 sein. Dank wegweisender Vorarbeiten von Riemann, gelang es im Jahr 1896 unabhängig voneinander und nahezu zeitgleich Hadamard und De La Vallee Poussin, den Primzahlsatz analytisch zu beweisen. Beide verwendeten entscheidend die Tatsache, dass die Zetafunktion ³ in der Halbebene Re(s) ¸ 1 nicht verschwindet. Die Beweise waren zuerst so lang und kompliziert, dass sie heutzutage nur noch einen historischen Wert besitzen. Es dauerte weitere 84 Jahre bis der Beweis so vereinfacht werden konnte, dass er nur wenige Seiten in Anspruch nimmt. Ein wichtiger Verdienst kommt hierbei der Arbeit von Newman aus dem Jahre 1980 zu. Lange Zeit wurde es für kaum möglich gehalten, einen Beweis des Primzahlsatzes zu finden, der ohne eine gewisse Kenntnis der komplexen Nullstellen der Zetafunktion auskommt. Und doch glückte 1948 ein solcher Beweis durch Selberg und Erdös mit elementaren Mitteln. Erwähnenswert dabei, dass der Beweis noch lange nicht einfach ist. Uns schienen die analytischen Beweise durchsichtiger zu sein. Daher haben wir in dieser Arbeit auf einen elementaren Beweis verzichtet. Der analytischen Weg zum Primzahlsatz von Newman kommt einerseits mit Integration längs endlicher Wege (und der Tatsache ³(s) 6= 0 in ¾ ¸ 1) aus, umgeht also Abschätzungen bei 1; andererseits ist er frei von Sätzen der Fourier-Analysis. Beim Beweis des Primzahlsatzes von Wolke benutzt man anstelle von ³0(s) ³(s) die Funktion ³ 1 k mit großen k. Wegen des Pols bei s=1 bringt dies bei der Integration leichte Komplikationen, hat aber den Vorteil, dass außer der Nullstellen-Freiheit keine nichttriviale Abschätzung für ³ oder ³0 erforderlich ist. Dank der elementaren Äquivalenz zwischen dem Primzahlsatz und der Konvergenz von 1Pn=1 ¹(n) n brauchte Newman nur die Konvergenz von 1Pn=1 ¹(n) n zu zeigen. Dies erreichte er mit Hilfe seines Konvergenzsatzes. Die Legendresche Formel, die auf dem Sieb des Eratosthenes basiert, erlaubt die exakte Berechnung von ¼(x), wenn alle px nicht übersteigenden Primzahlen bekannt sind. Diese prinzipielle Möglichkeit zur Ermittlung von ¼(x) ist in der Praxis natürlich stark limitiert durch die mit x rasch anwachsende Anzahl der rechts in der Legendresche Formel zu berücksichtigenden Summanden. Mit verfeinerten Siebtechniken haben verschiedene Autoren zur Legendresche Formel analoge Formeln ¼(x) ersonnen, bei denen der genannte Nachteil von Legendresche Formel sukzessive reduziert wurde. Zu erwähnen sind hier vor allem Meissel, Lehmer, sowie Lagarias, Miller und Odlyzko. Aus den Graphen von R(x)¡¼(x); li(x)¡¼(x) und x log(x) ¡¼(x) für den betrachteten Bereich x · 1018 konnten wir feststellen, dass R(x); li(x) sowie x log(x) die Anzahlfunktion Pi (x) annähern, wobei R(x) die beste Approximation für Pi(x) von allen drei ist.
Considered are the classes QL (quasilinear) and NQL (nondet quasllmear) of all those problems that can be solved by deterministic (nondetermlnlsttc, respectively) Turmg machines in time O(n(log n) ~) for some k Effloent algorithms have time bounds of th~s type, it is argued. Many of the "exhausUve search" type problems such as satlsflablhty and colorabdlty are complete in NQL with respect to reductions that take O(n(log n) k) steps This lmphes that QL = NQL iff satisfiabdlty is m QL CR CATEGORIES: 5.25
Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit stehen die Nullstellen der nach Bernhard Riemann benannten Riemannschen Zetafunktion ..(s). Diese Funktion kann für komplexes s mit Res > 1 durch ...(s) = 1 X n=1 1 ns (1.1.1) dargestellt werden. Für andere Werte von s ist ...(s) durch die analytische Fortsetzung der Dirichlet-Reihe in (1.1.1) gegeben. Die ...-Funktion ist in der ganzen komplexen Ebene holomorph, mit Ausnahme des Punktes s = 1, wo sie einen einfachen Pol besitzt. Diese und weitere Eigenschaften von ...(s) setzen wir in dieser Arbeit als bekannt voraus, näheres findet man beispielsweise in [Tit51] oder [Ivi85]. Bereits Euler betrachtete, beispielsweise in [Eul48, Caput XV], die Summe in (1.1.1), allerdings vor allem für ganzzahlige s ... 2. Von ihm stammt die Gleichung 1 X n=1 1 ns =.... die für alle komplexen s mit Res > 1 gültig ist. Dieser Zusammenhang zwischen der ...-Funktion und den Primzahlen war Ausgangspunkt für Riemanns einzige zahlentheoretische, aber dennoch wegweisende Arbeit \ Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse." ([Rie59]). In dieser 1859 erschienenen Arbeit erkannte Riemann als erster die Bedeutung der Nullstellen der ...-Funktion für die Verteilung der Primzahlen. Bezüglich dieser Nullstellen sei jetzt nur so viel gesagt, daß ...(s) einfache Nullstellen an den negativen geraden Zahlen .... besitzt, und, daß alle weiteren, die sogenannten nicht-trivialen Nullstellen, im kritischen Streifen 0 < Res < 1 liegen. Diese letzteren | unendlich vielen | Nullstellen sind gerade für den Primzahlsatz, also für die Beziehung ...(x) ... li(x);
We study the approximability of the following NP-complete (in their feasibility recognition forms) number theoretic optimization problems: 1. Given n numbers a1 ; : : : ; an 2 Z, find a minimum gcd set for a1 ; : : : ; an , i.e., a subset S fa1 ; : : : ; ang with minimum cardinality satisfying gcd(S) = gcd(a1 ; : : : ; an ). 2. Given n numbers a1 ; : : : ; an 2 Z, find a 1-minimum gcd multiplier for a1 ; : : : ; an , i.e., a vector x 2 Z n with minimum max 1in jx i j satisfying P n...
Wir behandeln Kettenbruchentwicklungen in beliebiger Dimension. Wir geben einen Kettenbruchalgorithmus an, der für beliebige Dimension n simultane diophantische Approximationen berechnet, die bis auf den Faktor 2 exp (n+2)/4 optimal sind. Für einen reellen Eingabevektor x := (x1,...,X n-1, 1) berechnet der Algorithmus eine Folge ganzzahliger Vektoren ....., so daß für i =1, ...., n-1 : | q exp (k) xi -pi exp (k)| <= 2 exp (n+2)/4 sqrt (1 + xi exp 2) / q exp (1/n-1). Nach Sätzen von Dirichlet und Borel ist die Schranke optimal in dem Sinne, als daß der Exponent 1/(n-1) im allgemeinen nicht erhöht werden kann. Der Algorithmus konstruiert eine Folge von Gitterbasen des Zn, welche die Gerade x R approximieren. Für gegebenes E > 0 findet der Algorithmus entweder eine Relation zu x, das heißt einen ganzzahligen zu x orthogonalen Vektor (ungleich Null), mit euklidischer Länge kleiner oder gleich E exp -1, oder er schließt Relationen zu x mit euklidischer Länge kleiner als E exp -1 aus. Der Algorithmus führt in der Dimension n und |log E| polynomial viele arithmetische Operationen auf rellen Zahlen in exakter Arithmetik aus. Für rationale Eingaben x := (p1, ....., pn)/pn, E>0 mit p1,.....,pn Teil von Z besitzt der Algorithmus polynomiale Bitkomplexität in O........ Eine Variante dieses Algorithmus konstruiert für Eingabevektoren x einen (von x nicht notwendigerweise verschiedenen) Nahebeipunkt x' zu x und eine kurze Relation zu x'. Im Falle x<>x können wir die Existenz von Relationen kleiner als (2E)exp -1 für Punkte in einer kleinen offenen Umgebung um x' ausschließen. Wir erhalten in diesem Sinne eine stetige untere Schranke für die Länge der kürzesten Relation zu Punkten in dieser Umgebung. Die für x' berechnete Relation ist bis auf einen in der Dimension n exponentiellen Faktor kürzeste Relation für x'. Zur Implementierung des Kettenbruchalgorithmus stellen wir ein numerisch stabiles Verfahren vor und berichten über experimentelle Ergebnisse. Wir geben untere Schranken für die Approximierbarkeit kürzester Relationen in der Maximum-Norm und minimaler diophantischer Approximationen an: Unter der Annahme, daß die Klasse NP nicht in der deterministischen Zeitklasse O(n exp poly log n) enthalten ist, zeigen wir: Es existiert kein Algorithmus, der für rationale Eingabevektoren x polynomial in der Bitlänge bin(x) von x ist und die in der Maximum-Norm kürzeste Relation bis auf einen Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) approximiert. Dabei ist zeta eine beliebig kleine positive Konstante. Wir übertragen dieses Resultat auf das Problem, zu gegebenen rationalen Zahlen x1,....,xn-1 und einem rationalen E > 0 gute simultane diophantische Approximationen zu finden, das heißt rationale Zahlen p1/q,...; (p n-1/)q mit möglichst kleinem Hauptnenner q zu konstruieren, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| <= E. Wir zeigen unter obiger Annahme, daß kein Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen x1,........,x n-1 und natürlicher Zahl N polynomial-Zeit in der Bitlänge bin(x) von x ist und simultane diophantische Approximationen berechnet, so daß max 1 <=i <= n-1 |q xi - pi| für q gehört zu [1, N] bis auf den Faktor 2 exp (log 0.5 - zeta bin(x)) minimal ist. Hierbei ist zeta wieder eine beliebig kleine positive Konstante.
In der vorliegenden Arbeit wird ein interaktives Beweisprotokoll für das Problem der "überprüfbaren Verschlüsselung" (verifiable encyption) vorgestellt. Mit Hilfe eines Verifiable Encryption Protokolls (VEP) beweist eine Person (der Prover) einer anderen Person (dem Verifier) effizient, daß ein vorher gesendeter Wert alpha die Verschlüsselung eines geheimen Wertes s ist. Den geheimen Wert s muß er dazu nicht offenlegen. Zur Verschlüsselung von s wird ein Public-Key-Verfahren und ein öffentlicher Schlüssel PK benutzt. PK gehört zum Schlüsselpaar einer dritten Partei, die nicht aktiv an der Protokollausführung beteiligt ist und die Rolle eines Notars einnimmt. Dem Verifier steht ein Wert d zur Verfügung, anhand dessen er entscheidet, ob er den Beweis akzeptiert oder verwirft. Akzeptiert der Verifier den Beweis des Provers, so kann er zwar mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit sagen, daß alpha eine Verschlüsselung von s unter dem öffentlichen Schlüssel PK ist. Er kann s jedoch nicht rekonstruieren, da er nicht im Besitz des zu PK gehörigen geheimen Schlüssels SK ist und der Beweis keine Informationen über s preisgibt.
Gitter sind diskrete, additive Untergruppen des IRm, ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Gitters heißt Gitterbasis. Die Anzahl der Basisvektoren eines Gitters ist eindeutig bestimmt und heißt Rang des Gitters. Zu jedem Gitter vom Rang n gibt es mehrere Gitterbasen, die man alle erhält, indem man eine Basismatrix B = [b1, · · · , bn] von rechts mit allen Matrizen aus der Gruppe GLn(ZZ) multipliziert. Eine wichtige Fragestellung der Gittertheorie ist es, zu einem gegebenen Gitter einen kürzesten, vom Nullvektor verschiedenen Gittervektor zu finden. Dieses Problem heißt das kürzeste Gittervektorproblem . Ein dazu verwandtes Problem ist das "nächste Gittervektorproblem", das zu einem beliebigen Vektor x aus IRm einen Gittervektor sucht, dessen Abstand zu x minimal ist. Aus dem "kürzesten Gittervektorproblem" entwickelte sich die Gitterbasenreduktion, deren Ziel es ist, eine gegebene Gitterbasis in eine Gitterbasis zu transformieren, deren Vektoren bzgl. der Euklidischen Norm kurz und möglichst orthogonal zueinander sind. Wichtig für die Güte einer Reduktion ist der Begriff der sukzessiven Minima ¸1(L), · · · , ¸n(L) eines Gitters L. Dabei ist ¸i(L) die kleinste reelle Zahl r > 0, für die es i linear unabhängige Vektoren cj 2 L gibt mit kcjk · r für j = 1, · · · , i. Man versucht, für ein Gitter L eine Gitterbasis b1, · · · , bn zu finden, bei der die Größe kbik / ¸i(L) für i = 1, · · · , n möglichst klein ist. Für Gitter vom Rang 2 liefert das Gauß'sche Reduktionsverfahren eine Gitterbasis mit kbik = ¸i(L) für i = 1, 2. Eine Verallgemeinerung der Gauß-Reduktion auf Gitter mit beliebigem Rang ist die im Jahre 1982 von Lenstra, Lenstra, Lovasz vorgeschlagene L3-Reduktion einer Gitterbasis, deren Laufzeit polynomiell in der Bitlänge der Eingabe ist. L3-reduzierte Gitterbasen approximieren die sukzessiven Minima bis auf einen (im Rang des Gitters) exponentiellen Faktor. Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil (Kapitel 1-6) wird ein neues Reduktionskonzept von M. Seysen aus der Arbeit "A Measure for the Non-Orthogonality of a Lattice Basis" behandelt und im zweiten Teil (Kapitel 7) ein aktuelles Ergebnis von M. Ajtai über die Faktorisierung ganzer Zahlen aus "The Shortest Vector Problem in L2 is NP-hard for Randomized Reductions"[2]. Seysen führte in [13] zu einer gegebenen Gitterbasis b1, · · · , bn die Größe ¾(A) ein, die nur von den Einträgen der zugehörigen Gram-Matrix A = [b1, · · · , bn]T · [b1, · · · , bn] und der Inversen A 1 abhängt. Sie hat die Eigenschaft, daß für jede Gitterbasis b1, · · · , bn mit Gram-Matrix A gilt, daß ¾(A) ¸ 1, wobei die Gleichheit genau dann gilt, wenn b1, · · · , bn orthogonal ist. Aus dieser Defintion ergibt sich folgender Reduktionsbegriff: Eine Gitterbasis b1, · · · , bn mit Gram-Matrix A heißt genau dann ¿ -reduziert, wenn ¾(A) minimal für alle Basen des Gitters ist. Der wesentliche Unterschied der ¿-Reduktion zur L3-Reduktion ist, daß die Größe ¾(A) unabhängig von der Reihenfolge der Basisvektoren ist, so daß eine ¿ -reduzierte Gitterbasis bei beliebiger Permutation der Basisvektoren ¿ -reduziert bleibt. Die ¿-Reduktion reduziert also im Gegensatz zur L3-Reduktion die Basisvektoren gleichmäßig. Seysen zeigte, daß man zu jedem Gitter vom Rang n eine Gitterbasis mit Gram-Matrix A findet, so daß ¾(A) durch eO((ln n)2) beschränkt ist. Daraus läßt sich ableiten, daß ¿ -reduzierte Gitterbasen eines Gitters vom Rang n die sukzessiven Minima bis auf den Faktor eO((ln n)2) approximieren. Da es sich bei der ¿-Reduktion um einen sehr starken Reduktionsbegriff handelt, für den es schwer ist, einen effizienten Algorithmus zu finden, definiert man folgenden schwächeren Reduktionsbegriff: b1, · · · , bn heißt genau dann ¿2-reduziert, wenn keine Basistransformation der Form bj := bj +k · bi mit 1 · i 6= j · n und k 2 ZZ die Gr¨oße ¾(A) erniedrigt. Für n = 2 entspricht die ¿-Reduktion sowohl der ¿2- Reduktion als auch der Gauß-Reduktion. Für die ¿2-Reduktion findet man einen effizienten Algorithmus. Wendet man diesen Algorithmus auf Rucksackprobleme an, so ergibt sich, daß durch einen Algorithmus, bestehend aus ¿2-Reduktion und anschließender L3-Reduktion, bei großer Dichte und bei kleiner Dimension wesentlich mehr Rucksackprobleme gelöst werden als durch den L3-Algorithmus. Die Faktorisierung großer ganzer Zahlen ist ein fundamentales Problem mit großer kryptographischer Bedeutung. Schnorr stellte in [11] erstmals einen Zusammenhang zwischen Gitterbasenreduktion und Faktorisierung her, indem er das Faktorisieren ganzer Zahlen auf das "nächste Gittervektorproblem in der Eins-Norm" zurückführte. Adleman führte in [1] das Faktorisieren ganzer Zahlen sogar auf das "kürzeste Gittervektorproblem in der Euklidischen Norm" zurück, allerdings unter zahlentheoretischen Annahmen. In [2] stellte Ajtai ein neues Ergebnis vor, in dem er das Faktorisieren ganzer Zahlen auf das "kürzeste Gittervektorproblem in der Euklidischen Norm" ohne zusätzliche Annahmen zurückführte.
Der Begriff der editierfreundlichen Kryptographie wurde von Mihir Bellare, Oded Goldreich und Shafi Goldwasser 1994 bzw. 1995 eingeführt. Mit einem editierfreundlicher Verschlüsselungs- oder Unterschriftenverfahren kann man aus einer Verschlüsselung bzw. Unterschrift zu einer Nachricht schnell eine Verschlüsselung oder Unterschrift zu einer ähnlichen Nachricht erstellen. Wir geben eine Übersicht über die bekannten editierfreundlichen Verfahren und entwickeln sowohl ein symmetrisches als auch ein asymmetrisches editierfreundliches Unterschriftenverfahren (IncXMACC und IncHSig). Wir zeigen, wie man mit editierfreundlichen Schemata überprüfen kann, ob die Implementierung einer Datenstruktur korrekt arbeitet. Basierend auf den Ideen der editierfreundlichen Kryptographie entwickeln wir effiziente Verfahren für spezielle Datenstrukturen. Diese Ergebnisse sind in zwei Arbeiten [F97a, F97b] zusammengefaßt worden.
In der vorliegenden Diplomarbeit beschäftigen wir uns mit kryptographisch sicheren Pseudozufallsgeneratoren. Diese e±zienten Algorithmen erzeugen zu zufälliger Eingabe deterministisch eine längere Bitfolge, die praktisch von einer Folge zufälliger Münzwürfe nicht unterscheidbar ist. Wir geben die Definitionen von A. Yao sowie M. Blum und S. Micali, beweisen die Äquivalenz und charakterisieren den Unterschied zur klassischen Sichtweise von Zufallsgeneratoren. Mit der Blum-Micali-Konstruktion zeigen wir, wie man aus einer Oneway-Permutation und zugehörigem Hardcore-Prädikat einen kryptographisch sicheren Pseudozufallsgenerator konstruiert: Man wendet auf einen zufälligen Startwert iterativ die Oneway-Funktion an und gibt jeweils das Hardcore-Prädikat des Urbilds aus. Wir stellen das allgemeine Hardcore- Prädikat inneres Produkt modulo 2 von L.A. Levin und O. Goldreich vor und beweisen mit Hilfe des XOR-Lemmas von U.V. Vazirani und V.V. Vazirani die Verallgemeinerung zu einer Hardcore-Funktion, die statt eines Prädikats mehrere Bits ausgibt. Man geht davon aus, daß die Verschlüsselungsfunktionen des RSA- und des Rabin-Public- Key-Kryptosystems Oneway-Permutationen sind. Basierend auf dem Rabin-System haben L. Blum, M. Blum und M. Shub den x2-mod-N-Generator aufgebaut, W. Alexi, B. Chor, O. Goldreich und C.P. Schnorr haben den RSA-Generator konstruiert und den Sicherheitsbeweis zum x2-mod-N-Generator verbessert. Diese Generatoren basieren auf der Blum-Micali-Konstruktion mit dem Hardcore-Prädikat des untersten Bits. Durch neue Ideen können wir die beweisbare Sicherheit der Generatoren deutlich erhöhen, so daß in der Praxis kleinere Schlüssellängen genügen. Bisher war zum Beispiel für den x2-mod-N-Generator bekannt, daß man mit einem Algorithmus A, der das unterste Bit der Wurzel modulo einer n-Bit- Blumzahl mit Wahrscheinlichkeit 1 2 + ² in Zeit |A| = ¡n3¢ berechnet, den Modul in Zeit O¡n3² 9|A|¢ mit Wahrscheinlichkeit ²2 64 faktorisieren kann. Wir verbessern die Laufzeit zu O¡n² 4 log2(n² 1)|A|¢ und Wahrscheinlichkeit 1 9 . Diese neuen Resultate wurden auf der Eurocrypt-Konferenz im Mai 1997 in Konstanz vorgestellt, D.E. Knuth hat sie bereits in die neue Auflage seines Standardwerks The Art of Computer Programming aufgenommen.
Komplexität von Gitterproblemen : Nicht-Approximierbarkeit und Grenzen der Nicht-Approximierbarkeit
(2000)
Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P <> NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO exp(1/log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n/ sqrt(log n) unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q >= N, so daß maxi minp2Z |q alpha i - p| minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen. Ein Gitter vom Rang n ist die Menge der ganzzahligen Linerkombinationen von n linear unabhängigen Vektoren im Rm. Unter der Annahme P 6= NP beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der eine kürzeste Gitterbasis bis auf einen Faktor nO(1= log log n) berechnet, wobei die Länge einer Menge von Vektoren durch die maximale Euklidische Länge der Vektoren definiert ist. Weiter zeigen wir, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=plog n unter plausiblen Annahmen nicht möglich ist. Ein simultaner Diophantischer Best Approximations Nenner für reelle Zahlen alpha1, .... , alpha n und Hauptnennerschranke N ist eine natürliche Zahl q mit 1 <= q <= N, so daß maxi ...... minimal ist. Unter der Annahme, daß die Klasse NP keine fast-polynomiellen Algorithmen besitzt, beweisen wir, daß kein Polynomialzeit-Algorithmus existiert, der für gegebene rationale Zahlen alpha1,......, alphan und eine Hauptnennerschranke N einen Nenner ~q mit 1 <= ~q <= f(n)N berechnet, so daß ~q bis auf einen Faktor f(n) = nO(1= log0:5+epsilon n) ein Best Approximations Nenner ist, wobei epsilon > 0 eine beliebige Konstante ist. Wir zeigen, daß eine Verbesserung dieses Resultates bis hin zu einem Faktor n=log n unter plausiblen Annahmen nicht mölich ist. Wir untersuchen die Konsequenzen dieser Resultate zur Konstruktion von im Durchschnitt schwierigen Gitterproblemen.
Pseudorandom function tribe ensembles based on one-way permutations: improvements and applications
(1999)
Pseudorandom function tribe ensembles are pseudorandom function ensembles that have an additional collision resistance property: almost all functions have disjoint ranges. We present an alternative to the construction of pseudorandom function tribe ensembles based on oneway permutations given by Canetti, Micciancio and Reingold [CMR98]. Our approach yields two different but related solutions: One construction is somewhat theoretic, but conceptually simple and therefore gives an easier proof that one-way permutations suffice to construct pseudorandom function tribe ensembles. The other, slightly more complicated solution provides a practical construction; it starts with an arbitrary pseudorandom function ensemble and assimilates the one-way permutation to this ensemble. Therefore, the second solution inherits important characteristics of the underlying pseudorandom function ensemble: it is almost as effcient and if the starting pseudorandom function ensemble is efficiently invertible (given the secret key) then so is the derived tribe ensemble. We also show that the latter solution yields so-called committing private-key encryption schemes. i.e., where each ciphertext corresponds to exactly one plaintext independently of the choice of the secret key or the random bits used in the encryption process.
We introduce the relationship between incremental cryptography and memory checkers. We present an incremental message authentication scheme based on the XOR MACs which supports insertion, deletion and other single block operations. Our scheme takes only a constant number of pseudorandom function evaluations for each update step and produces smaller authentication codes than the tree scheme presented in [BGG95]. Furthermore, it is secure against message substitution attacks, where the adversary is allowed to tamper messages before update steps, making it applicable to virus protection. From this scheme we derive memory checkers for data structures based on lists. Conversely, we use a lower bound for memory checkers to show that so-called message substitution detecting schemes produce signatures or authentication codes with size proportional to the message length.
A memory checker for a data structure provides a method to check that the output of the data structure operations is consistent with the input even if the data is stored on some insecure medium. In [8] we present a general solution for all data structures that are based on insert(i,v) and delete(j) commands. In particular this includes stacks, queues, deques (double-ended queues) and lists. Here, we describe more time and space efficient solutions for stacks, queues and deques. Each algorithm takes only a single function evaluation of a pseudorandomlike function like DES or a collision-free hash function like MD5 or SHA for each push/pop resp. enqueue/dequeue command making our methods applicable to smart cards.
We present efficient non-malleable commitment schemes based on standard assumptions such as RSA and Discrete-Log, and under the condition that the network provides publicly available RSA or Discrete-Log parameters generated by a trusted party. Our protocols require only three rounds and a few modular exponentiations. We also discuss the difference between the notion of non-malleable commitment schemes used by Dolev, Dwork and Naor [DDN00] and the one given by Di Crescenzo, Ishai and Ostrovsky [DIO98].
We address to the problem to factor a large composite number by lattice reduction algorithms. Schnorr has shown that under a reasonable number theoretic assumptions this problem can be reduced to a simultaneous diophantine approximation problem. The latter in turn can be solved by finding sufficiently many l_1--short vectors in a suitably defined lattice. Using lattice basis reduction algorithms Schnorr and Euchner applied Schnorrs reduction technique to 40--bit long integers. Their implementation needed several hours to compute a 5% fraction of the solution, i.e., 6 out of 125 congruences which are necessary to factorize the composite. In this report we describe a more efficient implementation using stronger lattice basis reduction techniques incorporating ideas of Schnorr, Hoerner and Ritter. For 60--bit long integers our algorithm yields a complete factorization in less than 3 hours.
Based on the quadratic residuosity assumption we present a non-interactive crypto-computing protocol for the greater-than function, i.e., a non-interactive procedure between two parties such that only the relation of the parties' inputs is revealed. In comparison to previous solutions our protocol reduces the number of modular multiplications significantly. We also discuss applications to conditional oblivious transfer, private bidding and the millionaires' problem.
We propose a new security measure for commitment protocols, called Universally Composable (UC) Commitment. The measure guarantees that commitment protocols behave like an \ideal commitment service," even when concurrently composed with an arbitrary set of protocols. This is a strong guarantee: it implies that security is maintained even when an unbounded number of copies of the scheme are running concurrently, it implies non-malleability (not only with respect to other copies of the same protocol but even with respect to other protocols), it provides resilience to selective decommitment, and more. Unfortunately two-party uc commitment protocols do not exist in the plain model. However, we construct two-party uc commitment protocols, based on general complexity assumptions, in the common reference string model where all parties have access to a common string taken from a predetermined distribution. The protocols are non-interactive, in the sense that both the commitment and the opening phases consist of a single message from the committer to the receiver.
We review the representation problem based on factoring and show that this problem gives rise to alternative solutions to a lot of cryptographic protocols in the literature. And, while the solutions so far usually either rely on the RSA problem or the intractability of factoring integers of a special form (e.g., Blum integers), the solutions here work with the most general factoring assumption. Protocols we discuss include identification schemes secure against parallel attacks, secure signatures, blind signatures and (non-malleable) commitments.
We show that non-interactive statistically-secret bit commitment cannot be constructed from arbitrary black-box one-to-one trapdoor functions and thus from general public-key cryptosystems. Reducing the problems of non-interactive crypto-computing, rerandomizable encryption, and non-interactive statistically-sender-private oblivious transfer and low-communication private information retrieval to such commitment schemes, it follows that these primitives are neither constructible from one-to-one trapdoor functions and public-key encryption in general. Furthermore, our separation sheds some light on statistical zeroknowledge proofs. There is an oracle relative to which one-to-one trapdoor functions and one-way permutations exist, while the class of promise problems with statistical zero-knowledge proofs collapses in P. This indicates that nontrivial problems with statistical zero-knowledge proofs require more than (trapdoor) one-wayness.
We show lower bounds for the signature size of incremental schemes which are secure against substitution attacks and support single block replacement. We prove that for documents of n blocks such schemes produce signatures of \Omega(n^(1/(2+c))) bits for any constant c>0. For schemes accessing only a single block resp. a constant number of blocks for each replacement this bound can be raised to \Omega(n) resp. \Omega(sqrt(n)). Additionally, we show that our technique yields a new lower bound for memory checkers.
Gleichgewichte auf Überschussmärkten : Theorie und Anwendbarkeit auf die Regelenergiezone der RWE
(2003)
Diese Version entspricht im wesentlichen der begutachteten Version bis auf die Kürzung von Satz 3.3.1 um einen für den Rest unbedeutenden Teil. Das Ziel folgender Arbeit ist es, mit einem intuitiven Ansatz eine spezielle Wettbewerbsform zweier interagierender Märkte zu modellieren und anschließend zu analysieren. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse mit den Beobachtungen an einem existierenden Markt - dem deutschen Energiemarkt - verglichen. In dieser behandelten Wettbewerbsform wird ein nicht lagerbares Gut an zwei aneinander gekoppelten Märkten gehandelt. Während Handel und Preisfindung am ersten Markt den üblichen Gepflogenheiten folgen, müssen alle Teilnehmer sämtliche Güter, welche nicht unmittelbar nach Lieferung verbraucht werden, am zweiten Marktplatz (dem Überschussmarkt) gegen ein gewisses Entgelt zur Verfügung stellen. Alle Teilnehmer, welche nicht genügend Güter am ersten Markt geordert haben, werden auf dem Überschussmarkt zu einem gewissen Preis mit der noch benötigten Menge versorgt. Einem Marketmaker auf dem zweiten Marktplatz fällt die Aufgabe zu, einen Preis festzustellen, zu dem diejenigen entschädigt werden, welche ihre Überschüsse zur Verfügung stellen müssen bzw. den diejenigen zu bezahlen haben, deren Gütermangel ausgeglichen wird. Weiterhin stellt dieser sicher, dass zu jedem Zeitpunkt genügend Güter vorhanden sind, so dass der Bedarf aller Teilnehmer zu jedem Zeitpunkt sichergestellt ist. Ziel ist es nun herauszufinden, welche gewinnmaximierenden Einkaufsstrategien die Marktteilnehmer verfolgen sollten und welche Konsequenzen sich daraus auf den deutschen Energiemarkt ableiten lassen.
Given a real vector alpha =(alpha1 ; : : : ; alpha d ) and a real number E > 0 a good Diophantine approximation to alpha is a number Q such that IIQ alpha mod Zk1 ", where k \Delta k1 denotes the 1-norm kxk1 := max 1id jx i j for x = (x1 ; : : : ; xd ). Lagarias [12] proved the NP-completeness of the corresponding decision problem, i.e., given a vector ff 2 Q d , a rational number " ? 0 and a number N 2 N+ , decide whether there exists a number Q with 1 Q N and kQff mod Zk1 ". We prove that, unless ...
Given x small epsilon, Greek Rn an integer relation for x is a non-trivial vector m small epsilon, Greek Zn with inner product <m,x> = 0. In this paper we prove the following: Unless every NP language is recognizable in deterministic quasi-polynomial time, i.e., in time O(npoly(log n)), the ℓinfinity-shortest integer relation for a given vector x small epsilon, Greek Qn cannot be approximated in polynomial time within a factor of 2log0.5 − small gamma, Greekn, where small gamma, Greek is an arbitrarily small positive constant. This result is quasi-complementary to positive results derived from lattice basis reduction. A variant of the well-known L3-algorithm approximates for a vector x small epsilon, Greek Qn the ℓ2-shortest integer relation within a factor of 2n/2 in polynomial time. Our proof relies on recent advances in the theory of probabilistically checkable proofs, in particular on a reduction from 2-prover 1-round interactive proof-systems. The same inapproximability result is valid for finding the ℓinfinity-shortest integer solution for a homogeneous linear system of equations over Q.
We analyse a continued fraction algorithm (abbreviated CFA) for arbitrary dimension n showing that it produces simultaneous diophantine approximations which are up to the factor 2^((n+2)/4) best possible. Given a real vector x=(x_1,...,x_{n-1},1) in R^n this CFA generates a sequence of vectors (p_1^(k),...,p_{n-1}^(k),q^(k)) in Z^n, k=1,2,... with increasing integers |q^{(k)}| satisfying for i=1,...,n-1 | x_i - p_i^(k)/q^(k) | <= 2^((n+2)/4) sqrt(1+x_i^2) |q^(k)|^(1+1/(n-1)) By a theorem of Dirichlet this bound is best possible in that the exponent 1+1/(n-1) can in general not be increased.